lighneallem4 - Mathbox for Alexander van der Vekens

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Theorem lighneallem4 41527

Description: Lemma 3 for lighneal 41528. (Contributed by AV, 16-Aug-2021.)

**Assertion**
Ref	Expression
lighneallem4	$\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$

Proof of Theorem lighneallem4 Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2cnd 11093	. . . . . . . . . 10
2		nnnn0 11299	. . . . . . . . . 10
3	1, 2	expcld 13008	. . . . . . . . 9
4	3	3ad2ant3 1084	. . . . . . . 8 $\$ $/\$ $/\$
5		1cnd 10056	. . . . . . . 8 $\$ $/\$ $/\$
6		eldifi 3732	. . . . . . . . . . 11 $\$
7		prmnn 15388	. . . . . . . . . . 11
8		nncn 11028	. . . . . . . . . . 11
9	6, 7, 8	3syl 18	. . . . . . . . . 10 $\$
10	9	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . 9 $\$ $/\$ $/\$
11		nnnn0 11299	. . . . . . . . . 10
12	11	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . 9 $\$ $/\$ $/\$
13	10, 12	expcld 13008	. . . . . . . 8 $\$ $/\$ $/\$
14	4, 5, 13	3jca 1242	. . . . . . 7 $\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
15	14	adantr 481	. . . . . 6 $\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
16		subadd2 10285	. . . . . 6 $/\$ $/\$
17	15, 16	syl 17	. . . . 5 $\$ $/\$ $/\$ $/\$
18	10	adantr 481	. . . . . . . 8 $\$ $/\$ $/\$ $/\$
19		simpl2 1065	. . . . . . . 8 $\$ $/\$ $/\$ $/\$
20		simpr 477	. . . . . . . 8 $\$ $/\$ $/\$ $/\$
21	18, 19, 20	oddpwp1fsum 15115	. . . . . . 7 $\$ $/\$ $/\$ $/\$
22	21	eqeq1d 2624	. . . . . 6 $\$ $/\$ $/\$ $/\$
23		peano2nn 11032	. . . . . . . . . . . . . 14
24	23	nnzd 11481	. . . . . . . . . . . . 13
25	6, 7, 24	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 $\$
26	25	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . 11 $\$ $/\$ $/\$
27		fzfid 12772	. . . . . . . . . . . 12 $\$ $/\$ $/\$
28		neg1z 11413	. . . . . . . . . . . . . . 15
29	28	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 $\$ $/\$ $/\$
30		elfznn0 12433	. . . . . . . . . . . . . 14
31		zexpcl 12875	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
32	29, 30, 31	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . 13 $\$ $/\$ $/\$ $/\$
33		nnz 11399	. . . . . . . . . . . . . . . 16
34	6, 7, 33	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 $\$
35	34	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . 14 $\$ $/\$ $/\$
36		zexpcl 12875	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
37	35, 30, 36	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . 13 $\$ $/\$ $/\$ $/\$
38	32, 37	zmulcld 11488	. . . . . . . . . . . 12 $\$ $/\$ $/\$ $/\$
39	27, 38	fsumzcl 14466	. . . . . . . . . . 11 $\$ $/\$ $/\$
40	26, 39	jca 554	. . . . . . . . . 10 $\$ $/\$ $/\$ $/\$
41	40	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 $\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
42		dvdsmul2 15004	. . . . . . . . 9 $/\$
43	41, 42	syl 17	. . . . . . . 8 $\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
44		breq2 4657	. . . . . . . . . 10
45	44	adantl 482	. . . . . . . . 9 $\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
46		2a1 28	. . . . . . . . . . 11 $\$ $/\$ $/\$ $/\$
47		2prm 15405	. . . . . . . . . . . . . . . 16
48		prmuz2 15408	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
49	6, 48	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $\$
50	49	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $\$ $/\$ $/\$
51	50	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
52		df-ne 2795	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
53		eluz2b3 11762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$
54	53	simplbi2 655	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
55	52, 54	syl5bir 233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
56	55	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $\$ $/\$ $/\$
57	56	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $\$ $/\$ $/\$
58	57	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $\$ $/\$ $/\$
59	58	impcom 446	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
60		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
61		lighneallem4b 41526	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
62	51, 59, 60, 61	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
63	2	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $\$ $/\$ $/\$
64	63	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
65		dvdsprmpweqnn 15589	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
66	47, 62, 64, 65	mp3an2i 1429	. . . . . . . . . . . . . . 15 $\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
67		2z 11409	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
68	67	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
69		iddvdsexp 15005	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
70	68, 69	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
71		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
72	71	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
73		fzfid 12772	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
74	28	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
75	74, 31	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$
76		nnnn0 11299	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
77	76	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$
78		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$
79	77, 78	nn0expcld 13031	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$
80	79	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$
81	75, 80	zmulcld 11488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$
82	81	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
83	6, 7, 82	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $\$
84	83	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $\$ $/\$ $/\$
85	84	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
86	85, 30	impel 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
87		nn0z 11400	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
88		m1expcl2 12882	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
89	87, 88	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
90		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
91	90	elpr 4198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $\/$
92		n2dvdsm1 15105	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
93		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
94	92, 93	mtbiri 317	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
95		n2dvds1 15104	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
96		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
97	95, 96	mtbiri 317	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
98	94, 97	jaoi 394	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 $\/$
