MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmounbi Structured version   Visualization version   Unicode version
Theorem nmounbi 27631
Description: Two ways two express that an operator is unbounded. (Contributed by NM, 11-Jan-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmoubi.1 |- X = ( BaseSet ` U )
nmoubi.y |- Y = ( BaseSet ` W )
nmoubi.l |- L = ( normCV ` U )
nmoubi.m |- M = ( normCV ` W )
nmoubi.3 |- N = ( U normOpOLD W )
nmoubi.u |- U e. NrmCVec
nmoubi.w |- W e. NrmCVec
Assertion
Ref Expression
nmounbi |- ( T : X --> Y -> ( ( N ` T ) = +oo <-> A. r e. RR E. y e. X ( ( L ` y ) <_ 1 /\ r < ( M ` ( T ` y ) ) ) ) )
Distinct variable groups:   y, r, L   y, U   y, W   Y, r, y   M, r, y   T, r, y   X, r, y   N, r, y
Allowed substitution hints:   U( r)   W( r)
Proof of Theorem nmounbi
StepHypRef Expression
1 nmoubi.1 . . . 4 |- X = ( BaseSet ` U )
2 nmoubi.y . . . 4 |- Y = ( BaseSet ` W )
3 nmoubi.l . . . 4 |- L = ( normCV ` U )
4 nmoubi.m . . . 4 |- M = ( normCV ` W )
5 nmoubi.3 . . . 4 |- N = ( U normOpOLD W )
6 nmoubi.u . . . 4 |- U e. NrmCVec
7 nmoubi.w . . . 4 |- W e. NrmCVec
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7nmobndi 27630 . . 3 |- ( T : X --> Y -> ( ( N ` T ) e. RR <-> E. r e. RR A. y e. X ( ( L ` y ) <_ 1 -> ( M ` ( T ` y ) ) <_ r ) ) )
91, 2, 5nmorepnf 27623 . . . 4 |- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T : X --> Y ) -> ( ( N ` T ) e. RR <-> ( N ` T ) =/= +oo ) )
106, 7, 9mp3an12 1414 . . 3 |- ( T : X --> Y -> ( ( N ` T ) e. RR <-> ( N ` T ) =/= +oo ) )
11 ffvelrn 6357 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( T : X --> Y /\ y e. X ) -> ( T ` y ) e. Y )
122, 4nvcl 27516 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( W e. NrmCVec /\ ( T ` y ) e. Y ) -> ( M ` ( T ` y ) ) e. RR )
137, 11, 12sylancr 695 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( T : X --> Y /\ y e. X ) -> ( M ` ( T ` y ) ) e. RR )
14 lenlt 10116 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M ` ( T ` y ) ) e. RR /\ r e. RR ) -> ( ( M ` ( T ` y ) ) <_ r <-> -. r < ( M ` ( T ` y ) ) ) )
1513, 14sylan 488 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( T : X --> Y /\ y e. X ) /\ r e. RR ) -> ( ( M ` ( T ` y ) ) <_ r <-> -. r < ( M ` ( T ` y ) ) ) )
1615an32s 846 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( T : X --> Y /\ r e. RR ) /\ y e. X ) -> ( ( M ` ( T ` y ) ) <_ r <-> -. r < ( M ` ( T ` y ) ) ) )
1716imbi2d 330 . . . . . . . 8 |- ( ( ( T : X --> Y /\ r e. RR ) /\ y e. X ) -> ( ( ( L ` y ) <_ 1 -> ( M ` ( T ` y ) ) <_ r ) <-> ( ( L ` y ) <_ 1 -> -. r < ( M ` ( T ` y ) ) ) ) )
18 imnan 438 . . . . . . . 8 |- ( ( ( L ` y ) <_ 1 -> -. r < ( M ` ( T ` y ) ) ) <-> -. ( ( L ` y ) <_ 1 /\ r < ( M ` ( T ` y ) ) ) )
1917, 18syl6bb 276 . . . . . . 7 |- ( ( ( T : X --> Y /\ r e. RR ) /\ y e. X ) -> ( ( ( L ` y ) <_ 1 -> ( M ` ( T ` y ) ) <_ r ) <-> -. ( ( L ` y ) <_ 1 /\ r < ( M ` ( T ` y ) ) ) ) )
2019ralbidva 2985 . . . . . 6 |- ( ( T : X --> Y /\ r e. RR ) -> ( A. y e. X ( ( L ` y ) <_ 1 -> ( M ` ( T ` y ) ) <_ r ) <-> A. y e. X -. ( ( L ` y ) <_ 1 /\ r < ( M ` ( T ` y ) ) ) ) )
21 ralnex 2992 . . . . . 6 |- ( A. y e. X -. ( ( L ` y ) <_ 1 /\ r < ( M ` ( T ` y ) ) ) <-> -. E. y e. X ( ( L ` y ) <_ 1 /\ r < ( M ` ( T ` y ) ) ) )
2220, 21syl6bb 276 . . . . 5 |- ( ( T : X --> Y /\ r e. RR ) -> ( A. y e. X ( ( L ` y ) <_ 1 -> ( M ` ( T ` y ) ) <_ r ) <-> -. E. y e. X ( ( L ` y ) <_ 1 /\ r < ( M ` ( T ` y ) ) ) ) )
2322rexbidva 3049 . . . 4 |- ( T : X --> Y -> ( E. r e. RR A. y e. X ( ( L ` y ) <_ 1 -> ( M ` ( T ` y ) ) <_ r ) <-> E. r e. RR -. E. y e. X ( ( L ` y ) <_ 1 /\ r < ( M ` ( T ` y ) ) ) ) )
24 rexnal 2995 . . . 4 |- ( E. r e. RR -. E. y e. X ( ( L ` y ) <_ 1 /\ r < ( M ` ( T ` y ) ) ) <-> -. A. r e. RR E. y e. X ( ( L ` y ) <_ 1 /\ r < ( M ` ( T ` y ) ) ) )
2523, 24syl6bb 276 . . 3 |- ( T : X --> Y -> ( E. r e. RR A. y e. X ( ( L ` y ) <_ 1 -> ( M ` ( T ` y ) ) <_ r ) <-> -. A. r e. RR E. y e. X ( ( L ` y ) <_ 1 /\ r < ( M ` ( T ` y ) ) ) ) )
268, 10, 253bitr3d 298 . 2 |- ( T : X --> Y -> ( ( N ` T ) =/= +oo <-> -. A. r e. RR E. y e. X ( ( L ` y ) <_ 1 /\ r < ( M ` ( T ` y ) ) ) ) )
2726necon4abid 2834 1 |- ( T : X --> Y -> ( ( N ` T ) = +oo <-> A. r e. RR E. y e. X ( ( L ` y ) <_ 1 /\ r < ( M ` ( T ` y ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   class class class wbr 4653   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   1c1 9937   +oocpnf 10071   < clt 10074   <_ cle 10075   NrmCVeccnv 27439   BaseSetcba 27441   normCVcnmcv 27445   normOpOLDcnmoo 27596
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-grpo 27347  df-gid 27348  df-ginv 27349  df-ablo 27399  df-vc 27414  df-nv 27447  df-va 27450  df-ba 27451  df-sm 27452  df-0v 27453  df-nmcv 27455  df-nmoo 27600
This theorem is referenced by:  nmounbseqi  27632  nmounbseqiALT  27633
  Copyright terms: Public domain W3C validator