Theorem mrsubrn 31410

Description: Although it is defined for partial mappings of variables, every partial substitution is a substitution on some complete mapping of the variables. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mrsubvr.v	|- V = (mVR ` T )
mrsubvr.r	|- R = (mREx ` T )
mrsubvr.s	|- S = (mRSubst ` T )

Assertion

Ref	Expression
mrsubrn	|- ran S = ( S " ( R ^m V ) )

Proof of Theorem mrsubrn

Dummy variables e f v x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mrsubvr.v	. . . . . . 7 |- V = (mVR ` T )
2		mrsubvr.r	. . . . . . 7 |- R = (mREx ` T )
3		mrsubvr.s	. . . . . . 7 |- S = (mRSubst ` T )
4	1, 2, 3	mrsubff 31409	. . . . . 6 |- ( T e. _V -> S : ( R ^pm V ) --> ( R ^m R ) )
5		ffn 6045	. . . . . 6 |- ( S : ( R ^pm V ) --> ( R ^m R ) -> S Fn ( R ^pm V ) )
6	4, 5	syl 17	. . . . 5 |- ( T e. _V -> S Fn ( R ^pm V ) )
7		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = v -> ( x e. dom f <-> v e. dom f ) )
8		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = v -> ( f ` x ) = ( f ` v ) )
9		s1eq 13380	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = v -> <" x "> = <" v "> )
10	7, 8, 9	ifbieq12d 4113	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = v -> if ( x e. dom f , ( f ` x ) , <" x "> ) = if ( v e. dom f , ( f ` v ) , <" v "> ) )
11		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. V |-> if ( x e. dom f , ( f ` x ) , <" x "> ) ) = ( x e. V |-> if ( x e. dom f , ( f ` x ) , <" x "> ) )
12		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( f ` v ) e. _V
13		s1cli 13384	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- <" v "> e. Word _V
14	13	elexi 3213	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- <" v "> e. _V
15	12, 14	ifex 4156	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- if ( v e. dom f , ( f ` v ) , <" v "> ) e. _V
16	10, 11, 15	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( v e. V -> ( ( x e. V |-> if ( x e. dom f , ( f ` x ) , <" x "> ) ) ` v ) = if ( v e. dom f , ( f ` v ) , <" v "> ) )
17	16	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( T e. _V /\ f e. ( R ^pm V ) ) /\ v e. V ) -> ( ( x e. V |-> if ( x e. dom f , ( f ` x ) , <" x "> ) ) ` v ) = if ( v e. dom f , ( f ` v ) , <" v "> ) )
18	17	ifeq1da 4116	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( T e. _V /\ f e. ( R ^pm V ) ) -> if ( v e. V , ( ( x e. V |-> if ( x e. dom f , ( f ` x ) , <" x "> ) ) ` v ) , <" v "> ) = if ( v e. V , if ( v e. dom f , ( f ` v ) , <" v "> ) , <" v "> ) )
19		ifan 4134	. . . . . . . . . . . . . 14 |- if ( ( v e. V /\ v e. dom f ) , ( f ` v ) , <" v "> ) = if ( v e. V , if ( v e. dom f , ( f ` v ) , <" v "> ) , <" v "> )
20	18, 19	syl6eqr 2674	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( T e. _V /\ f e. ( R ^pm V ) ) -> if ( v e. V , ( ( x e. V |-> if ( x e. dom f , ( f ` x ) , <" x "> ) ) ` v ) , <" v "> ) = if ( ( v e. V /\ v e. dom f ) , ( f ` v ) , <" v "> ) )
21		elpmi 7876	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( f e. ( R ^pm V ) -> ( f : dom f --> R /\ dom f C_ V ) )
