Theorem msubff1 31453

Description: When restricted to complete mappings, the substitution-producing function is one-to-one. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
msubff1.v	|- V = (mVR ` T )
msubff1.r	|- R = (mREx ` T )
msubff1.s	|- S = (mSubst ` T )
msubff1.e	|- E = (mEx ` T )

Assertion

Ref	Expression
msubff1	|- ( T e. mFS -> ( S |` ( R ^m V ) ) : ( R ^m V ) -1-1-> ( E ^m E ) )

Proof of Theorem msubff1

Dummy variables f g r v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		msubff1.v	. . . 4 |- V = (mVR ` T )
2		msubff1.r	. . . 4 |- R = (mREx ` T )
3		msubff1.s	. . . 4 |- S = (mSubst ` T )
4		msubff1.e	. . . 4 |- E = (mEx ` T )
5	1, 2, 3, 4	msubff 31427	. . 3 |- ( T e. mFS -> S : ( R ^pm V ) --> ( E ^m E ) )
6		mapsspm 7891	. . . 4 |- ( R ^m V ) C_ ( R ^pm V )
7	6	a1i 11	. . 3 |- ( T e. mFS -> ( R ^m V ) C_ ( R ^pm V ) )
8	5, 7	fssresd 6071	. 2 |- ( T e. mFS -> ( S |` ( R ^m V ) ) : ( R ^m V ) --> ( E ^m E ) )
9		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 |- (mRSubst ` T ) = (mRSubst ` T )
10	1, 2, 9	mrsubff 31409	. . . . . . . . . . . 12 |- ( T e. mFS -> (mRSubst ` T ) : ( R ^pm V ) --> ( R ^m R ) )
11	10	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( T e. mFS /\ ( f e. ( R ^m V ) /\ g e. ( R ^m V ) ) ) /\ ( v e. V /\ ( S ` f ) = ( S ` g ) ) ) -> (mRSubst ` T ) : ( R ^pm V ) --> ( R ^m R ) )
12		simplrl 800	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( T e. mFS /\ ( f e. ( R ^m V ) /\ g e. ( R ^m V ) ) ) /\ ( v e. V /\ ( S ` f ) = ( S ` g ) ) ) -> f e. ( R ^m V ) )
13	6, 12	sseldi 3601	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( T e. mFS /\ ( f e. ( R ^m V ) /\ g e. ( R ^m V ) ) ) /\ ( v e. V /\ ( S ` f ) = ( S ` g ) ) ) -> f e. ( R ^pm V ) )
14	11, 13	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( T e. mFS /\ ( f e. ( R ^m V ) /\ g e. ( R ^m V ) ) ) /\ ( v e. V /\ ( S ` f ) = ( S ` g ) ) ) -> ( (mRSubst ` T ) ` f ) e. ( R ^m R ) )
15		elmapi 7879	. . . . . . . . . 10 |- ( ( (mRSubst ` T ) ` f ) e. ( R ^m R ) -> ( (mRSubst ` T ) ` f ) : R --> R )
16		ffn 6045	. . . . . . . . . 10 |- ( ( (mRSubst ` T ) ` f ) : R --> R -> ( (mRSubst ` T ) ` f ) Fn R )
17	14, 15, 16	3syl 18	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( T e. mFS /\ ( f e. ( R ^m V ) /\ g e. ( R ^m V ) ) ) /\ ( v e. V /\ ( S ` f ) = ( S ` g ) ) ) -> ( (mRSubst ` T ) ` f ) Fn R )
18		simplrr 801	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( T e. mFS /\ ( f e. ( R ^m V ) /\ g e. ( R ^m V ) ) ) /\ ( v e. V /\ ( S ` f ) = ( S ` g ) ) ) -> g e. ( R ^m V ) )
