Theorem nvcl 27516

Description: The norm of a normed complex vector space is a real number. (Contributed by NM, 24-Nov-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nvf.1	|- X = ( BaseSet ` U )
nvf.6	|- N = ( normCV ` U )

Assertion

Ref	Expression
nvcl	|- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X ) -> ( N ` A ) e. RR )

Proof of Theorem nvcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nvf.1	. . 3 |- X = ( BaseSet ` U )
2		nvf.6	. . 3 |- N = ( normCV ` U )
3	1, 2	nvf 27515	. 2 |- ( U e. NrmCVec -> N : X --> RR )
4	3	ffvelrnda 6359	1 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X ) -> ( N ` A ) e. RR )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   ` cfv 5888   RRcr 9935   NrmCVeccnv 27439   BaseSetcba 27441   norm_CVcnmcv 27445

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-vc 27414  df-nv 27447  df-va 27450  df-ba 27451  df-sm 27452  df-0v 27453  df-nmcv 27455

This theorem is referenced by:  nvcli  27517  nvm1  27520  nvpi  27522  nvz0  27523  nvmtri  27526  nvabs  27527  nvge0  27528  nvgt0  27529  nv1  27530  nmcvcn  27550  smcnlem  27552  ipval2lem2  27559  4ipval2  27563  ipidsq  27565  ipnm  27566  ipz  27574  nmosetre  27619  nmooge0  27622  nmoub3i  27628  nmounbi  27631  nmlno0lem  27648  nmblolbii  27654  blocnilem  27659  ipblnfi  27711  ubthlem1  27726  ubthlem2  27727  ubthlem3  27728  minvecolem1  27730  minvecolem2  27731  minvecolem4  27736  minvecolem5  27737  minvecolem6  27738  hlipgt0  27770  htthlem  27774