22	21	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( T e. _V /\ f e. ( R ^pm V ) ) -> ( f : dom f --> R /\ dom f C_ V ) )
23	22	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( T e. _V /\ f e. ( R ^pm V ) ) -> dom f C_ V )
24	23	sseld 3602	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( T e. _V /\ f e. ( R ^pm V ) ) -> ( v e. dom f -> v e. V ) )
25	24	pm4.71rd 667	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( T e. _V /\ f e. ( R ^pm V ) ) -> ( v e. dom f <-> ( v e. V /\ v e. dom f ) ) )
26	25	bicomd 213	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( T e. _V /\ f e. ( R ^pm V ) ) -> ( ( v e. V /\ v e. dom f ) <-> v e. dom f ) )
27	26	ifbid 4108	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( T e. _V /\ f e. ( R ^pm V ) ) -> if ( ( v e. V /\ v e. dom f ) , ( f ` v ) , <" v "> ) = if ( v e. dom f , ( f ` v ) , <" v "> ) )
28	20, 27	eqtr2d 2657	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( T e. _V /\ f e. ( R ^pm V ) ) -> if ( v e. dom f , ( f ` v ) , <" v "> ) = if ( v e. V , ( ( x e. V |-> if ( x e. dom f , ( f ` x ) , <" x "> ) ) ` v ) , <" v "> ) )
29	28	mpteq2dv 4745	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T e. _V /\ f e. ( R ^pm V ) ) -> ( v e. ( (mCN ` T ) u. V ) |-> if ( v e. dom f , ( f ` v ) , <" v "> ) ) = ( v e. ( (mCN ` T ) u. V ) |-> if ( v e. V , ( ( x e. V |-> if ( x e. dom f , ( f ` x ) , <" x "> ) ) ` v ) , <" v "> ) ) )
30	29	coeq1d 5283	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T e. _V /\ f e. ( R ^pm V ) ) -> ( ( v e. ( (mCN ` T ) u. V ) |-> if ( v e. dom f , ( f ` v ) , <" v "> ) ) o. e ) = ( ( v e. ( (mCN ` T ) u. V ) |-> if ( v e. V , ( ( x e. V |-> if ( x e. dom f , ( f ` x ) , <" x "> ) ) ` v ) , <" v "> ) ) o. e ) )
31	30	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( ( T e. _V /\ f e. ( R ^pm V ) ) -> ( (freeMnd ` ( (mCN ` T ) u. V ) ) gsumg ( ( v e. ( (mCN ` T ) u. V ) |-> if ( v e. dom f , ( f ` v ) , <" v "> ) ) o. e ) ) = ( (freeMnd ` ( (mCN ` T ) u. V ) ) gsumg ( ( v e. ( (mCN ` T ) u. V ) |-> if ( v e. V , ( ( x e. V |-> if ( x e. dom f , ( f ` x ) , <" x "> ) ) ` v ) , <" v "> ) ) o. e ) ) )
32	31	mpteq2dv 4745	. . . . . . . 8 |- ( ( T e. _V /\ f e. ( R ^pm V ) ) -> ( e e. R |-> ( (freeMnd ` ( (mCN ` T ) u. V ) ) gsumg ( ( v e. ( (mCN ` T ) u. V ) |-> if ( v e. dom f , ( f ` v ) , <" v "> ) ) o. e ) ) ) = ( e e. R |-> ( (freeMnd ` ( (mCN ` T ) u. V ) ) gsumg ( ( v e. ( (mCN ` T ) u. V ) |-> if ( v e. V , ( ( x e. V |-> if ( x e. dom f , ( f ` x ) , <" x "> ) ) ` v ) , <" v "> ) ) o. e ) ) ) )
33		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- (mCN ` T ) = (mCN ` T )
34		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- (freeMnd ` ( (mCN ` T ) u. V ) ) = (freeMnd ` ( (mCN ` T ) u. V ) )
35	33, 1, 2, 3, 34	mrsubfval 31405	. . . . . . . . 9 |- ( ( f : dom f --> R /\ dom f C_ V ) -> ( S ` f ) = ( e e. R |-> ( (freeMnd ` ( (mCN ` T ) u. V ) ) gsumg ( ( v e. ( (mCN ` T ) u. V ) |-> if ( v e. dom f , ( f ` v ) , <" v "> ) ) o. e ) ) ) )