19	6, 18	sseldi 3601	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( T e. mFS /\ ( f e. ( R ^m V ) /\ g e. ( R ^m V ) ) ) /\ ( v e. V /\ ( S ` f ) = ( S ` g ) ) ) -> g e. ( R ^pm V ) )
20	11, 19	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( T e. mFS /\ ( f e. ( R ^m V ) /\ g e. ( R ^m V ) ) ) /\ ( v e. V /\ ( S ` f ) = ( S ` g ) ) ) -> ( (mRSubst ` T ) ` g ) e. ( R ^m R ) )
21		elmapi 7879	. . . . . . . . . 10 |- ( ( (mRSubst ` T ) ` g ) e. ( R ^m R ) -> ( (mRSubst ` T ) ` g ) : R --> R )
22		ffn 6045	. . . . . . . . . 10 |- ( ( (mRSubst ` T ) ` g ) : R --> R -> ( (mRSubst ` T ) ` g ) Fn R )
23	20, 21, 22	3syl 18	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( T e. mFS /\ ( f e. ( R ^m V ) /\ g e. ( R ^m V ) ) ) /\ ( v e. V /\ ( S ` f ) = ( S ` g ) ) ) -> ( (mRSubst ` T ) ` g ) Fn R )
24		simplrr 801	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( T e. mFS /\ ( f e. ( R ^m V ) /\ g e. ( R ^m V ) ) ) /\ ( v e. V /\ ( S ` f ) = ( S ` g ) ) ) /\ r e. R ) -> ( S ` f ) = ( S ` g ) )
25	24	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( T e. mFS /\ ( f e. ( R ^m V ) /\ g e. ( R ^m V ) ) ) /\ ( v e. V /\ ( S ` f ) = ( S ` g ) ) ) /\ r e. R ) -> ( ( S ` f ) ` <. ( (mType ` T ) ` v ) , r >. ) = ( ( S ` g ) ` <. ( (mType ` T ) ` v ) , r >. ) )
26	12	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( T e. mFS /\ ( f e. ( R ^m V ) /\ g e. ( R ^m V ) ) ) /\ ( v e. V /\ ( S ` f ) = ( S ` g ) ) ) /\ r e. R ) -> f e. ( R ^m V ) )
27		elmapi 7879	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f e. ( R ^m V ) -> f : V --> R )
28	26, 27	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( T e. mFS /\ ( f e. ( R ^m V ) /\ g e. ( R ^m V ) ) ) /\ ( v e. V /\ ( S ` f ) = ( S ` g ) ) ) /\ r e. R ) -> f : V --> R )
29		ssid 3624	. . . . . . . . . . . . . 14 |- V C_ V
30	29	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( T e. mFS /\ ( f e. ( R ^m V ) /\ g e. ( R ^m V ) ) ) /\ ( v e. V /\ ( S ` f ) = ( S ` g ) ) ) /\ r e. R ) -> V C_ V )
31		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (mTC ` T ) = (mTC ` T )
32		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (mType ` T ) = (mType ` T )
33	1, 31, 32	mtyf2 31448	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( T e. mFS -> (mType ` T ) : V --> (mTC ` T ) )
34	33	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( T e. mFS /\ ( f e. ( R ^m V ) /\ g e. ( R ^m V ) ) ) /\ ( v e. V /\ ( S ` f ) = ( S ` g ) ) ) /\ r e. R ) -> (mType ` T ) : V --> (mTC ` T ) )
35		simplrl 800	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( T e. mFS /\ ( f e. ( R ^m V ) /\ g e. ( R ^m V ) ) ) /\ ( v e. V /\ ( S ` f ) = ( S ` g ) ) ) /\ r e. R ) -> v e. V )
