Theorem mapdindp2 37010

Description: Vector independence lemma. (Contributed by NM, 1-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapdindp1.v	|- V = ( Base ` W )
mapdindp1.p	|- .+ = ( +g ` W )
mapdindp1.o	|- .0. = ( 0g ` W )
mapdindp1.n	|- N = ( LSpan ` W )
mapdindp1.w	|- ( ph -> W e. LVec )
mapdindp1.x	|- ( ph -> X e. ( V \ { .0. } ) )
mapdindp1.y	|- ( ph -> Y e. ( V \ { .0. } ) )
mapdindp1.z	|- ( ph -> Z e. ( V \ { .0. } ) )
mapdindp1.W	|- ( ph -> w e. ( V \ { .0. } ) )
mapdindp1.e	|- ( ph -> ( N ` { Y } ) = ( N ` { Z } ) )
mapdindp1.ne	|- ( ph -> ( N ` { X } ) =/= ( N ` { Y } ) )
mapdindp1.f	|- ( ph -> -. w e. ( N ` { X , Y } ) )

Assertion

Ref	Expression
mapdindp2	|- ( ph -> -. w e. ( N ` { X , ( Y .+ Z ) } ) )

Proof of Theorem mapdindp2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		preq2 4269	. . . . . 6 |- ( ( Y .+ Z ) = .0. -> { X , ( Y .+ Z ) } = { X , .0. } )
2	1	fveq2d 6195	. . . . 5 |- ( ( Y .+ Z ) = .0. -> ( N ` { X , ( Y .+ Z ) } ) = ( N ` { X , .0. } ) )
3		mapdindp1.v	. . . . . 6 |- V = ( Base ` W )
4		mapdindp1.o	. . . . . 6 |- .0. = ( 0g ` W )
5		mapdindp1.n	. . . . . 6 |- N = ( LSpan ` W )
6		mapdindp1.w	. . . . . . 7 |- ( ph -> W e. LVec )
7		lveclmod 19106	. . . . . . 7 |- ( W e. LVec -> W e. LMod )
8	6, 7	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> W e. LMod )
9		mapdindp1.x	. . . . . . 7 |- ( ph -> X e. ( V \ { .0. } ) )
10	9	eldifad 3586	. . . . . 6 |- ( ph -> X e. V )
11	3, 4, 5, 8, 10	lsppr0 19092	. . . . 5 |- ( ph -> ( N ` { X , .0. } ) = ( N ` { X } ) )
12	2, 11	sylan9eqr 2678	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( Y .+ Z ) = .0. ) -> ( N ` { X , ( Y .+ Z ) } ) = ( N ` { X } ) )
13		mapdindp1.y	. . . . . . . 8 |- ( ph -> Y e. ( V \ { .0. } ) )
14	13	eldifad 3586	. . . . . . 7 |- ( ph -> Y e. V )
15		prssi 4353	. . . . . . 7 |- ( ( X e. V /\ Y e. V ) -> { X , Y } C_ V )
16	10, 14, 15	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ph -> { X , Y } C_ V )
17		snsspr1 4345	. . . . . . 7 |- { X } C_ { X , Y }
18	17	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> { X } C_ { X , Y } )
19	3, 5	lspss 18984	. . . . . 6 |- ( ( W e. LMod /\ { X , Y } C_ V /\ { X } C_ { X , Y } ) -> ( N ` { X } ) C_ ( N ` { X , Y } ) )
20	8, 16, 18, 19	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ph -> ( N ` { X } ) C_ ( N ` { X , Y } ) )
21	20	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( Y .+ Z ) = .0. ) -> ( N ` { X } ) C_ ( N ` { X , Y } ) )
22	12, 21	eqsstrd 3639	. . 3 |- ( ( ph /\ ( Y .+ Z ) = .0. ) -> ( N ` { X , ( Y .+ Z ) } ) C_ ( N ` { X , Y } ) )
23		mapdindp1.f	. . . 4 |- ( ph -> -. w e. ( N ` { X , Y } ) )
24	23	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ ( Y .+ Z ) = .0. ) -> -. w e. ( N ` { X , Y } ) )
25	22, 24	ssneldd 3606	. 2 |- ( ( ph /\ ( Y .+ Z ) = .0. ) -> -. w e. ( N ` { X , ( Y .+ Z ) } ) )
26	23	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ ( Y .+ Z ) =/= .0. ) -> -. w e. ( N ` { X , Y } ) )
27		mapdindp1.p	. . . . . 6 |- .+ = ( +g ` W )
28	6	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( Y .+ Z ) =/= .0. ) -> W e. LVec )
29	9	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( Y .+ Z ) =/= .0. ) -> X e. ( V \ { .0. } ) )
