Theorem nsgacs 17630

Description: Normal subgroups form an algebraic closure system. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
subgacs.b	|- B = ( Base ` G )

Assertion

Ref	Expression
nsgacs	|- ( G e. Grp -> (NrmSGrp ` G ) e. (ACS ` B ) )

Proof of Theorem nsgacs

Dummy variables s x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subgacs.b	. . . . . . . . 9 |- B = ( Base ` G )
2	1	subgss 17595	. . . . . . . 8 |- ( s e. (SubGrp ` G ) -> s C_ B )
3		selpw 4165	. . . . . . . 8 |- ( s e. ~P B <-> s C_ B )
4	2, 3	sylibr 224	. . . . . . 7 |- ( s e. (SubGrp ` G ) -> s e. ~P B )
5		eleq2 2690	. . . . . . . . . 10 |- ( z = s -> ( ( ( x ( +g ` G ) y ) ( -g ` G ) x ) e. z <-> ( ( x ( +g ` G ) y ) ( -g ` G ) x ) e. s ) )
6	5	raleqbi1dv 3146	. . . . . . . . 9 |- ( z = s -> ( A. y e. z ( ( x ( +g ` G ) y ) ( -g ` G ) x ) e. z <-> A. y e. s ( ( x ( +g ` G ) y ) ( -g ` G ) x ) e. s ) )
7	6	ralbidv 2986	. . . . . . . 8 |- ( z = s -> ( A. x e. B A. y e. z ( ( x ( +g ` G ) y ) ( -g ` G ) x ) e. z <-> A. x e. B A. y e. s ( ( x ( +g ` G ) y ) ( -g ` G ) x ) e. s ) )
8	7	elrab3 3364	. . . . . . 7 |- ( s e. ~P B -> ( s e. { z e. ~P B | A. x e. B A. y e. z ( ( x ( +g ` G ) y ) ( -g ` G ) x ) e. z } <-> A. x e. B A. y e. s ( ( x ( +g ` G ) y ) ( -g ` G ) x ) e. s ) )
9	4, 8	syl 17	. . . . . 6 |- ( s e. (SubGrp ` G ) -> ( s e. { z e. ~P B | A. x e. B A. y e. z ( ( x ( +g ` G ) y ) ( -g ` G ) x ) e. z } <-> A. x e. B A. y e. s ( ( x ( +g ` G ) y ) ( -g ` G ) x ) e. s ) )
10	9	bicomd 213	. . . . 5 |- ( s e. (SubGrp ` G ) -> ( A. x e. B A. y e. s ( ( x ( +g ` G ) y ) ( -g ` G ) x ) e. s <-> s e. { z e. ~P B | A. x e. B A. y e. z ( ( x ( +g ` G ) y ) ( -g ` G ) x ) e. z } ) )
11	10	pm5.32i 669	. . . 4 |- ( ( s e. (SubGrp ` G ) /\ A. x e. B A. y e. s ( ( x ( +g ` G ) y ) ( -g ` G ) x ) e. s ) <-> ( s e. (SubGrp ` G ) /\ s e. { z e. ~P B | A. x e. B A. y e. z ( ( x ( +g ` G ) y ) ( -g ` G ) x ) e. z } ) )
12		eqid 2622	. . . . 5 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
13		eqid 2622	. . . . 5 |- ( -g ` G ) = ( -g ` G )
14	1, 12, 13	isnsg3 17628	. . . 4 |- ( s e. (NrmSGrp ` G ) <-> ( s e. (SubGrp ` G ) /\ A. x e. B A. y e. s ( ( x ( +g ` G ) y ) ( -g ` G ) x ) e. s ) )
15		elin 3796	. . . 4 |- ( s e. ( (SubGrp ` G ) i^i { z e. ~P B | A. x e. B A. y e. z ( ( x ( +g ` G ) y ) ( -g ` G ) x ) e. z } ) <-> ( s e. (SubGrp ` G ) /\ s e. { z e. ~P B | A. x e. B A. y e. z ( ( x ( +g ` G ) y ) ( -g ` G ) x ) e. z } ) )
16	11, 14, 15	3bitr4i 292	. . 3 |- ( s e. (NrmSGrp ` G ) <-> s e. ( (SubGrp ` G ) i^i { z e. ~P B | A. x e. B A. y e. z ( ( x ( +g ` G ) y ) ( -g ` G ) x ) e. z } ) )