36	34, 35	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( T e. mFS /\ ( f e. ( R ^m V ) /\ g e. ( R ^m V ) ) ) /\ ( v e. V /\ ( S ` f ) = ( S ` g ) ) ) /\ r e. R ) -> ( (mType ` T ) ` v ) e. (mTC ` T ) )
37		opelxpi 5148	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( (mType ` T ) ` v ) e. (mTC ` T ) /\ r e. R ) -> <. ( (mType ` T ) ` v ) , r >. e. ( (mTC ` T ) X. R ) )
38	36, 37	sylancom 701	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( T e. mFS /\ ( f e. ( R ^m V ) /\ g e. ( R ^m V ) ) ) /\ ( v e. V /\ ( S ` f ) = ( S ` g ) ) ) /\ r e. R ) -> <. ( (mType ` T ) ` v ) , r >. e. ( (mTC ` T ) X. R ) )
39	31, 4, 2	mexval 31399	. . . . . . . . . . . . . 14 |- E = ( (mTC ` T ) X. R )
40	38, 39	syl6eleqr 2712	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( T e. mFS /\ ( f e. ( R ^m V ) /\ g e. ( R ^m V ) ) ) /\ ( v e. V /\ ( S ` f ) = ( S ` g ) ) ) /\ r e. R ) -> <. ( (mType ` T ) ` v ) , r >. e. E )
41	1, 2, 3, 4, 9	msubval 31422	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f : V --> R /\ V C_ V /\ <. ( (mType ` T ) ` v ) , r >. e. E ) -> ( ( S ` f ) ` <. ( (mType ` T ) ` v ) , r >. ) = <. ( 1st ` <. ( (mType ` T ) ` v ) , r >. ) , ( ( (mRSubst ` T ) ` f ) ` ( 2nd ` <. ( (mType ` T ) ` v ) , r >. ) ) >. )
42	28, 30, 40, 41	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( T e. mFS /\ ( f e. ( R ^m V ) /\ g e. ( R ^m V ) ) ) /\ ( v e. V /\ ( S ` f ) = ( S ` g ) ) ) /\ r e. R ) -> ( ( S ` f ) ` <. ( (mType ` T ) ` v ) , r >. ) = <. ( 1st ` <. ( (mType ` T ) ` v ) , r >. ) , ( ( (mRSubst ` T ) ` f ) ` ( 2nd ` <. ( (mType ` T ) ` v ) , r >. ) ) >. )
43	18	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( T e. mFS /\ ( f e. ( R ^m V ) /\ g e. ( R ^m V ) ) ) /\ ( v e. V /\ ( S ` f ) = ( S ` g ) ) ) /\ r e. R ) -> g e. ( R ^m V ) )
44		elmapi 7879	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( g e. ( R ^m V ) -> g : V --> R )
45	43, 44	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( T e. mFS /\ ( f e. ( R ^m V ) /\ g e. ( R ^m V ) ) ) /\ ( v e. V /\ ( S ` f ) = ( S ` g ) ) ) /\ r e. R ) -> g : V --> R )
46	1, 2, 3, 4, 9	msubval 31422	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( g : V --> R /\ V C_ V /\ <. ( (mType ` T ) ` v ) , r >. e. E ) -> ( ( S ` g ) ` <. ( (mType ` T ) ` v ) , r >. ) = <. ( 1st ` <. ( (mType ` T ) ` v ) , r >. ) , ( ( (mRSubst ` T ) ` g ) ` ( 2nd ` <. ( (mType ` T ) ` v ) , r >. ) ) >. )
47	45, 30, 40, 46	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( T e. mFS /\ ( f e. ( R ^m V ) /\ g e. ( R ^m V ) ) ) /\ ( v e. V /\ ( S ` f ) = ( S ` g ) ) ) /\ r e. R ) -> ( ( S ` g ) ` <. ( (mType ` T ) ` v ) , r >. ) = <. ( 1st ` <. ( (mType ` T ) ` v ) , r >. ) , ( ( (mRSubst ` T ) ` g ) ` ( 2nd ` <. ( (mType ` T ) ` v ) , r >. ) ) >. )