30	13	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( Y .+ Z ) =/= .0. ) -> Y e. ( V \ { .0. } ) )
31		mapdindp1.z	. . . . . . 7 |- ( ph -> Z e. ( V \ { .0. } ) )
32	31	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( Y .+ Z ) =/= .0. ) -> Z e. ( V \ { .0. } ) )
33		mapdindp1.W	. . . . . . 7 |- ( ph -> w e. ( V \ { .0. } ) )
34	33	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( Y .+ Z ) =/= .0. ) -> w e. ( V \ { .0. } ) )
35		mapdindp1.e	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( N ` { Y } ) = ( N ` { Z } ) )
36	35	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( Y .+ Z ) =/= .0. ) -> ( N ` { Y } ) = ( N ` { Z } ) )
37		mapdindp1.ne	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( N ` { X } ) =/= ( N ` { Y } ) )
38	37	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( Y .+ Z ) =/= .0. ) -> ( N ` { X } ) =/= ( N ` { Y } ) )
39		simpr 477	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( Y .+ Z ) =/= .0. ) -> ( Y .+ Z ) =/= .0. )
40	3, 27, 4, 5, 28, 29, 30, 32, 34, 36, 38, 26, 39	mapdindp0 37008	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( Y .+ Z ) =/= .0. ) -> ( N ` { ( Y .+ Z ) } ) = ( N ` { Y } ) )
41	40	oveq2d 6666	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( Y .+ Z ) =/= .0. ) -> ( ( N ` { X } ) ( LSSum ` W ) ( N ` { ( Y .+ Z ) } ) ) = ( ( N ` { X } ) ( LSSum ` W ) ( N ` { Y } ) ) )
42		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( LSSum ` W ) = ( LSSum ` W )
43	31	eldifad 3586	. . . . . . 7 |- ( ph -> Z e. V )
44	3, 27	lmodvacl 18877	. . . . . . 7 |- ( ( W e. LMod /\ Y e. V /\ Z e. V ) -> ( Y .+ Z ) e. V )
45	8, 14, 43, 44	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ph -> ( Y .+ Z ) e. V )
46	3, 5, 42, 8, 10, 45	lsmpr 19089	. . . . 5 |- ( ph -> ( N ` { X , ( Y .+ Z ) } ) = ( ( N ` { X } ) ( LSSum ` W ) ( N ` { ( Y .+ Z ) } ) ) )
47	46	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( Y .+ Z ) =/= .0. ) -> ( N ` { X , ( Y .+ Z ) } ) = ( ( N ` { X } ) ( LSSum ` W ) ( N ` { ( Y .+ Z ) } ) ) )
48	3, 5, 42, 8, 10, 14	lsmpr 19089	. . . . 5 |- ( ph -> ( N ` { X , Y } ) = ( ( N ` { X } ) ( LSSum ` W ) ( N ` { Y } ) ) )
49	48	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( Y .+ Z ) =/= .0. ) -> ( N ` { X , Y } ) = ( ( N ` { X } ) ( LSSum ` W ) ( N ` { Y } ) ) )
50	41, 47, 49	3eqtr4d 2666	. . 3 |- ( ( ph /\ ( Y .+ Z ) =/= .0. ) -> ( N ` { X , ( Y .+ Z ) } ) = ( N ` { X , Y } ) )
51	26, 50	neleqtrrd 2723	. 2 |- ( ( ph /\ ( Y .+ Z ) =/= .0. ) -> -. w e. ( N ` { X , ( Y .+ Z ) } ) )
52	25, 51	pm2.61dane 2881	1 |- ( ph -> -. w e. ( N ` { X , ( Y .+ Z ) } ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   \ cdif 3571   C_ wss 3574   {csn 4177   {cpr 4179   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   0gc0g 16100   LSSumclsm 18049   LModclmod 18863   LSpanclspn 18971   LVecclvec 19102

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-subg 17591  df-cntz 17750  df-lsm 18051  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-drng 18749  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-lsp 18972  df-lvec 19103

This theorem is referenced by:  mapdh6dN  37028  hdmap1l6d  37103