17	16	eqriv 2619	. 2 |- (NrmSGrp ` G ) = ( (SubGrp ` G ) i^i { z e. ~P B | A. x e. B A. y e. z ( ( x ( +g ` G ) y ) ( -g ` G ) x ) e. z } )
18		fvex 6201	. . . . 5 |- ( Base ` G ) e. _V
19	1, 18	eqeltri 2697	. . . 4 |- B e. _V
20		mreacs 16319	. . . 4 |- ( B e. _V -> (ACS ` B ) e. (Moore ` ~P B ) )
21	19, 20	mp1i 13	. . 3 |- ( G e. Grp -> (ACS ` B ) e. (Moore ` ~P B ) )
22	1	subgacs 17629	. . 3 |- ( G e. Grp -> (SubGrp ` G ) e. (ACS ` B ) )
23		simpl 473	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> G e. Grp )
24	1, 12	grpcl 17430	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ x e. B /\ y e. B ) -> ( x ( +g ` G ) y ) e. B )
25	24	3expb 1266	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( +g ` G ) y ) e. B )
26		simprl 794	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> x e. B )
27	1, 13	grpsubcl 17495	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ ( x ( +g ` G ) y ) e. B /\ x e. B ) -> ( ( x ( +g ` G ) y ) ( -g ` G ) x ) e. B )
28	23, 25, 26, 27	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( x ( +g ` G ) y ) ( -g ` G ) x ) e. B )
29	28	ralrimivva 2971	. . . 4 |- ( G e. Grp -> A. x e. B A. y e. B ( ( x ( +g ` G ) y ) ( -g ` G ) x ) e. B )
30		acsfn1c 16323	. . . 4 |- ( ( B e. _V /\ A. x e. B A. y e. B ( ( x ( +g ` G ) y ) ( -g ` G ) x ) e. B ) -> { z e. ~P B | A. x e. B A. y e. z ( ( x ( +g ` G ) y ) ( -g ` G ) x ) e. z } e. (ACS ` B ) )
31	19, 29, 30	sylancr 695	. . 3 |- ( G e. Grp -> { z e. ~P B | A. x e. B A. y e. z ( ( x ( +g ` G ) y ) ( -g ` G ) x ) e. z } e. (ACS ` B ) )
32		mreincl 16259	. . 3 |- ( ( (ACS ` B ) e. (Moore ` ~P B ) /\ (SubGrp ` G ) e. (ACS ` B ) /\ { z e. ~P B | A. x e. B A. y e. z ( ( x ( +g ` G ) y ) ( -g ` G ) x ) e. z } e. (ACS ` B ) ) -> ( (SubGrp ` G ) i^i { z e. ~P B | A. x e. B A. y e. z ( ( x ( +g ` G ) y ) ( -g ` G ) x ) e. z } ) e. (ACS ` B ) )
33	21, 22, 31, 32	syl3anc 1326	. 2 |- ( G e. Grp -> ( (SubGrp ` G ) i^i { z e. ~P B | A. x e. B A. y e. z ( ( x ( +g ` G ) y ) ( -g ` G ) x ) e. z } ) e. (ACS ` B ) )
34	17, 33	syl5eqel 2705	1 |- ( G e. Grp -> (NrmSGrp ` G ) e. (ACS ` B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   {crab 2916   _Vcvv 3200   i^i cin 3573   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   +g cplusg 15941  Moorecmre 16242  ACScacs 16245   Grpcgrp 17422   -gcsg 17424  SubGrpcsubg 17588  NrmSGrpcnsg 17589

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-subg 17591  df-nsg 17592

This theorem is referenced by: (None)