48	25, 42, 47	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( T e. mFS /\ ( f e. ( R ^m V ) /\ g e. ( R ^m V ) ) ) /\ ( v e. V /\ ( S ` f ) = ( S ` g ) ) ) /\ r e. R ) -> <. ( 1st ` <. ( (mType ` T ) ` v ) , r >. ) , ( ( (mRSubst ` T ) ` f ) ` ( 2nd ` <. ( (mType ` T ) ` v ) , r >. ) ) >. = <. ( 1st ` <. ( (mType ` T ) ` v ) , r >. ) , ( ( (mRSubst ` T ) ` g ) ` ( 2nd ` <. ( (mType ` T ) ` v ) , r >. ) ) >. )
49		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 1st ` <. ( (mType ` T ) ` v ) , r >. ) e. _V
50		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( (mRSubst ` T ) ` f ) ` ( 2nd ` <. ( (mType ` T ) ` v ) , r >. ) ) e. _V
51	49, 50	opth 4945	. . . . . . . . . . . 12 |- ( <. ( 1st ` <. ( (mType ` T ) ` v ) , r >. ) , ( ( (mRSubst ` T ) ` f ) ` ( 2nd ` <. ( (mType ` T ) ` v ) , r >. ) ) >. = <. ( 1st ` <. ( (mType ` T ) ` v ) , r >. ) , ( ( (mRSubst ` T ) ` g ) ` ( 2nd ` <. ( (mType ` T ) ` v ) , r >. ) ) >. <-> ( ( 1st ` <. ( (mType ` T ) ` v ) , r >. ) = ( 1st ` <. ( (mType ` T ) ` v ) , r >. ) /\ ( ( (mRSubst ` T ) ` f ) ` ( 2nd ` <. ( (mType ` T ) ` v ) , r >. ) ) = ( ( (mRSubst ` T ) ` g ) ` ( 2nd ` <. ( (mType ` T ) ` v ) , r >. ) ) ) )
52	51	simprbi 480	. . . . . . . . . . 11 |- ( <. ( 1st ` <. ( (mType ` T ) ` v ) , r >. ) , ( ( (mRSubst ` T ) ` f ) ` ( 2nd ` <. ( (mType ` T ) ` v ) , r >. ) ) >. = <. ( 1st ` <. ( (mType ` T ) ` v ) , r >. ) , ( ( (mRSubst ` T ) ` g ) ` ( 2nd ` <. ( (mType ` T ) ` v ) , r >. ) ) >. -> ( ( (mRSubst ` T ) ` f ) ` ( 2nd ` <. ( (mType ` T ) ` v ) , r >. ) ) = ( ( (mRSubst ` T ) ` g ) ` ( 2nd ` <. ( (mType ` T ) ` v ) , r >. ) ) )
53	48, 52	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( T e. mFS /\ ( f e. ( R ^m V ) /\ g e. ( R ^m V ) ) ) /\ ( v e. V /\ ( S ` f ) = ( S ` g ) ) ) /\ r e. R ) -> ( ( (mRSubst ` T ) ` f ) ` ( 2nd ` <. ( (mType ` T ) ` v ) , r >. ) ) = ( ( (mRSubst ` T ) ` g ) ` ( 2nd ` <. ( (mType ` T ) ` v ) , r >. ) ) )
54		fvex 6201	. . . . . . . . . . . 12 |- ( (mType ` T ) ` v ) e. _V
55		vex 3203	. . . . . . . . . . . 12 |- r e. _V
56	54, 55	op2nd 7177	. . . . . . . . . . 11 |- ( 2nd ` <. ( (mType ` T ) ` v ) , r >. ) = r
57	56	fveq2i 6194	. . . . . . . . . 10 |- ( ( (mRSubst ` T ) ` f ) ` ( 2nd ` <. ( (mType ` T ) ` v ) , r >. ) ) = ( ( (mRSubst ` T ) ` f ) ` r )
58	56	fveq2i 6194	. . . . . . . . . 10 |- ( ( (mRSubst ` T ) ` g ) ` ( 2nd ` <. ( (mType ` T ) ` v ) , r >. ) ) = ( ( (mRSubst ` T ) ` g ) ` r )
