Theorem mrsubff 31409

Description: A substitution is a function from R to R. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mrsubvr.v	|- V = (mVR ` T )
mrsubvr.r	|- R = (mREx ` T )
mrsubvr.s	|- S = (mRSubst ` T )

Assertion

Ref	Expression
mrsubff	|- ( T e. W -> S : ( R ^pm V ) --> ( R ^m R ) )

Proof of Theorem mrsubff

Dummy variables e f v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6201	. . . . . . . . 9 |- (mCN ` T ) e. _V
2		mrsubvr.v	. . . . . . . . . 10 |- V = (mVR ` T )
3		fvex 6201	. . . . . . . . . 10 |- (mVR ` T ) e. _V
4	2, 3	eqeltri 2697	. . . . . . . . 9 |- V e. _V
5	1, 4	unex 6956	. . . . . . . 8 |- ( (mCN ` T ) u. V ) e. _V
6		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- (freeMnd ` ( (mCN ` T ) u. V ) ) = (freeMnd ` ( (mCN ` T ) u. V ) )
7	6	frmdmnd 17396	. . . . . . . 8 |- ( ( (mCN ` T ) u. V ) e. _V -> (freeMnd ` ( (mCN ` T ) u. V ) ) e. Mnd )
8	5, 7	mp1i 13	. . . . . . 7 |- ( ( ( T e. W /\ f e. ( R ^pm V ) ) /\ e e. R ) -> (freeMnd ` ( (mCN ` T ) u. V ) ) e. Mnd )
9		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( T e. W /\ f e. ( R ^pm V ) ) /\ e e. R ) -> e e. R )
10		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- (mCN ` T ) = (mCN ` T )
11		mrsubvr.r	. . . . . . . . . . 11 |- R = (mREx ` T )
12	10, 2, 11	mrexval 31398	. . . . . . . . . 10 |- ( T e. W -> R = Word ( (mCN ` T ) u. V ) )
13	12	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( T e. W /\ f e. ( R ^pm V ) ) /\ e e. R ) -> R = Word ( (mCN ` T ) u. V ) )
14	9, 13	eleqtrd 2703	. . . . . . . 8 |- ( ( ( T e. W /\ f e. ( R ^pm V ) ) /\ e e. R ) -> e e. Word ( (mCN ` T ) u. V ) )
15		elpmi 7876	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f e. ( R ^pm V ) -> ( f : dom f --> R /\ dom f C_ V ) )
16	15	simpld 475	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f e. ( R ^pm V ) -> f : dom f --> R )
17	16	ad3antlr 767	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( T e. W /\ f e. ( R ^pm V ) ) /\ e e. R ) /\ v e. ( (mCN ` T ) u. V ) ) -> f : dom f --> R )
18	17	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( T e. W /\ f e. ( R ^pm V ) ) /\ e e. R ) /\ v e. ( (mCN ` T ) u. V ) ) /\ v e. dom f ) -> ( f ` v ) e. R )
19	13	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( T e. W /\ f e. ( R ^pm V ) ) /\ e e. R ) /\ v e. ( (mCN ` T ) u. V ) ) /\ v e. dom f ) -> R = Word ( (mCN ` T ) u. V ) )
20	18, 19	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( T e. W /\ f e. ( R ^pm V ) ) /\ e e. R ) /\ v e. ( (mCN ` T ) u. V ) ) /\ v e. dom f ) -> ( f ` v ) e. Word ( (mCN ` T ) u. V ) )
21		simplr 792	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( T e. W /\ f e. ( R ^pm V ) ) /\ e e. R ) /\ v e. ( (mCN ` T ) u. V ) ) /\ -. v e. dom f ) -> v e. ( (mCN ` T ) u. V ) )
22	21	s1cld 13383	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( T e. W /\ f e. ( R ^pm V ) ) /\ e e. R ) /\ v e. ( (mCN ` T ) u. V ) ) /\ -. v e. dom f ) -> <" v "> e. Word ( (mCN ` T ) u. V ) )
