MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ncoprmgcdne1b Structured version   Visualization version   Unicode version
Theorem ncoprmgcdne1b 15363
Description: Two positive integers are not coprime, i.e. there is an integer greater than 1 which divides both integers, iff their greatest common divisor is not 1. (Contributed by AV, 9-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
ncoprmgcdne1b |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( E. i e. ( ZZ>= ` 2 ) ( i || A /\ i || B ) <-> ( A gcd B ) =/= 1 ) )
Distinct variable groups:   A, i   B, i
Proof of Theorem ncoprmgcdne1b
StepHypRef Expression
1 eluz2nn 11726 . . . . . . 7 |- ( i e. ( ZZ>= ` 2 ) -> i e. NN )
21adantr 481 . . . . . 6 |- ( ( i e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( i || A /\ i || B ) ) -> i e. NN )
3 simpr 477 . . . . . . 7 |- ( ( i e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( i || A /\ i || B ) ) -> ( i || A /\ i || B ) )
4 eluz2b3 11762 . . . . . . . . 9 |- ( i e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( i e. NN /\ i =/= 1 ) )
5 df-ne 2795 . . . . . . . . . . 11 |- ( i =/= 1 <-> -. i = 1 )
65biimpi 206 . . . . . . . . . 10 |- ( i =/= 1 -> -. i = 1 )
76adantl 482 . . . . . . . . 9 |- ( ( i e. NN /\ i =/= 1 ) -> -. i = 1 )
84, 7sylbi 207 . . . . . . . 8 |- ( i e. ( ZZ>= ` 2 ) -> -. i = 1 )
98adantr 481 . . . . . . 7 |- ( ( i e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( i || A /\ i || B ) ) -> -. i = 1 )
103, 9jca 554 . . . . . 6 |- ( ( i e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( i || A /\ i || B ) ) -> ( ( i || A /\ i || B ) /\ -. i = 1 ) )
112, 10jca 554 . . . . 5 |- ( ( i e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( i || A /\ i || B ) ) -> ( i e. NN /\ ( ( i || A /\ i || B ) /\ -. i = 1 ) ) )
125biimpri 218 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -. i = 1 -> i =/= 1 )
1312anim1i 592 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( -. i = 1 /\ i e. NN ) -> ( i =/= 1 /\ i e. NN ) )
1413ancomd 467 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( -. i = 1 /\ i e. NN ) -> ( i e. NN /\ i =/= 1 ) )
1514, 4sylibr 224 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( -. i = 1 /\ i e. NN ) -> i e. ( ZZ>= ` 2 ) )
1615ex 450 . . . . . . . . . 10 |- ( -. i = 1 -> ( i e. NN -> i e. ( ZZ>= ` 2 ) ) )
1716adantl 482 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( i || A /\ i || B ) /\ -. i = 1 ) -> ( i e. NN -> i e. ( ZZ>= ` 2 ) ) )
1817impcom 446 . . . . . . . 8 |- ( ( i e. NN /\ ( ( i || A /\ i || B ) /\ -. i = 1 ) ) -> i e. ( ZZ>= ` 2 ) )
1918adantl 482 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN ) /\ ( i e. NN /\ ( ( i || A /\ i || B ) /\ -. i = 1 ) ) ) -> i e. ( ZZ>= ` 2 ) )
20 simprrl 804 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN ) /\ ( i e. NN /\ ( ( i || A /\ i || B ) /\ -. i = 1 ) ) ) -> ( i || A /\ i || B ) )
2119, 20jca 554 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN ) /\ ( i e. NN /\ ( ( i || A /\ i || B ) /\ -. i = 1 ) ) ) -> ( i e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( i || A /\ i || B ) ) )
2221ex 450 . . . . 5 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( ( i e. NN /\ ( ( i || A /\ i || B ) /\ -. i = 1 ) ) -> ( i e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( i || A /\ i || B ) ) ) )
2311, 22impbid2 216 . . . 4 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( ( i e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( i || A /\ i || B ) ) <-> ( i e. NN /\ ( ( i || A /\ i || B ) /\ -. i = 1 ) ) ) )
2423exbidv 1850 . . 3 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( E. i ( i e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( i || A /\ i || B ) ) <-> E. i ( i e. NN /\ ( ( i || A /\ i || B ) /\ -. i = 1 ) ) ) )
25 df-rex 2918 . . 3 |- ( E. i e. ( ZZ>= ` 2 ) ( i || A /\ i || B ) <-> E. i ( i e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( i || A /\ i || B ) ) )
26 df-rex 2918 . . 3 |- ( E. i e. NN ( ( i || A /\ i || B ) /\ -. i = 1 ) <-> E. i ( i e. NN /\ ( ( i || A /\ i || B ) /\ -. i = 1 ) ) )
2724, 25, 263bitr4g 303 . 2 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( E. i e. ( ZZ>= ` 2 ) ( i || A /\ i || B ) <-> E. i e. NN ( ( i || A /\ i || B ) /\ -. i = 1 ) ) )
28 rexanali 2998 . . 3 |- ( E. i e. NN ( ( i || A /\ i || B ) /\ -. i = 1 ) <-> -. A. i e. NN ( ( i || A /\ i || B ) -> i = 1 ) )
2928a1i 11 . 2 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( E. i e. NN ( ( i || A /\ i || B ) /\ -. i = 1 ) <-> -. A. i e. NN ( ( i || A /\ i || B ) -> i = 1 ) ) )
30 coprmgcdb 15362 . . 3 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( A. i e. NN ( ( i || A /\ i || B ) -> i = 1 ) <-> ( A gcd B ) = 1 ) )
3130necon3bbid 2831 . 2 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( -. A. i e. NN ( ( i || A /\ i || B ) -> i = 1 ) <-> ( A gcd B ) =/= 1 ) )
3227, 29, 313bitrd 294 1 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( E. i e. ( ZZ>= ` 2 ) ( i || A /\ i || B ) <-> ( A gcd B ) =/= 1 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   1c1 9937   NNcn 11020   2c2 11070   ZZ>=cuz 11687   || cdvds 14983   gcd cgcd 15216
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-dvds 14984  df-gcd 15217
This theorem is referenced by:  ncoprmgcdgt1b  15364
  Copyright terms: Public domain W3C validator