59	53, 57, 58	3eqtr3g 2679	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( T e. mFS /\ ( f e. ( R ^m V ) /\ g e. ( R ^m V ) ) ) /\ ( v e. V /\ ( S ` f ) = ( S ` g ) ) ) /\ r e. R ) -> ( ( (mRSubst ` T ) ` f ) ` r ) = ( ( (mRSubst ` T ) ` g ) ` r ) )
60	17, 23, 59	eqfnfvd 6314	. . . . . . . 8 |- ( ( ( T e. mFS /\ ( f e. ( R ^m V ) /\ g e. ( R ^m V ) ) ) /\ ( v e. V /\ ( S ` f ) = ( S ` g ) ) ) -> ( (mRSubst ` T ) ` f ) = ( (mRSubst ` T ) ` g ) )
61	1, 2, 9	mrsubff1 31411	. . . . . . . . . . 11 |- ( T e. mFS -> ( (mRSubst ` T ) |` ( R ^m V ) ) : ( R ^m V ) -1-1-> ( R ^m R ) )
62		f1fveq 6519	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( (mRSubst ` T ) |` ( R ^m V ) ) : ( R ^m V ) -1-1-> ( R ^m R ) /\ ( f e. ( R ^m V ) /\ g e. ( R ^m V ) ) ) -> ( ( ( (mRSubst ` T ) |` ( R ^m V ) ) ` f ) = ( ( (mRSubst ` T ) |` ( R ^m V ) ) ` g ) <-> f = g ) )
63	61, 62	sylan 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T e. mFS /\ ( f e. ( R ^m V ) /\ g e. ( R ^m V ) ) ) -> ( ( ( (mRSubst ` T ) |` ( R ^m V ) ) ` f ) = ( ( (mRSubst ` T ) |` ( R ^m V ) ) ` g ) <-> f = g ) )
64		fvres 6207	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f e. ( R ^m V ) -> ( ( (mRSubst ` T ) |` ( R ^m V ) ) ` f ) = ( (mRSubst ` T ) ` f ) )
65		fvres 6207	. . . . . . . . . . . 12 |- ( g e. ( R ^m V ) -> ( ( (mRSubst ` T ) |` ( R ^m V ) ) ` g ) = ( (mRSubst ` T ) ` g ) )
66	64, 65	eqeqan12d 2638	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( f e. ( R ^m V ) /\ g e. ( R ^m V ) ) -> ( ( ( (mRSubst ` T ) |` ( R ^m V ) ) ` f ) = ( ( (mRSubst ` T ) |` ( R ^m V ) ) ` g ) <-> ( (mRSubst ` T ) ` f ) = ( (mRSubst ` T ) ` g ) ) )
67	66	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T e. mFS /\ ( f e. ( R ^m V ) /\ g e. ( R ^m V ) ) ) -> ( ( ( (mRSubst ` T ) |` ( R ^m V ) ) ` f ) = ( ( (mRSubst ` T ) |` ( R ^m V ) ) ` g ) <-> ( (mRSubst ` T ) ` f ) = ( (mRSubst ` T ) ` g ) ) )
68	63, 67	bitr3d 270	. . . . . . . . 9 |- ( ( T e. mFS /\ ( f e. ( R ^m V ) /\ g e. ( R ^m V ) ) ) -> ( f = g <-> ( (mRSubst ` T ) ` f ) = ( (mRSubst ` T ) ` g ) ) )
69	68	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( T e. mFS /\ ( f e. ( R ^m V ) /\ g e. ( R ^m V ) ) ) /\ ( v e. V /\ ( S ` f ) = ( S ` g ) ) ) -> ( f = g <-> ( (mRSubst ` T ) ` f ) = ( (mRSubst ` T ) ` g ) ) )
70	60, 69	mpbird 247	. . . . . . 7 |- ( ( ( T e. mFS /\ ( f e. ( R ^m V ) /\ g e. ( R ^m V ) ) ) /\ ( v e. V /\ ( S ` f ) = ( S ` g ) ) ) -> f = g )
71	70	fveq1d 6193	. . . . . 6 |- ( ( ( T e. mFS /\ ( f e. ( R ^m V ) /\ g e. ( R ^m V ) ) ) /\ ( v e. V /\ ( S ` f ) = ( S ` g ) ) ) -> ( f ` v ) = ( g ` v ) )
72	71	expr 643	. . . . 5 |- ( ( ( T e. mFS /\ ( f e. ( R ^m V ) /\ g e. ( R ^m V ) ) ) /\ v e. V ) -> ( ( S ` f ) = ( S ` g ) -> ( f ` v ) = ( g ` v ) ) )
