Theorem motcgrg 25439

Description: Property of a motion: distances are preserved. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ismot.p	|- P = ( Base ` G )
ismot.m	|- .- = ( dist ` G )
motgrp.1	|- ( ph -> G e. V )
motgrp.i	|- I = { <. ( Base ` ndx ) , ( GIsmt G ) >. , <. ( +g ` ndx ) , ( f e. ( GIsmt G ) , g e. ( GIsmt G ) |-> ( f o. g ) ) >. }
motcgrg.r	|- .~ = (cgrG ` G )
motcgrg.t	|- ( ph -> T e. Word P )
motcgrg.f	|- ( ph -> F e. ( GIsmt G ) )

Assertion

Ref	Expression
motcgrg	|- ( ph -> ( F o. T ) .~ T )

Distinct variable groups:   f, G, g   f, I, g   P, f, g   ph, f, g

Allowed substitution hints:   .~ ( f, g)   T( f, g)   F( f, g)   .- ( f, g)   V( f, g)

Proof of Theorem motcgrg

Dummy variables a b n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN0 ) /\ T : ( 0..^ n ) --> P ) -> T : ( 0..^ n ) --> P )
2	1	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ n e. NN0 ) /\ T : ( 0..^ n ) --> P ) /\ ( a e. dom ( F o. T ) /\ b e. dom ( F o. T ) ) ) -> T : ( 0..^ n ) --> P )
3		simprl 794	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ n e. NN0 ) /\ T : ( 0..^ n ) --> P ) /\ ( a e. dom ( F o. T ) /\ b e. dom ( F o. T ) ) ) -> a e. dom ( F o. T ) )
4		ismot.p	. . . . . . . . . . . . . 14 |- P = ( Base ` G )
5		ismot.m	. . . . . . . . . . . . . 14 |- .- = ( dist ` G )
6		motgrp.1	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> G e. V )
7		motcgrg.f	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> F e. ( GIsmt G ) )
8	4, 5, 6, 7	motf1o 25433	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> F : P -1-1-onto-> P )
9		f1of 6137	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( F : P -1-1-onto-> P -> F : P --> P )
10	8, 9	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> F : P --> P )
11	10	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. NN0 ) /\ T : ( 0..^ n ) --> P ) -> F : P --> P )
12		fco 6058	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F : P --> P /\ T : ( 0..^ n ) --> P ) -> ( F o. T ) : ( 0..^ n ) --> P )
13	11, 1, 12	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN0 ) /\ T : ( 0..^ n ) --> P ) -> ( F o. T ) : ( 0..^ n ) --> P )
14	13	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ n e. NN0 ) /\ T : ( 0..^ n ) --> P ) /\ ( a e. dom ( F o. T ) /\ b e. dom ( F o. T ) ) ) -> ( F o. T ) : ( 0..^ n ) --> P )
15		fdm 6051	. . . . . . . . 9 |- ( ( F o. T ) : ( 0..^ n ) --> P -> dom ( F o. T ) = ( 0..^ n ) )
16	14, 15	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ n e. NN0 ) /\ T : ( 0..^ n ) --> P ) /\ ( a e. dom ( F o. T ) /\ b e. dom ( F o. T ) ) ) -> dom ( F o. T ) = ( 0..^ n ) )
17	3, 16	eleqtrd 2703	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ n e. NN0 ) /\ T : ( 0..^ n ) --> P ) /\ ( a e. dom ( F o. T ) /\ b e. dom ( F o. T ) ) ) -> a e. ( 0..^ n ) )
18		fvco3 6275	. . . . . . 7 |- ( ( T : ( 0..^ n ) --> P /\ a e. ( 0..^ n ) ) -> ( ( F o. T ) ` a ) = ( F ` ( T ` a ) ) )
19	2, 17, 18	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ n e. NN0 ) /\ T : ( 0..^ n ) --> P ) /\ ( a e. dom ( F o. T ) /\ b e. dom ( F o. T ) ) ) -> ( ( F o. T ) ` a ) = ( F ` ( T ` a ) ) )
20		simprr 796	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ n e. NN0 ) /\ T : ( 0..^ n ) --> P ) /\ ( a e. dom ( F o. T ) /\ b e. dom ( F o. T ) ) ) -> b e. dom ( F o. T ) )
21	20, 16	eleqtrd 2703	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ n e. NN0 ) /\ T : ( 0..^ n ) --> P ) /\ ( a e. dom ( F o. T ) /\ b e. dom ( F o. T ) ) ) -> b e. ( 0..^ n ) )
