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Theorem mamudm 20194
Description: The domain of the matrix multiplication function. (Contributed by AV, 10-Feb-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mamudm.e |- E = ( R freeLMod ( M X. N ) )
mamudm.b |- B = ( Base ` E )
mamudm.f |- F = ( R freeLMod ( N X. P ) )
mamudm.c |- C = ( Base ` F )
mamudm.m |- .X. = ( R maMul <. M , N , P >. )
Assertion
Ref Expression
mamudm |- ( ( R e. V /\ ( M e. Fin /\ N e. Fin /\ P e. Fin ) ) -> dom .X. = ( B X. C ) )
Proof of Theorem mamudm
Dummy variables i j k x y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mamudm.m . . . 4 |- .X. = ( R maMul <. M , N , P >. )
2 eqid 2622 . . . 4 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
3 eqid 2622 . . . 4 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
4 simpl 473 . . . 4 |- ( ( R e. V /\ ( M e. Fin /\ N e. Fin /\ P e. Fin ) ) -> R e. V )
5 simpr1 1067 . . . 4 |- ( ( R e. V /\ ( M e. Fin /\ N e. Fin /\ P e. Fin ) ) -> M e. Fin )
6 simpr2 1068 . . . 4 |- ( ( R e. V /\ ( M e. Fin /\ N e. Fin /\ P e. Fin ) ) -> N e. Fin )
7 simpr3 1069 . . . 4 |- ( ( R e. V /\ ( M e. Fin /\ N e. Fin /\ P e. Fin ) ) -> P e. Fin )
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7mamufval 20191 . . 3 |- ( ( R e. V /\ ( M e. Fin /\ N e. Fin /\ P e. Fin ) ) -> .X. = ( x e. ( ( Base ` R ) ^m ( M X. N ) ) , y e. ( ( Base ` R ) ^m ( N X. P ) ) |-> ( i e. M , k e. P |-> ( R gsumg ( j e. N |-> ( ( i x j ) ( .r ` R ) ( j y k ) ) ) ) ) ) )
98dmeqd 5326 . 2 |- ( ( R e. V /\ ( M e. Fin /\ N e. Fin /\ P e. Fin ) ) -> dom .X. = dom ( x e. ( ( Base ` R ) ^m ( M X. N ) ) , y e. ( ( Base ` R ) ^m ( N X. P ) ) |-> ( i e. M , k e. P |-> ( R gsumg ( j e. N |-> ( ( i x j ) ( .r ` R ) ( j y k ) ) ) ) ) ) )
10 mpt2exga 7246 . . . . . . 7 |- ( ( M e. Fin /\ P e. Fin ) -> ( i e. M , k e. P |-> ( R gsumg ( j e. N |-> ( ( i x j ) ( .r ` R ) ( j y k ) ) ) ) ) e. _V )
11103adant2 1080 . . . . . 6 |- ( ( M e. Fin /\ N e. Fin /\ P e. Fin ) -> ( i e. M , k e. P |-> ( R gsumg ( j e. N |-> ( ( i x j ) ( .r ` R ) ( j y k ) ) ) ) ) e. _V )
1211adantl 482 . . . . 5 |- ( ( R e. V /\ ( M e. Fin /\ N e. Fin /\ P e. Fin ) ) -> ( i e. M , k e. P |-> ( R gsumg ( j e. N |-> ( ( i x j ) ( .r ` R ) ( j y k ) ) ) ) ) e. _V )
1312a1d 25 . . . 4 |- ( ( R e. V /\ ( M e. Fin /\ N e. Fin /\ P e. Fin ) ) -> ( ( x e. ( ( Base ` R ) ^m ( M X. N ) ) /\ y e. ( ( Base ` R ) ^m ( N X. P ) ) ) -> ( i e. M , k e. P |-> ( R gsumg ( j e. N |-> ( ( i x j ) ( .r ` R ) ( j y k ) ) ) ) ) e. _V ) )
1413ralrimivv 2970 . . 3 |- ( ( R e. V /\ ( M e. Fin /\ N e. Fin /\ P e. Fin ) ) -> A. x e. ( ( Base ` R ) ^m ( M X. N ) ) A. y e. ( ( Base ` R ) ^m ( N X. P ) ) ( i e. M , k e. P |-> ( R gsumg ( j e. N |-> ( ( i x j ) ( .r ` R ) ( j y k ) ) ) ) ) e. _V )
15 eqid 2622 . . . 4 |- ( x e. ( ( Base ` R ) ^m ( M X. N ) ) , y e. ( ( Base ` R ) ^m ( N X. P ) ) |-> ( i e. M , k e. P |-> ( R gsumg ( j e. N |-> ( ( i x j ) ( .r ` R ) ( j y k ) ) ) ) ) ) = ( x e. ( ( Base ` R ) ^m ( M X. N ) ) , y e. ( ( Base ` R ) ^m ( N X. P ) ) |-> ( i e. M , k e. P |-> ( R gsumg ( j e. N |-> ( ( i x j ) ( .r ` R ) ( j y k ) ) ) ) ) )
