Theorem eluz2nn 11726

Description: An integer is greater than or equal to 2 is a positive integer. (Contributed by AV, 3-Nov-2018.)

Assertion

Ref	Expression
eluz2nn	|- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> A e. NN )

Proof of Theorem eluz2nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 11407	. . 3 |- 1 e. ZZ
2		1le2 11241	. . 3 |- 1 <_ 2
3		eluzuzle 11696	. . 3 |- ( ( 1 e. ZZ /\ 1 <_ 2 ) -> ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> A e. ( ZZ>= ` 1 ) ) )
4	1, 2, 3	mp2an 708	. 2 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> A e. ( ZZ>= ` 1 ) )
5		nnuz 11723	. 2 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
6	4, 5	syl6eleqr 2712	1 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> A e. NN )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1990   class class class wbr 4653   ` cfv 5888   1c1 9937   <_ cle 10075   NNcn 11020   2c2 11070   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-z 11378  df-uz 11688

This theorem is referenced by:  eluzge2nn0  11727  eluz2n0  11728  zgt1rpn0n1  11871  mulp1mod1  12711  relexpaddg  13793  ncoprmgcdne1b  15363  isprm3  15396  prmind2  15398  nprm  15401  exprmfct  15416  prmdvdsfz  15417  isprm5  15419  maxprmfct  15421  isprm6  15426  phibndlem  15475  phibnd  15476  dfphi2  15479  pclem  15543  pcprendvds2  15546  pcpre1  15547  dvdsprmpweqnn  15589  expnprm  15606  prmreclem1  15620  4sqlem15  15663  4sqlem16  15664  vdwlem5  15689  vdwlem6  15690  vdwlem8  15692  vdwlem9  15693  vdwlem11  15695  prmgaplem1  15753  prmgaplem2  15754  prmgaplcmlem2  15756  prmgapprmolem  15765  ovolicc1  23284  wilth  24797  wilthimp  24798  mersenne  24952  bposlem3  25011  lgsquad2lem2  25110  2sqlem6  25148  rplogsumlem1  25173  rplogsumlem2  25174  dchrisum0flblem2  25198  ostthlem2  25317  ostth2lem2  25323  axlowdimlem5  25826  clwwisshclwwslemlem  26926  numclwwlk3lem  27241  signstfveq0  30654  subfacval3  31171  rmspecsqrtnq  37470  rmspecsqrtnqOLD  37471  rmxypos  37514  ltrmynn0  37515  jm2.17a  37527  jm2.17b  37528  jm2.17c  37529  jm2.27c  37574  jm3.1lem1  37584  jm3.1lem2  37585  jm3.1lem3  37586  relexpaddss  38010  wallispilem3  40284  fmtnonn  41443  fmtnorec3  41460  fmtnorec4  41461  fmtnoprmfac2lem1  41478  fmtnoprmfac2  41479  prmdvdsfmtnof1lem1  41496  prmdvdsfmtnof  41498  lighneallem4a  41525  lighneallem4b  41526  wtgoldbnnsum4prm  41690  bgoldbnnsum3prm  41692  cznnring  41956  expnegico01  42308  fllogbd  42354  logbge0b  42357  logblt1b  42358  nnolog2flm1  42384  blennngt2o2  42386  blengt1fldiv2p1  42387  dignn0ldlem  42396  dignnld  42397  digexp  42401  dig1  42402