MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  m1expcl2 Structured version   Visualization version   Unicode version
Theorem m1expcl2 12882
Description: Closure of exponentiation of negative one. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
m1expcl2 |- ( N e. ZZ -> ( -u 1 ^ N ) e. { -u 1 , 1 } )
Proof of Theorem m1expcl2
Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 negex 10279 . . 3 |- -u 1 e. _V
21prid1 4297 . 2 |- -u 1 e. { -u 1 , 1 }
3 neg1ne0 11126 . 2 |- -u 1 =/= 0
4 neg1cn 11124 . . . 4 |- -u 1 e. CC
5 ax-1cn 9994 . . . 4 |- 1 e. CC
6 prssi 4353 . . . 4 |- ( ( -u 1 e. CC /\ 1 e. CC ) -> { -u 1 , 1 } C_ CC )
74, 5, 6mp2an 708 . . 3 |- { -u 1 , 1 } C_ CC
8 elpri 4197 . . . . 5 |- ( x e. { -u 1 , 1 } -> ( x = -u 1 \/ x = 1 ) )
97sseli 3599 . . . . . . . . 9 |- ( y e. { -u 1 , 1 } -> y e. CC )
109mulm1d 10482 . . . . . . . 8 |- ( y e. { -u 1 , 1 } -> ( -u 1 x. y ) = -u y )
11 elpri 4197 . . . . . . . . 9 |- ( y e. { -u 1 , 1 } -> ( y = -u 1 \/ y = 1 ) )
12 negeq 10273 . . . . . . . . . . 11 |- ( y = -u 1 -> -u y = -u -u 1 )
13 negneg1e1 11128 . . . . . . . . . . . 12 |- -u -u 1 = 1
14 1ex 10035 . . . . . . . . . . . . 13 |- 1 e. _V
1514prid2 4298 . . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. { -u 1 , 1 }
1613, 15eqeltri 2697 . . . . . . . . . . 11 |- -u -u 1 e. { -u 1 , 1 }
1712, 16syl6eqel 2709 . . . . . . . . . 10 |- ( y = -u 1 -> -u y e. { -u 1 , 1 } )
18 negeq 10273 . . . . . . . . . . 11 |- ( y = 1 -> -u y = -u 1 )
1918, 2syl6eqel 2709 . . . . . . . . . 10 |- ( y = 1 -> -u y e. { -u 1 , 1 } )
2017, 19jaoi 394 . . . . . . . . 9 |- ( ( y = -u 1 \/ y = 1 ) -> -u y e. { -u 1 , 1 } )
2111, 20syl 17 . . . . . . . 8 |- ( y e. { -u 1 , 1 } -> -u y e. { -u 1 , 1 } )
2210, 21eqeltrd 2701 . . . . . . 7 |- ( y e. { -u 1 , 1 } -> ( -u 1 x. y ) e. { -u 1 , 1 } )
23 oveq1 6657 . . . . . . . 8 |- ( x = -u 1 -> ( x x. y ) = ( -u 1 x. y ) )
2423eleq1d 2686 . . . . . . 7 |- ( x = -u 1 -> ( ( x x. y ) e. { -u 1 , 1 } <-> ( -u 1 x. y ) e. { -u 1 , 1 } ) )
2522, 24syl5ibr 236 . . . . . 6 |- ( x = -u 1 -> ( y e. { -u 1 , 1 } -> ( x x. y ) e. { -u 1 , 1 } ) )
269mulid2d 10058 . . . . . . . 8 |- ( y e. { -u 1 , 1 } -> ( 1 x. y ) = y )
27 id 22 . . . . . . . 8 |- ( y e. { -u 1 , 1 } -> y e. { -u 1 , 1 } )
2826, 27eqeltrd 2701 . . . . . . 7 |- ( y e. { -u 1 , 1 } -> ( 1 x. y ) e. { -u 1 , 1 } )
29 oveq1 6657 . . . . . . . 8 |- ( x = 1 -> ( x x. y ) = ( 1 x. y ) )