36	22, 35	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( T e. _V /\ f e. ( R ^pm V ) ) -> ( S ` f ) = ( e e. R |-> ( (freeMnd ` ( (mCN ` T ) u. V ) ) gsumg ( ( v e. ( (mCN ` T ) u. V ) |-> if ( v e. dom f , ( f ` v ) , <" v "> ) ) o. e ) ) ) )
37	22	simpld 475	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( T e. _V /\ f e. ( R ^pm V ) ) -> f : dom f --> R )
38	37	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( T e. _V /\ f e. ( R ^pm V ) ) /\ x e. V ) -> f : dom f --> R )
39	38	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( T e. _V /\ f e. ( R ^pm V ) ) /\ x e. V ) /\ x e. dom f ) -> ( f ` x ) e. R )
40		elun2 3781	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. V -> x e. ( (mCN ` T ) u. V ) )
41	40	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( T e. _V /\ f e. ( R ^pm V ) ) /\ x e. V ) /\ -. x e. dom f ) -> x e. ( (mCN ` T ) u. V ) )
42	41	s1cld 13383	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( T e. _V /\ f e. ( R ^pm V ) ) /\ x e. V ) /\ -. x e. dom f ) -> <" x "> e. Word ( (mCN ` T ) u. V ) )
43	33, 1, 2	mrexval 31398	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( T e. _V -> R = Word ( (mCN ` T ) u. V ) )
44	43	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( T e. _V /\ f e. ( R ^pm V ) ) /\ x e. V ) /\ -. x e. dom f ) -> R = Word ( (mCN ` T ) u. V ) )
45	42, 44	eleqtrrd 2704	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( T e. _V /\ f e. ( R ^pm V ) ) /\ x e. V ) /\ -. x e. dom f ) -> <" x "> e. R )
46	39, 45	ifclda 4120	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( T e. _V /\ f e. ( R ^pm V ) ) /\ x e. V ) -> if ( x e. dom f , ( f ` x ) , <" x "> ) e. R )
47	46, 11	fmptd 6385	. . . . . . . . 9 |- ( ( T e. _V /\ f e. ( R ^pm V ) ) -> ( x e. V |-> if ( x e. dom f , ( f ` x ) , <" x "> ) ) : V --> R )
48		ssid 3624	. . . . . . . . 9 |- V C_ V
49	33, 1, 2, 3, 34	mrsubfval 31405	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. V |-> if ( x e. dom f , ( f ` x ) , <" x "> ) ) : V --> R /\ V C_ V ) -> ( S ` ( x e. V |-> if ( x e. dom f , ( f ` x ) , <" x "> ) ) ) = ( e e. R |-> ( (freeMnd ` ( (mCN ` T ) u. V ) ) gsumg ( ( v e. ( (mCN ` T ) u. V ) |-> if ( v e. V , ( ( x e. V |-> if ( x e. dom f , ( f ` x ) , <" x "> ) ) ` v ) , <" v "> ) ) o. e ) ) ) )
50	47, 48, 49	sylancl 694	. . . . . . . 8 |- ( ( T e. _V /\ f e. ( R ^pm V ) ) -> ( S ` ( x e. V |-> if ( x e. dom f , ( f ` x ) , <" x "> ) ) ) = ( e e. R |-> ( (freeMnd ` ( (mCN ` T ) u. V ) ) gsumg ( ( v e. ( (mCN ` T ) u. V ) |-> if ( v e. V , ( ( x e. V |-> if ( x e. dom f , ( f ` x ) , <" x "> ) ) ` v ) , <" v "> ) ) o. e ) ) ) )
51	32, 36, 50	3eqtr4d 2666	. . . . . . 7 |- ( ( T e. _V /\ f e. ( R ^pm V ) ) -> ( S ` f ) = ( S ` ( x e. V |-> if ( x e. dom f , ( f ` x ) , <" x "> ) ) ) )
52	6	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( T e. _V /\ f e. ( R ^pm V ) ) -> S Fn ( R ^pm V ) )
53		mapsspm 7891	. . . . . . . . 9 |- ( R ^m V ) C_ ( R ^pm V )
54	53	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( T e. _V /\ f e. ( R ^pm V ) ) -> ( R ^m V ) C_ ( R ^pm V ) )