23	20, 22	ifclda 4120	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( T e. W /\ f e. ( R ^pm V ) ) /\ e e. R ) /\ v e. ( (mCN ` T ) u. V ) ) -> if ( v e. dom f , ( f ` v ) , <" v "> ) e. Word ( (mCN ` T ) u. V ) )
24		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( v e. ( (mCN ` T ) u. V ) |-> if ( v e. dom f , ( f ` v ) , <" v "> ) ) = ( v e. ( (mCN ` T ) u. V ) |-> if ( v e. dom f , ( f ` v ) , <" v "> ) )
25	23, 24	fmptd 6385	. . . . . . . 8 |- ( ( ( T e. W /\ f e. ( R ^pm V ) ) /\ e e. R ) -> ( v e. ( (mCN ` T ) u. V ) |-> if ( v e. dom f , ( f ` v ) , <" v "> ) ) : ( (mCN ` T ) u. V ) -->Word ( (mCN ` T ) u. V ) )
26		wrdco 13577	. . . . . . . 8 |- ( ( e e. Word ( (mCN ` T ) u. V ) /\ ( v e. ( (mCN ` T ) u. V ) |-> if ( v e. dom f , ( f ` v ) , <" v "> ) ) : ( (mCN ` T ) u. V ) -->Word ( (mCN ` T ) u. V ) ) -> ( ( v e. ( (mCN ` T ) u. V ) |-> if ( v e. dom f , ( f ` v ) , <" v "> ) ) o. e ) e. Word Word ( (mCN ` T ) u. V ) )
27	14, 25, 26	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ( T e. W /\ f e. ( R ^pm V ) ) /\ e e. R ) -> ( ( v e. ( (mCN ` T ) u. V ) |-> if ( v e. dom f , ( f ` v ) , <" v "> ) ) o. e ) e. Word Word ( (mCN ` T ) u. V ) )
28		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- ( Base ` (freeMnd ` ( (mCN ` T ) u. V ) ) ) = ( Base ` (freeMnd ` ( (mCN ` T ) u. V ) ) )
29	6, 28	frmdbas 17389	. . . . . . . . . 10 |- ( ( (mCN ` T ) u. V ) e. _V -> ( Base ` (freeMnd ` ( (mCN ` T ) u. V ) ) ) = Word ( (mCN ` T ) u. V ) )
30	5, 29	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( Base ` (freeMnd ` ( (mCN ` T ) u. V ) ) ) = Word ( (mCN ` T ) u. V )
31	30	eqcomi 2631	. . . . . . . 8 |- Word ( (mCN ` T ) u. V ) = ( Base ` (freeMnd ` ( (mCN ` T ) u. V ) ) )
32	31	gsumwcl 17377	. . . . . . 7 |- ( ( (freeMnd ` ( (mCN ` T ) u. V ) ) e. Mnd /\ ( ( v e. ( (mCN ` T ) u. V ) |-> if ( v e. dom f , ( f ` v ) , <" v "> ) ) o. e ) e. Word Word ( (mCN ` T ) u. V ) ) -> ( (freeMnd ` ( (mCN ` T ) u. V ) ) gsumg ( ( v e. ( (mCN ` T ) u. V ) |-> if ( v e. dom f , ( f ` v ) , <" v "> ) ) o. e ) ) e. Word ( (mCN ` T ) u. V ) )
33	8, 27, 32	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ( T e. W /\ f e. ( R ^pm V ) ) /\ e e. R ) -> ( (freeMnd ` ( (mCN ` T ) u. V ) ) gsumg ( ( v e. ( (mCN ` T ) u. V ) |-> if ( v e. dom f , ( f ` v ) , <" v "> ) ) o. e ) ) e. Word ( (mCN ` T ) u. V ) )
34	33, 13	eleqtrrd 2704	. . . . 5 |- ( ( ( T e. W /\ f e. ( R ^pm V ) ) /\ e e. R ) -> ( (freeMnd ` ( (mCN ` T ) u. V ) ) gsumg ( ( v e. ( (mCN ` T ) u. V ) |-> if ( v e. dom f , ( f ` v ) , <" v "> ) ) o. e ) ) e. R )
35		eqid 2622	. . . . 5 |- ( e e. R |-> ( (freeMnd ` ( (mCN ` T ) u. V ) ) gsumg ( ( v e. ( (mCN ` T ) u. V ) |-> if ( v e. dom f , ( f ` v ) , <" v "> ) ) o. e ) ) ) = ( e e. R |-> ( (freeMnd ` ( (mCN ` T ) u. V ) ) gsumg ( ( v e. ( (mCN ` T ) u. V ) |-> if ( v e. dom f , ( f ` v ) , <" v "> ) ) o. e ) ) )