99	98	a1d 25	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $\/$
100	91, 99	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
101	89, 100	mpcom 38	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
102	101	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $\$ $/\$
103		elnn0 11294	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $\/$
104		oddn2prm 15517	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 $\$
105	104	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 $\$ $/\$
106		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 $\$ $/\$
107		prmdvdsexp 15427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 $/\$ $/\$
108	47, 34, 106, 107	mp3an2ani 1431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 $\$ $/\$
109	105, 108	mtbird 315	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 $\$ $/\$
110	109	expcom 451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $\$
111		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
112	111	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 $/\$ $\$
113	9	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 $/\$ $\$
114	113	exp0d 13002	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 $/\$ $\$
115	112, 114	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 $/\$ $\$
116	115	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 $/\$ $\$
117	95, 116	mtbiri 317	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 $/\$ $\$
118	117	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $\$
119	110, 118	jaoi 394	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $\/$ $\$
120	103, 119	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $\$
121	120	impcom 446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $\$ $/\$
122		ioran 511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $\/$ $/\$
123	102, 121, 122	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $\$ $/\$ $\/$
124	28, 31	mpan 706	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
125	124	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $\$ $/\$
126	6, 7, 76	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $\$
127	126	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $\$ $/\$
128		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $\$ $/\$
129	127, 128	nn0expcld 13031	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $\$ $/\$
130	129	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $\$ $/\$
131		euclemma 15425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$ $\/$
132	47, 125, 130, 131	mp3an2i 1429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $\$ $/\$ $\/$
133	123, 132	mtbird 315	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $\$ $/\$
134	133	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $\$
135	134	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $\$ $/\$ $/\$
136	135	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
137	136, 30	impel 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
138		nnm1nn0 11334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
139		hashfz0 13219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
140	138, 139	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
141		nncn 11028	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
142		npcan1 10455	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
143	141, 142	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
144	140, 143	eqtr2d 2657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
145	144	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $\$ $/\$ $/\$
146	145	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $\$ $/\$ $/\$ $/\$
147	146	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $\$ $/\$ $/\$ $/\$
148	147	notbid 308	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $\$ $/\$ $/\$ $/\$
149	148	biimpd 219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $\$ $/\$ $/\$ $/\$
150	149	impr 649	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
151	150	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
152	73, 86, 137, 151	oddsumodd 15113	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
153	152	pm2.21d 118	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
154	153	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
155	72, 154	sylbird 250	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
156	155	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
157	70, 156	mpid 44	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
158	157	rexlimdva 3031	. . . . . . . . . . . . . . 15 $\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
159	66, 158	syld 47	. . . . . . . . . . . . . 14 $\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
160	159	exp32 631	. . . . . . . . . . . . 13 $\$ $/\$ $/\$
161	160	com12 32	. . . . . . . . . . . 12 $\$ $/\$ $/\$
162	161	impd 447	. . . . . . . . . . 11 $\$ $/\$ $/\$ $/\$
163	46, 162	pm2.61i 176	. . . . . . . . . 10 $\$ $/\$ $/\$ $/\$
164	163	adantr 481	. . . . . . . . 9 $\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
165	45, 164	sylbid 230	. . . . . . . 8 $\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
166	43, 165	mpd 15	. . . . . . 7 $\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
167	166	ex 450	. . . . . 6 $\$ $/\$ $/\$ $/\$
168	22, 167	sylbid 230	. . . . 5 $\$ $/\$ $/\$ $/\$
169	17, 168	sylbid 230	. . . 4 $\$ $/\$ $/\$ $/\$
170	169	ex 450	. . 3 $\$ $/\$ $/\$
171	170	adantld 483	. 2 $\$ $/\$ $/\$ $/\$
172	171	3imp 1256	1 $\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wn 3

wi 4

wb 196 $\/$ wo 383 $/\$ wa 384 $/\$ w3a 1037

wceq 1483

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cc 9934

cc0 9936

c1 9937

caddc 9939

cmul 9941

cmin 10266

cneg 10267

cn 11020

c2 11070

cn0 11292

cz 11377

cuz 11687

cfz 12326

cexp 12860

chash 13117

csu 14416

cdvds 14983

cprime 15385

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-inf2 8538 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-fal 1489 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-se 5074 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-isom 5897 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-2o 7561 df-oadd 7564 df-er 7742 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-sup 8348 df-inf 8349 df-oi 8415 df-card 8765 df-cda 8990 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-4 11081 df-n0 11293 df-z 11378 df-uz 11688 df-q 11789 df-rp 11833 df-fz 12327 df-fzo 12466 df-fl 12593 df-mod 12669 df-seq 12802 df-exp 12861 df-hash 13118 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976 df-clim 14219 df-sum 14417 df-dvds 14984 df-gcd 15217 df-prm 15386 df-pc 15542

This theorem is referenced by: lighneal 41528

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