Theorem mvhf 31455

Description: The function mapping variables to variable expressions is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mvhf.v	|- V = (mVR ` T )
mvhf.e	|- E = (mEx ` T )
mvhf.h	|- H = (mVH ` T )

Assertion

Ref	Expression
mvhf	|- ( T e. mFS -> H : V --> E )

Proof of Theorem mvhf

Dummy variable v is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mvhf.v	. . . . . 6 |- V = (mVR ` T )
2		eqid 2622	. . . . . 6 |- (mTC ` T ) = (mTC ` T )
3		eqid 2622	. . . . . 6 |- (mType ` T ) = (mType ` T )
4	1, 2, 3	mtyf2 31448	. . . . 5 |- ( T e. mFS -> (mType ` T ) : V --> (mTC ` T ) )
5	4	ffvelrnda 6359	. . . 4 |- ( ( T e. mFS /\ v e. V ) -> ( (mType ` T ) ` v ) e. (mTC ` T ) )
6		elun2 3781	. . . . . . 7 |- ( v e. V -> v e. ( (mCN ` T ) u. V ) )
7	6	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( T e. mFS /\ v e. V ) -> v e. ( (mCN ` T ) u. V ) )
8	7	s1cld 13383	. . . . 5 |- ( ( T e. mFS /\ v e. V ) -> <" v "> e. Word ( (mCN ` T ) u. V ) )
9		eqid 2622	. . . . . . 7 |- (mCN ` T ) = (mCN ` T )
10		eqid 2622	. . . . . . 7 |- (mREx ` T ) = (mREx ` T )
11	9, 1, 10	mrexval 31398	. . . . . 6 |- ( T e. mFS -> (mREx ` T ) = Word ( (mCN ` T ) u. V ) )
12	11	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( T e. mFS /\ v e. V ) -> (mREx ` T ) = Word ( (mCN ` T ) u. V ) )
13	8, 12	eleqtrrd 2704	. . . 4 |- ( ( T e. mFS /\ v e. V ) -> <" v "> e. (mREx ` T ) )
14		opelxpi 5148	. . . 4 |- ( ( ( (mType ` T ) ` v ) e. (mTC ` T ) /\ <" v "> e. (mREx ` T ) ) -> <. ( (mType ` T ) ` v ) , <" v "> >. e. ( (mTC ` T ) X. (mREx ` T ) ) )
15	5, 13, 14	syl2anc 693	. . 3 |- ( ( T e. mFS /\ v e. V ) -> <. ( (mType ` T ) ` v ) , <" v "> >. e. ( (mTC ` T ) X. (mREx ` T ) ) )
16		mvhf.e	. . . 4 |- E = (mEx ` T )
17	2, 16, 10	mexval 31399	. . 3 |- E = ( (mTC ` T ) X. (mREx ` T ) )
18	15, 17	syl6eleqr 2712	. 2 |- ( ( T e. mFS /\ v e. V ) -> <. ( (mType ` T ) ` v ) , <" v "> >. e. E )
19		mvhf.h	. . 3 |- H = (mVH ` T )
20	1, 3, 19	mvhfval 31430	. 2 |- H = ( v e. V |-> <. ( (mType ` T ) ` v ) , <" v "> >. )
21	18, 20	fmptd 6385	1 |- ( T e. mFS -> H : V --> E )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   u. cun 3572   <.cop 4183   X. cxp 5112   -->wf 5884   ` cfv 5888  Word cword 13291   <"cs1 13294  mCNcmcn 31357  mVRcmvar 31358  mTypecmty 31359  mTCcmtc 31361  mRExcmrex 31363  mExcmex 31364  mVHcmvh 31369  mFScmfs 31373

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-hash 13118  df-word 13299  df-s1 13302  df-mrex 31383  df-mex 31384  df-mvh 31389  df-mfs 31393

This theorem is referenced by:  mvhf1  31456  msubvrs  31457  mclsssvlem  31459  vhmcls  31463  mclsax  31466  mclsind  31467  mclsppslem  31480  mclspps  31481