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Theorem oelimcl 7680
Description: The ordinal exponential with a limit ordinal is a limit ordinal. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
oelimcl |- ( ( A e. ( On \ 2o ) /\ ( B e. C /\ Lim B ) ) -> Lim ( A ^o B ) )
Proof of Theorem oelimcl
Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldifi 3732 . . . 4 |- ( A e. ( On \ 2o ) -> A e. On )
2 limelon 5788 . . . 4 |- ( ( B e. C /\ Lim B ) -> B e. On )
3 oecl 7617 . . . 4 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( A ^o B ) e. On )
41, 2, 3syl2an 494 . . 3 |- ( ( A e. ( On \ 2o ) /\ ( B e. C /\ Lim B ) ) -> ( A ^o B ) e. On )
5 eloni 5733 . . 3 |- ( ( A ^o B ) e. On -> Ord ( A ^o B ) )
64, 5syl 17 . 2 |- ( ( A e. ( On \ 2o ) /\ ( B e. C /\ Lim B ) ) -> Ord ( A ^o B ) )
71adantr 481 . . 3 |- ( ( A e. ( On \ 2o ) /\ ( B e. C /\ Lim B ) ) -> A e. On )
82adantl 482 . . 3 |- ( ( A e. ( On \ 2o ) /\ ( B e. C /\ Lim B ) ) -> B e. On )
9 dif20el 7585 . . . 4 |- ( A e. ( On \ 2o ) -> (/) e. A )
109adantr 481 . . 3 |- ( ( A e. ( On \ 2o ) /\ ( B e. C /\ Lim B ) ) -> (/) e. A )
11 oen0 7666 . . 3 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On ) /\ (/) e. A ) -> (/) e. ( A ^o B ) )
127, 8, 10, 11syl21anc 1325 . 2 |- ( ( A e. ( On \ 2o ) /\ ( B e. C /\ Lim B ) ) -> (/) e. ( A ^o B ) )
13 oelim2 7675 . . . . . 6 |- ( ( A e. On /\ ( B e. C /\ Lim B ) ) -> ( A ^o B ) = U_ y e. ( B \ 1o ) ( A ^o y ) )
141, 13sylan 488 . . . . 5 |- ( ( A e. ( On \ 2o ) /\ ( B e. C /\ Lim B ) ) -> ( A ^o B ) = U_ y e. ( B \ 1o ) ( A ^o y ) )
1514eleq2d 2687 . . . 4 |- ( ( A e. ( On \ 2o ) /\ ( B e. C /\ Lim B ) ) -> ( x e. ( A ^o B ) <-> x e. U_ y e. ( B \ 1o ) ( A ^o y ) ) )
16 eliun 4524 . . . . 5 |- ( x e. U_ y e. ( B \ 1o ) ( A ^o y ) <-> E. y e. ( B \ 1o ) x e. ( A ^o y ) )
17 eldifi 3732 . . . . . . 7 |- ( y e. ( B \ 1o ) -> y e. B )
187adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. ( On \ 2o ) /\ ( B e. C /\ Lim B ) ) /\ ( y e. B /\ x e. ( A ^o y ) ) ) -> A e. On )
198adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. ( On \ 2o ) /\ ( B e. C /\ Lim B ) ) /\ ( y e. B /\ x e. ( A ^o y ) ) ) -> B e. On )
20 simprl 794 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. ( On \ 2o ) /\ ( B e. C /\ Lim B ) ) /\ ( y e. B /\ x e. ( A ^o y ) ) ) -> y e. B )
21 onelon 5748 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( B e. On /\ y e. B ) -> y e. On )
2219, 20, 21syl2anc 693 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. ( On \ 2o ) /\ ( B e. C /\ Lim B ) ) /\ ( y e. B /\ x e. ( A ^o y ) ) ) -> y e. On )
23 oecl 7617 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. On /\ y e. On ) -> ( A ^o y ) e. On )
2418, 22, 23syl2anc 693 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ( On \ 2o ) /\ ( B e. C /\ Lim B ) ) /\ ( y e. B /\ x e. ( A ^o y ) ) ) -> ( A ^o y ) e. On )
25 eloni 5733 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( A ^o y ) e. On -> Ord ( A ^o y ) )
2624, 25syl 17 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ( On \ 2o ) /\ ( B e. C /\ Lim B ) ) /\ ( y e. B /\ x e. ( A ^o y ) ) ) -> Ord ( A ^o y ) )
27 simprr 796 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ( On \ 2o ) /\ ( B e. C /\ Lim B ) ) /\ ( y e. B /\ x e. ( A ^o y ) ) ) -> x e. ( A ^o y ) )
28 ordsucss 7018 . . . . . . . . . 10 |- ( Ord ( A ^o y ) -> ( x e. ( A ^o y ) -> suc x C_ ( A ^o y ) ) )
2926, 27, 28sylc 65 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ( On \ 2o ) /\ ( B e. C /\ Lim B ) ) /\ ( y e. B /\ x e. ( A ^o y ) ) ) -> suc x C_ ( A ^o y ) )
