Theorem lnfnconi 28914

Description: A condition equivalent to " T is continuous" when T is linear. Theorem 3.5(iii) of [Beran] p. 99. (Contributed by NM, 14-Feb-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
lnfncon.1	|- T e. LinFn

Assertion

Ref	Expression
lnfnconi	|- ( T e. ContFn <-> E. x e. RR A. y e. ~H ( abs ` ( T ` y ) ) <_ ( x x. ( normh ` y ) ) )

Distinct variable group:   x, y, T

Proof of Theorem lnfnconi

Dummy variables z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lnfncon.1	. . 3 |- T e. LinFn
2		nmcfnex 28912	. . 3 |- ( ( T e. LinFn /\ T e. ContFn ) -> ( normfn ` T ) e. RR )
3	1, 2	mpan 706	. 2 |- ( T e. ContFn -> ( normfn ` T ) e. RR )
4		nmcfnlb 28913	. . 3 |- ( ( T e. LinFn /\ T e. ContFn /\ y e. ~H ) -> ( abs ` ( T ` y ) ) <_ ( ( normfn ` T ) x. ( normh ` y ) ) )
5	1, 4	mp3an1 1411	. 2 |- ( ( T e. ContFn /\ y e. ~H ) -> ( abs ` ( T ` y ) ) <_ ( ( normfn ` T ) x. ( normh ` y ) ) )
6	1	lnfnfi 28900	. . 3 |- T : ~H --> CC
7		elcnfn 28741	. . 3 |- ( T e. ContFn <-> ( T : ~H --> CC /\ A. x e. ~H A. z e. RR+ E. y e. RR+ A. w e. ~H ( ( normh ` ( w -h x ) ) < y -> ( abs ` ( ( T ` w ) - ( T ` x ) ) ) < z ) ) )
8	6, 7	mpbiran 953	. 2 |- ( T e. ContFn <-> A. x e. ~H A. z e. RR+ E. y e. RR+ A. w e. ~H ( ( normh ` ( w -h x ) ) < y -> ( abs ` ( ( T ` w ) - ( T ` x ) ) ) < z ) )
9	6	ffvelrni 6358	. . 3 |- ( y e. ~H -> ( T ` y ) e. CC )
10	9	abscld 14175	. 2 |- ( y e. ~H -> ( abs ` ( T ` y ) ) e. RR )
11	1	lnfnsubi 28905	. 2 |- ( ( w e. ~H /\ x e. ~H ) -> ( T ` ( w -h x ) ) = ( ( T ` w ) - ( T ` x ) ) )
12	3, 5, 8, 10, 11	lnconi 28892	1 |- ( T e. ContFn <-> E. x e. RR A. y e. ~H ( abs ` ( T ` y ) ) <_ ( x x. ( normh ` y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   class class class wbr 4653   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   RR+crp 11832   abscabs 13974   ~Hchil 27776   normhcno 27780   -h cmv 27782   normfncnmf 27808   ContFnccnfn 27810   LinFnclf 27811

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-hilex 27856  ax-hfvadd 27857  ax-hv0cl 27860  ax-hvaddid 27861  ax-hfvmul 27862  ax-hvmulid 27863  ax-hvmulass 27864  ax-hvmul0 27867  ax-hfi 27936  ax-his1 27939  ax-his3 27941  ax-his4 27942

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-hnorm 27825  df-hvsub 27828  df-nmfn 28704  df-cnfn 28706  df-lnfn 28707

This theorem is referenced by:  lnfncon  28915