73	72	ralrimdva 2969	. . . 4 |- ( ( T e. mFS /\ ( f e. ( R ^m V ) /\ g e. ( R ^m V ) ) ) -> ( ( S ` f ) = ( S ` g ) -> A. v e. V ( f ` v ) = ( g ` v ) ) )
74		fvres 6207	. . . . . 6 |- ( f e. ( R ^m V ) -> ( ( S |` ( R ^m V ) ) ` f ) = ( S ` f ) )
75		fvres 6207	. . . . . 6 |- ( g e. ( R ^m V ) -> ( ( S |` ( R ^m V ) ) ` g ) = ( S ` g ) )
76	74, 75	eqeqan12d 2638	. . . . 5 |- ( ( f e. ( R ^m V ) /\ g e. ( R ^m V ) ) -> ( ( ( S |` ( R ^m V ) ) ` f ) = ( ( S |` ( R ^m V ) ) ` g ) <-> ( S ` f ) = ( S ` g ) ) )
77	76	adantl 482	. . . 4 |- ( ( T e. mFS /\ ( f e. ( R ^m V ) /\ g e. ( R ^m V ) ) ) -> ( ( ( S |` ( R ^m V ) ) ` f ) = ( ( S |` ( R ^m V ) ) ` g ) <-> ( S ` f ) = ( S ` g ) ) )
78		ffn 6045	. . . . . . 7 |- ( f : V --> R -> f Fn V )
79		ffn 6045	. . . . . . 7 |- ( g : V --> R -> g Fn V )
80		eqfnfv 6311	. . . . . . 7 |- ( ( f Fn V /\ g Fn V ) -> ( f = g <-> A. v e. V ( f ` v ) = ( g ` v ) ) )
81	78, 79, 80	syl2an 494	. . . . . 6 |- ( ( f : V --> R /\ g : V --> R ) -> ( f = g <-> A. v e. V ( f ` v ) = ( g ` v ) ) )
82	27, 44, 81	syl2an 494	. . . . 5 |- ( ( f e. ( R ^m V ) /\ g e. ( R ^m V ) ) -> ( f = g <-> A. v e. V ( f ` v ) = ( g ` v ) ) )
83	82	adantl 482	. . . 4 |- ( ( T e. mFS /\ ( f e. ( R ^m V ) /\ g e. ( R ^m V ) ) ) -> ( f = g <-> A. v e. V ( f ` v ) = ( g ` v ) ) )
84	73, 77, 83	3imtr4d 283	. . 3 |- ( ( T e. mFS /\ ( f e. ( R ^m V ) /\ g e. ( R ^m V ) ) ) -> ( ( ( S |` ( R ^m V ) ) ` f ) = ( ( S |` ( R ^m V ) ) ` g ) -> f = g ) )
85	84	ralrimivva 2971	. 2 |- ( T e. mFS -> A. f e. ( R ^m V ) A. g e. ( R ^m V ) ( ( ( S |` ( R ^m V ) ) ` f ) = ( ( S |` ( R ^m V ) ) ` g ) -> f = g ) )
86		dff13 6512	. 2 |- ( ( S |` ( R ^m V ) ) : ( R ^m V ) -1-1-> ( E ^m E ) <-> ( ( S |` ( R ^m V ) ) : ( R ^m V ) --> ( E ^m E ) /\ A. f e. ( R ^m V ) A. g e. ( R ^m V ) ( ( ( S |` ( R ^m V ) ) ` f ) = ( ( S |` ( R ^m V ) ) ` g ) -> f = g ) ) )
87	8, 85, 86	sylanbrc 698	1 |- ( T e. mFS -> ( S |` ( R ^m V ) ) : ( R ^m V ) -1-1-> ( E ^m E ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   C_ wss 3574   <.cop 4183   X. cxp 5112   |` cres 5116   Fn wfn 5883   -->wf 5884   -1-1->wf1 5885   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   1stc1st 7166   2ndc2nd 7167   ^m cmap 7857   ^pm cpm 7858  mVRcmvar 31358  mTypecmty 31359  mTCcmtc 31361  mRExcmrex 31363  mExcmex 31364  mRSubstcmrsub 31367  mSubstcmsub 31368  mFScmfs 31373

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-word 13299  df-concat 13301  df-s1 13302  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-frmd 17386  df-mrex 31383  df-mex 31384  df-mrsub 31387  df-msub 31388  df-mfs 31393

This theorem is referenced by:  msubff1o  31454