3029eleq1d 2686 . . . . . . 7 |- ( x = 1 -> ( ( x x. y ) e. { -u 1 , 1 } <-> ( 1 x. y ) e. { -u 1 , 1 } ) )
3128, 30syl5ibr 236 . . . . . 6 |- ( x = 1 -> ( y e. { -u 1 , 1 } -> ( x x. y ) e. { -u 1 , 1 } ) )
3225, 31jaoi 394 . . . . 5 |- ( ( x = -u 1 \/ x = 1 ) -> ( y e. { -u 1 , 1 } -> ( x x. y ) e. { -u 1 , 1 } ) )
338, 32syl 17 . . . 4 |- ( x e. { -u 1 , 1 } -> ( y e. { -u 1 , 1 } -> ( x x. y ) e. { -u 1 , 1 } ) )
3433imp 445 . . 3 |- ( ( x e. { -u 1 , 1 } /\ y e. { -u 1 , 1 } ) -> ( x x. y ) e. { -u 1 , 1 } )
35 oveq2 6658 . . . . . . 7 |- ( x = -u 1 -> ( 1 / x ) = ( 1 / -u 1 ) )
36 ax-1ne0 10005 . . . . . . . . . 10 |- 1 =/= 0
37 divneg2 10749 . . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 e. CC /\ 1 e. CC /\ 1 =/= 0 ) -> -u ( 1 / 1 ) = ( 1 / -u 1 ) )
385, 5, 36, 37mp3an 1424 . . . . . . . . 9 |- -u ( 1 / 1 ) = ( 1 / -u 1 )
39 1div1e1 10717 . . . . . . . . . 10 |- ( 1 / 1 ) = 1
4039negeqi 10274 . . . . . . . . 9 |- -u ( 1 / 1 ) = -u 1
4138, 40eqtr3i 2646 . . . . . . . 8 |- ( 1 / -u 1 ) = -u 1
4241, 2eqeltri 2697 . . . . . . 7 |- ( 1 / -u 1 ) e. { -u 1 , 1 }
4335, 42syl6eqel 2709 . . . . . 6 |- ( x = -u 1 -> ( 1 / x ) e. { -u 1 , 1 } )
44 oveq2 6658 . . . . . . 7 |- ( x = 1 -> ( 1 / x ) = ( 1 / 1 ) )
4539, 15eqeltri 2697 . . . . . . 7 |- ( 1 / 1 ) e. { -u 1 , 1 }
4644, 45syl6eqel 2709 . . . . . 6 |- ( x = 1 -> ( 1 / x ) e. { -u 1 , 1 } )
4743, 46jaoi 394 . . . . 5 |- ( ( x = -u 1 \/ x = 1 ) -> ( 1 / x ) e. { -u 1 , 1 } )
488, 47syl 17 . . . 4 |- ( x e. { -u 1 , 1 } -> ( 1 / x ) e. { -u 1 , 1 } )
4948adantr 481 . . 3 |- ( ( x e. { -u 1 , 1 } /\ x =/= 0 ) -> ( 1 / x ) e. { -u 1 , 1 } )
507, 34, 15, 49expcl2lem 12872 . 2 |- ( ( -u 1 e. { -u 1 , 1 } /\ -u 1 =/= 0 /\ N e. ZZ ) -> ( -u 1 ^ N ) e. { -u 1 , 1 } )
512, 3, 50mp3an12 1414 1 |- ( N e. ZZ -> ( -u 1 ^ N ) e. { -u 1 , 1 } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 383   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   C_ wss 3574   {cpr 4179  (class class class)co 6650   CCcc 9934   0cc0 9936   1c1 9937   x. cmul 9941   -ucneg 10267   / cdiv 10684   ZZcz 11377   ^cexp 12860
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-seq 12802  df-exp 12861
This theorem is referenced by:  m1expcl  12883  m1expeven  12907  m1expaddsub  17918  psgnran  17935  psgnghm  19926  gausslemma2dlem0i  25089  lgseisenlem2  25101  madjusmdetlem4  29896  lighneallem4  41527
  Copyright terms: Public domain W3C validator