30 simpll 790 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ( On \ 2o ) /\ ( B e. C /\ Lim B ) ) /\ ( y e. B /\ x e. ( A ^o y ) ) ) -> A e. ( On \ 2o ) )
31 oeordi 7667 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( B e. On /\ A e. ( On \ 2o ) ) -> ( y e. B -> ( A ^o y ) e. ( A ^o B ) ) )
3219, 30, 31syl2anc 693 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ( On \ 2o ) /\ ( B e. C /\ Lim B ) ) /\ ( y e. B /\ x e. ( A ^o y ) ) ) -> ( y e. B -> ( A ^o y ) e. ( A ^o B ) ) )
3320, 32mpd 15 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ( On \ 2o ) /\ ( B e. C /\ Lim B ) ) /\ ( y e. B /\ x e. ( A ^o y ) ) ) -> ( A ^o y ) e. ( A ^o B ) )
34 onelon 5748 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A ^o y ) e. On /\ x e. ( A ^o y ) ) -> x e. On )
3524, 27, 34syl2anc 693 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ( On \ 2o ) /\ ( B e. C /\ Lim B ) ) /\ ( y e. B /\ x e. ( A ^o y ) ) ) -> x e. On )
36 suceloni 7013 . . . . . . . . . . 11 |- ( x e. On -> suc x e. On )
3735, 36syl 17 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ( On \ 2o ) /\ ( B e. C /\ Lim B ) ) /\ ( y e. B /\ x e. ( A ^o y ) ) ) -> suc x e. On )
384adantr 481 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ( On \ 2o ) /\ ( B e. C /\ Lim B ) ) /\ ( y e. B /\ x e. ( A ^o y ) ) ) -> ( A ^o B ) e. On )
39 ontr2 5772 . . . . . . . . . 10 |- ( ( suc x e. On /\ ( A ^o B ) e. On ) -> ( ( suc x C_ ( A ^o y ) /\ ( A ^o y ) e. ( A ^o B ) ) -> suc x e. ( A ^o B ) ) )
4037, 38, 39syl2anc 693 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ( On \ 2o ) /\ ( B e. C /\ Lim B ) ) /\ ( y e. B /\ x e. ( A ^o y ) ) ) -> ( ( suc x C_ ( A ^o y ) /\ ( A ^o y ) e. ( A ^o B ) ) -> suc x e. ( A ^o B ) ) )
4129, 33, 40mp2and 715 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ( On \ 2o ) /\ ( B e. C /\ Lim B ) ) /\ ( y e. B /\ x e. ( A ^o y ) ) ) -> suc x e. ( A ^o B ) )
4241expr 643 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ( On \ 2o ) /\ ( B e. C /\ Lim B ) ) /\ y e. B ) -> ( x e. ( A ^o y ) -> suc x e. ( A ^o B ) ) )
4317, 42sylan2 491 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. ( On \ 2o ) /\ ( B e. C /\ Lim B ) ) /\ y e. ( B \ 1o ) ) -> ( x e. ( A ^o y ) -> suc x e. ( A ^o B ) ) )
4443rexlimdva 3031 . . . . 5 |- ( ( A e. ( On \ 2o ) /\ ( B e. C /\ Lim B ) ) -> ( E. y e. ( B \ 1o ) x e. ( A ^o y ) -> suc x e. ( A ^o B ) ) )
4516, 44syl5bi 232 . . . 4 |- ( ( A e. ( On \ 2o ) /\ ( B e. C /\ Lim B ) ) -> ( x e. U_ y e. ( B \ 1o ) ( A ^o y ) -> suc x e. ( A ^o B ) ) )
4615, 45sylbid 230 . . 3 |- ( ( A e. ( On \ 2o ) /\ ( B e. C /\ Lim B ) ) -> ( x e. ( A ^o B ) -> suc x e. ( A ^o B ) ) )
4746ralrimiv 2965 . 2 |- ( ( A e. ( On \ 2o ) /\ ( B e. C /\ Lim B ) ) -> A. x e. ( A ^o B ) suc x e. ( A ^o B ) )
48 dflim4 7048 . 2 |- ( Lim ( A ^o B ) <-> ( Ord ( A ^o B ) /\ (/) e. ( A ^o B ) /\ A. x e. ( A ^o B ) suc x e. ( A ^o B ) ) )
496, 12, 47, 48syl3anbrc 1246 1 |- ( ( A e. ( On \ 2o ) /\ ( B e. C /\ Lim B ) ) -> Lim ( A ^o B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   \ cdif 3571   C_ wss 3574   (/)c0 3915   U_ciun 4520   Ord word 5722   Oncon0 5723   Lim wlim 5724   suc csuc 5725  (class class class)co 6650   1oc1o 7553   2oc2o 7554   ^o coe 7559
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-oexp 7566
This theorem is referenced by:  oaabs2  7725  omabs  7727
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