36	34, 35	fmptd 6385	. . . 4 |- ( ( T e. W /\ f e. ( R ^pm V ) ) -> ( e e. R |-> ( (freeMnd ` ( (mCN ` T ) u. V ) ) gsumg ( ( v e. ( (mCN ` T ) u. V ) |-> if ( v e. dom f , ( f ` v ) , <" v "> ) ) o. e ) ) ) : R --> R )
37		fvex 6201	. . . . . 6 |- (mREx ` T ) e. _V
38	11, 37	eqeltri 2697	. . . . 5 |- R e. _V
39	38, 38	elmap 7886	. . . 4 |- ( ( e e. R |-> ( (freeMnd ` ( (mCN ` T ) u. V ) ) gsumg ( ( v e. ( (mCN ` T ) u. V ) |-> if ( v e. dom f , ( f ` v ) , <" v "> ) ) o. e ) ) ) e. ( R ^m R ) <-> ( e e. R |-> ( (freeMnd ` ( (mCN ` T ) u. V ) ) gsumg ( ( v e. ( (mCN ` T ) u. V ) |-> if ( v e. dom f , ( f ` v ) , <" v "> ) ) o. e ) ) ) : R --> R )
40	36, 39	sylibr 224	. . 3 |- ( ( T e. W /\ f e. ( R ^pm V ) ) -> ( e e. R |-> ( (freeMnd ` ( (mCN ` T ) u. V ) ) gsumg ( ( v e. ( (mCN ` T ) u. V ) |-> if ( v e. dom f , ( f ` v ) , <" v "> ) ) o. e ) ) ) e. ( R ^m R ) )
41		eqid 2622	. . 3 |- ( f e. ( R ^pm V ) |-> ( e e. R |-> ( (freeMnd ` ( (mCN ` T ) u. V ) ) gsumg ( ( v e. ( (mCN ` T ) u. V ) |-> if ( v e. dom f , ( f ` v ) , <" v "> ) ) o. e ) ) ) ) = ( f e. ( R ^pm V ) |-> ( e e. R |-> ( (freeMnd ` ( (mCN ` T ) u. V ) ) gsumg ( ( v e. ( (mCN ` T ) u. V ) |-> if ( v e. dom f , ( f ` v ) , <" v "> ) ) o. e ) ) ) )
42	40, 41	fmptd 6385	. 2 |- ( T e. W -> ( f e. ( R ^pm V ) |-> ( e e. R |-> ( (freeMnd ` ( (mCN ` T ) u. V ) ) gsumg ( ( v e. ( (mCN ` T ) u. V ) |-> if ( v e. dom f , ( f ` v ) , <" v "> ) ) o. e ) ) ) ) : ( R ^pm V ) --> ( R ^m R ) )
43		mrsubvr.s	. . . 4 |- S = (mRSubst ` T )
44	10, 2, 11, 43, 6	mrsubffval 31404	. . 3 |- ( T e. W -> S = ( f e. ( R ^pm V ) |-> ( e e. R |-> ( (freeMnd ` ( (mCN ` T ) u. V ) ) gsumg ( ( v e. ( (mCN ` T ) u. V ) |-> if ( v e. dom f , ( f ` v ) , <" v "> ) ) o. e ) ) ) ) )
45	44	feq1d 6030	. 2 |- ( T e. W -> ( S : ( R ^pm V ) --> ( R ^m R ) <-> ( f e. ( R ^pm V ) |-> ( e e. R |-> ( (freeMnd ` ( (mCN ` T ) u. V ) ) gsumg ( ( v e. ( (mCN ` T ) u. V ) |-> if ( v e. dom f , ( f ` v ) , <" v "> ) ) o. e ) ) ) ) : ( R ^pm V ) --> ( R ^m R ) ) )
46	42, 45	mpbird 247	1 |- ( T e. W -> S : ( R ^pm V ) --> ( R ^m R ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   u. cun 3572   C_ wss 3574   ifcif 4086   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   o. ccom 5118   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   ^pm cpm 7858  Word cword 13291   <"cs1 13294   Basecbs 15857   gsum_g cgsu 16101   Mndcmnd 17294  freeMndcfrmd 17384  mCNcmcn 31357  mVRcmvar 31358  mRExcmrex 31363  mRSubstcmrsub 31367

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-word 13299  df-concat 13301  df-s1 13302  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-frmd 17386  df-mrex 31383  df-mrsub 31387

This theorem is referenced by:  mrsubrn  31410  mrsubff1  31411  mrsub0  31413  mrsubf  31414  mrsubccat  31415  mrsubcn  31416  elmrsubrn  31417  elmsubrn  31425  msubrn  31426  msubff  31427  msubff1  31453