22		fvco3 6275	. . . . . . 7 |- ( ( T : ( 0..^ n ) --> P /\ b e. ( 0..^ n ) ) -> ( ( F o. T ) ` b ) = ( F ` ( T ` b ) ) )
23	2, 21, 22	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ n e. NN0 ) /\ T : ( 0..^ n ) --> P ) /\ ( a e. dom ( F o. T ) /\ b e. dom ( F o. T ) ) ) -> ( ( F o. T ) ` b ) = ( F ` ( T ` b ) ) )
24	19, 23	oveq12d 6668	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ n e. NN0 ) /\ T : ( 0..^ n ) --> P ) /\ ( a e. dom ( F o. T ) /\ b e. dom ( F o. T ) ) ) -> ( ( ( F o. T ) ` a ) .- ( ( F o. T ) ` b ) ) = ( ( F ` ( T ` a ) ) .- ( F ` ( T ` b ) ) ) )
25	6	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN0 ) /\ T : ( 0..^ n ) --> P ) -> G e. V )
26	25	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ n e. NN0 ) /\ T : ( 0..^ n ) --> P ) /\ ( a e. dom ( F o. T ) /\ b e. dom ( F o. T ) ) ) -> G e. V )
27	2, 17	ffvelrnd 6360	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ n e. NN0 ) /\ T : ( 0..^ n ) --> P ) /\ ( a e. dom ( F o. T ) /\ b e. dom ( F o. T ) ) ) -> ( T ` a ) e. P )
28	2, 21	ffvelrnd 6360	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ n e. NN0 ) /\ T : ( 0..^ n ) --> P ) /\ ( a e. dom ( F o. T ) /\ b e. dom ( F o. T ) ) ) -> ( T ` b ) e. P )
29	7	ad3antrrr 766	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ n e. NN0 ) /\ T : ( 0..^ n ) --> P ) /\ ( a e. dom ( F o. T ) /\ b e. dom ( F o. T ) ) ) -> F e. ( GIsmt G ) )
30	4, 5, 26, 27, 28, 29	motcgr 25431	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ n e. NN0 ) /\ T : ( 0..^ n ) --> P ) /\ ( a e. dom ( F o. T ) /\ b e. dom ( F o. T ) ) ) -> ( ( F ` ( T ` a ) ) .- ( F ` ( T ` b ) ) ) = ( ( T ` a ) .- ( T ` b ) ) )
31	24, 30	eqtrd 2656	. . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ n e. NN0 ) /\ T : ( 0..^ n ) --> P ) /\ ( a e. dom ( F o. T ) /\ b e. dom ( F o. T ) ) ) -> ( ( ( F o. T ) ` a ) .- ( ( F o. T ) ` b ) ) = ( ( T ` a ) .- ( T ` b ) ) )
32	31	ralrimivva 2971	. . 3 |- ( ( ( ph /\ n e. NN0 ) /\ T : ( 0..^ n ) --> P ) -> A. a e. dom ( F o. T ) A. b e. dom ( F o. T ) ( ( ( F o. T ) ` a ) .- ( ( F o. T ) ` b ) ) = ( ( T ` a ) .- ( T ` b ) ) )
33		motcgrg.r	. . . 4 |- .~ = (cgrG ` G )
34		fzo0ssnn0 12548	. . . . . 6 |- ( 0..^ n ) C_ NN0
35		nn0ssre 11296	. . . . . 6 |- NN0 C_ RR
36	34, 35	sstri 3612	. . . . 5 |- ( 0..^ n ) C_ RR
37	36	a1i 11	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ n e. NN0 ) /\ T : ( 0..^ n ) --> P ) -> ( 0..^ n ) C_ RR )
38	4, 5, 33, 25, 37, 13, 1	iscgrgd 25408	. . 3 |- ( ( ( ph /\ n e. NN0 ) /\ T : ( 0..^ n ) --> P ) -> ( ( F o. T ) .~ T <-> A. a e. dom ( F o. T ) A. b e. dom ( F o. T ) ( ( ( F o. T ) ` a ) .- ( ( F o. T ) ` b ) ) = ( ( T ` a ) .- ( T ` b ) ) ) )
39	32, 38	mpbird 247	. 2 |- ( ( ( ph /\ n e. NN0 ) /\ T : ( 0..^ n ) --> P ) -> ( F o. T ) .~ T )
40		motcgrg.t	. . 3 |- ( ph -> T e. Word P )
41		iswrd 13307	. . 3 |- ( T e. Word P <-> E. n e. NN0 T : ( 0..^ n ) --> P )
42	40, 41	sylib 208	. 2 |- ( ph -> E. n e. NN0 T : ( 0..^ n ) --> P )
43	39, 42	r19.29a 3078	1 |- ( ph -> ( F o. T ) .~ T )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   C_ wss 3574   {cpr 4179   <.cop 4183   class class class wbr 4653   dom cdm 5114   o. ccom 5118   -->wf 5884   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   RRcr 9935   0cc0 9936   NN0cn0 11292  ..^cfzo 12465  Word cword 13291   ndxcnx 15854   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   distcds 15950  cgrGccgrg 25405  Ismtcismt 25427

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-word 13299  df-cgrg 25406  df-ismt 25428

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