1615dmmpt2ga 7242 . . 3 |- ( A. x e. ( ( Base ` R ) ^m ( M X. N ) ) A. y e. ( ( Base ` R ) ^m ( N X. P ) ) ( i e. M , k e. P |-> ( R gsumg ( j e. N |-> ( ( i x j ) ( .r ` R ) ( j y k ) ) ) ) ) e. _V -> dom ( x e. ( ( Base ` R ) ^m ( M X. N ) ) , y e. ( ( Base ` R ) ^m ( N X. P ) ) |-> ( i e. M , k e. P |-> ( R gsumg ( j e. N |-> ( ( i x j ) ( .r ` R ) ( j y k ) ) ) ) ) ) = ( ( ( Base ` R ) ^m ( M X. N ) ) X. ( ( Base ` R ) ^m ( N X. P ) ) ) )
1714, 16syl 17 . 2 |- ( ( R e. V /\ ( M e. Fin /\ N e. Fin /\ P e. Fin ) ) -> dom ( x e. ( ( Base ` R ) ^m ( M X. N ) ) , y e. ( ( Base ` R ) ^m ( N X. P ) ) |-> ( i e. M , k e. P |-> ( R gsumg ( j e. N |-> ( ( i x j ) ( .r ` R ) ( j y k ) ) ) ) ) ) = ( ( ( Base ` R ) ^m ( M X. N ) ) X. ( ( Base ` R ) ^m ( N X. P ) ) ) )
18 xpfi 8231 . . . . . 6 |- ( ( M e. Fin /\ N e. Fin ) -> ( M X. N ) e. Fin )
19183adant3 1081 . . . . 5 |- ( ( M e. Fin /\ N e. Fin /\ P e. Fin ) -> ( M X. N ) e. Fin )
20 mamudm.e . . . . . 6 |- E = ( R freeLMod ( M X. N ) )
2120, 2frlmfibas 20105 . . . . 5 |- ( ( R e. V /\ ( M X. N ) e. Fin ) -> ( ( Base ` R ) ^m ( M X. N ) ) = ( Base ` E ) )
2219, 21sylan2 491 . . . 4 |- ( ( R e. V /\ ( M e. Fin /\ N e. Fin /\ P e. Fin ) ) -> ( ( Base ` R ) ^m ( M X. N ) ) = ( Base ` E ) )
23 mamudm.b . . . 4 |- B = ( Base ` E )
2422, 23syl6eqr 2674 . . 3 |- ( ( R e. V /\ ( M e. Fin /\ N e. Fin /\ P e. Fin ) ) -> ( ( Base ` R ) ^m ( M X. N ) ) = B )
25 xpfi 8231 . . . . . 6 |- ( ( N e. Fin /\ P e. Fin ) -> ( N X. P ) e. Fin )
26253adant1 1079 . . . . 5 |- ( ( M e. Fin /\ N e. Fin /\ P e. Fin ) -> ( N X. P ) e. Fin )
27 mamudm.f . . . . . 6 |- F = ( R freeLMod ( N X. P ) )
2827, 2frlmfibas 20105 . . . . 5 |- ( ( R e. V /\ ( N X. P ) e. Fin ) -> ( ( Base ` R ) ^m ( N X. P ) ) = ( Base ` F ) )
2926, 28sylan2 491 . . . 4 |- ( ( R e. V /\ ( M e. Fin /\ N e. Fin /\ P e. Fin ) ) -> ( ( Base ` R ) ^m ( N X. P ) ) = ( Base ` F ) )
30 mamudm.c . . . 4 |- C = ( Base ` F )
3129, 30syl6eqr 2674 . . 3 |- ( ( R e. V /\ ( M e. Fin /\ N e. Fin /\ P e. Fin ) ) -> ( ( Base ` R ) ^m ( N X. P ) ) = C )
3224, 31xpeq12d 5140 . 2 |- ( ( R e. V /\ ( M e. Fin /\ N e. Fin /\ P e. Fin ) ) -> ( ( ( Base ` R ) ^m ( M X. N ) ) X. ( ( Base ` R ) ^m ( N X. P ) ) ) = ( B X. C ) )
339, 17, 323eqtrd 2660 1 |- ( ( R e. V /\ ( M e. Fin /\ N e. Fin /\ P e. Fin ) ) -> dom .X. = ( B X. C ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   <.cotp 4185   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   dom cdm 5114   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   ^m cmap 7857   Fincfn 7955   Basecbs 15857   .rcmulr 15942   gsumg cgsu 16101   freeLMod cfrlm 20090   maMul cmmul 20189
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-ot 4186  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-hom 15966  df-cco 15967  df-0g 16102  df-prds 16108  df-pws 16110  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-dsmm 20076  df-frlm 20091  df-mamu 20190
This theorem is referenced by:  mamufacex  20195
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