55		fvex 6201	. . . . . . . . . . 11 |- (mREx ` T ) e. _V
56	2, 55	eqeltri 2697	. . . . . . . . . 10 |- R e. _V
57		fvex 6201	. . . . . . . . . . 11 |- (mVR ` T ) e. _V
58	1, 57	eqeltri 2697	. . . . . . . . . 10 |- V e. _V
59	56, 58	elmap 7886	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. V |-> if ( x e. dom f , ( f ` x ) , <" x "> ) ) e. ( R ^m V ) <-> ( x e. V |-> if ( x e. dom f , ( f ` x ) , <" x "> ) ) : V --> R )
60	47, 59	sylibr 224	. . . . . . . 8 |- ( ( T e. _V /\ f e. ( R ^pm V ) ) -> ( x e. V |-> if ( x e. dom f , ( f ` x ) , <" x "> ) ) e. ( R ^m V ) )
61		fnfvima 6496	. . . . . . . 8 |- ( ( S Fn ( R ^pm V ) /\ ( R ^m V ) C_ ( R ^pm V ) /\ ( x e. V |-> if ( x e. dom f , ( f ` x ) , <" x "> ) ) e. ( R ^m V ) ) -> ( S ` ( x e. V |-> if ( x e. dom f , ( f ` x ) , <" x "> ) ) ) e. ( S " ( R ^m V ) ) )
62	52, 54, 60, 61	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ( T e. _V /\ f e. ( R ^pm V ) ) -> ( S ` ( x e. V |-> if ( x e. dom f , ( f ` x ) , <" x "> ) ) ) e. ( S " ( R ^m V ) ) )
63	51, 62	eqeltrd 2701	. . . . . 6 |- ( ( T e. _V /\ f e. ( R ^pm V ) ) -> ( S ` f ) e. ( S " ( R ^m V ) ) )
64	63	ralrimiva 2966	. . . . 5 |- ( T e. _V -> A. f e. ( R ^pm V ) ( S ` f ) e. ( S " ( R ^m V ) ) )
65		ffnfv 6388	. . . . 5 |- ( S : ( R ^pm V ) --> ( S " ( R ^m V ) ) <-> ( S Fn ( R ^pm V ) /\ A. f e. ( R ^pm V ) ( S ` f ) e. ( S " ( R ^m V ) ) ) )
66	6, 64, 65	sylanbrc 698	. . . 4 |- ( T e. _V -> S : ( R ^pm V ) --> ( S " ( R ^m V ) ) )
67		frn 6053	. . . 4 |- ( S : ( R ^pm V ) --> ( S " ( R ^m V ) ) -> ran S C_ ( S " ( R ^m V ) ) )
68	66, 67	syl 17	. . 3 |- ( T e. _V -> ran S C_ ( S " ( R ^m V ) ) )
69		fvprc 6185	. . . . . . 7 |- ( -. T e. _V -> (mRSubst ` T ) = (/) )
70	3, 69	syl5eq 2668	. . . . . 6 |- ( -. T e. _V -> S = (/) )
71	70	rneqd 5353	. . . . 5 |- ( -. T e. _V -> ran S = ran (/) )
72		rn0 5377	. . . . 5 |- ran (/) = (/)
73	71, 72	syl6eq 2672	. . . 4 |- ( -. T e. _V -> ran S = (/) )
74		0ss 3972	. . . 4 |- (/) C_ ( S " ( R ^m V ) )
75	73, 74	syl6eqss 3655	. . 3 |- ( -. T e. _V -> ran S C_ ( S " ( R ^m V ) ) )
76	68, 75	pm2.61i 176	. 2 |- ran S C_ ( S " ( R ^m V ) )
77		imassrn 5477	. 2 |- ( S " ( R ^m V ) ) C_ ran S
78	76, 77	eqssi 3619	1 |- ran S = ( S " ( R ^m V ) )

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   u. cun 3572   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ifcif 4086   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   ran crn 5115   "cima 5117   o. ccom 5118   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   ^pm cpm 7858  Word cword 13291   <"cs1 13294   gsum_g cgsu 16101  freeMndcfrmd 17384  mCNcmcn 31357  mVRcmvar 31358  mRExcmrex 31363  mRSubstcmrsub 31367

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-word 13299  df-concat 13301  df-s1 13302  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-frmd 17386  df-mrex 31383  df-mrsub 31387

This theorem is referenced by:  mrsubff1o  31412  mrsub0  31413  mrsubccat  31415  mrsubcn  31416  msubrn  31426