Theorem ocvocv 20015

Description: A set is contained in its double orthocomplement. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ocvss.v	|- V = ( Base ` W )
ocvss.o	|- ._|_ = ( ocv ` W )

Assertion

Ref	Expression
ocvocv	|- ( ( W e. PreHil /\ S C_ V ) -> S C_ ( ._|_ ` ( ._|_ ` S ) ) )

Proof of Theorem ocvocv

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ocvss.v	. . . . . 6 |- V = ( Base ` W )
2		ocvss.o	. . . . . 6 |- ._|_ = ( ocv ` W )
3	1, 2	ocvss 20014	. . . . 5 |- ( ._|_ ` S ) C_ V
4	3	a1i 11	. . . 4 |- ( ( ( W e. PreHil /\ S C_ V ) /\ x e. S ) -> ( ._|_ ` S ) C_ V )
5		simpr 477	. . . . 5 |- ( ( W e. PreHil /\ S C_ V ) -> S C_ V )
6	5	sselda 3603	. . . 4 |- ( ( ( W e. PreHil /\ S C_ V ) /\ x e. S ) -> x e. V )
7		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( .i ` W ) = ( .i ` W )
8		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- (Scalar ` W ) = (Scalar ` W )
9		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( 0g ` (Scalar ` W ) ) = ( 0g ` (Scalar ` W ) )
10	1, 7, 8, 9, 2	ocvi 20013	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. ( ._|_ ` S ) /\ x e. S ) -> ( y ( .i ` W ) x ) = ( 0g ` (Scalar ` W ) ) )
11	10	ancoms 469	. . . . . . 7 |- ( ( x e. S /\ y e. ( ._|_ ` S ) ) -> ( y ( .i ` W ) x ) = ( 0g ` (Scalar ` W ) ) )
12	11	adantll 750	. . . . . 6 |- ( ( ( ( W e. PreHil /\ S C_ V ) /\ x e. S ) /\ y e. ( ._|_ ` S ) ) -> ( y ( .i ` W ) x ) = ( 0g ` (Scalar ` W ) ) )
13		simplll 798	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( W e. PreHil /\ S C_ V ) /\ x e. S ) /\ y e. ( ._|_ ` S ) ) -> W e. PreHil )
14	4	sselda 3603	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( W e. PreHil /\ S C_ V ) /\ x e. S ) /\ y e. ( ._|_ ` S ) ) -> y e. V )
15	6	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( W e. PreHil /\ S C_ V ) /\ x e. S ) /\ y e. ( ._|_ ` S ) ) -> x e. V )
16	8, 7, 1, 9	iporthcom 19980	. . . . . . 7 |- ( ( W e. PreHil /\ y e. V /\ x e. V ) -> ( ( y ( .i ` W ) x ) = ( 0g ` (Scalar ` W ) ) <-> ( x ( .i ` W ) y ) = ( 0g ` (Scalar ` W ) ) ) )
17	13, 14, 15, 16	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ( ( ( W e. PreHil /\ S C_ V ) /\ x e. S ) /\ y e. ( ._|_ ` S ) ) -> ( ( y ( .i ` W ) x ) = ( 0g ` (Scalar ` W ) ) <-> ( x ( .i ` W ) y ) = ( 0g ` (Scalar ` W ) ) ) )
18	12, 17	mpbid 222	. . . . 5 |- ( ( ( ( W e. PreHil /\ S C_ V ) /\ x e. S ) /\ y e. ( ._|_ ` S ) ) -> ( x ( .i ` W ) y ) = ( 0g ` (Scalar ` W ) ) )
19	18	ralrimiva 2966	. . . 4 |- ( ( ( W e. PreHil /\ S C_ V ) /\ x e. S ) -> A. y e. ( ._|_ ` S ) ( x ( .i ` W ) y ) = ( 0g ` (Scalar ` W ) ) )
20	1, 7, 8, 9, 2	elocv 20012	. . . 4 |- ( x e. ( ._|_ ` ( ._|_ ` S ) ) <-> ( ( ._|_ ` S ) C_ V /\ x e. V /\ A. y e. ( ._|_ ` S ) ( x ( .i ` W ) y ) = ( 0g ` (Scalar ` W ) ) ) )
21	4, 6, 19, 20	syl3anbrc 1246	. . 3 |- ( ( ( W e. PreHil /\ S C_ V ) /\ x e. S ) -> x e. ( ._|_ ` ( ._|_ ` S ) ) )
22	21	ex 450	. 2 |- ( ( W e. PreHil /\ S C_ V ) -> ( x e. S -> x e. ( ._|_ ` ( ._|_ ` S ) ) ) )
23	22	ssrdv 3609	1 |- ( ( W e. PreHil /\ S C_ V ) -> S C_ ( ._|_ ` ( ._|_ ` S ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   C_ wss 3574   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857  Scalarcsca 15944   .icip 15946   0gc0g 16100   PreHilcphl 19969   ocvcocv 20004

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-grp 17425  df-ghm 17658  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-oppr 18623  df-rnghom 18715  df-staf 18845  df-srng 18846  df-lmod 18865  df-lmhm 19022  df-lvec 19103  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-phl 19971  df-ocv 20007

This theorem is referenced by:  ocvsscon  20019  ocvlsp  20020  iscss2  20030  ocvcss  20031  mrccss  20038