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Theorem omabs 7727

Description: Ordinal multiplication is also absorbed by powers of

. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.)

**Assertion**
Ref	Expression
omabs	$/\$ $/\$ $/\$

Proof of Theorem omabs Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq2 2690	. . . . . . . 8
2		oveq2 6658	. . . . . . . . . 10
3	2	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9
4	3, 2	eqeq12d 2637	. . . . . . . 8
5	1, 4	imbi12d 334	. . . . . . 7
6		eleq2 2690	. . . . . . . 8
7		oveq2 6658	. . . . . . . . . 10
8	7	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9
9	8, 7	eqeq12d 2637	. . . . . . . 8
10	6, 9	imbi12d 334	. . . . . . 7
11		eleq2 2690	. . . . . . . 8
12		oveq2 6658	. . . . . . . . . 10
13	12	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9
14	13, 12	eqeq12d 2637	. . . . . . . 8
15	11, 14	imbi12d 334	. . . . . . 7
16		eleq2 2690	. . . . . . . 8
17		oveq2 6658	. . . . . . . . . 10
18	17	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9
19	18, 17	eqeq12d 2637	. . . . . . . 8
20	16, 19	imbi12d 334	. . . . . . 7
21		noel 3919	. . . . . . . . 9
22	21	pm2.21i 116	. . . . . . . 8
23	22	a1i 11	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
24		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
25		simpll 790	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
26		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
27		omabslem 7726	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
28	24, 25, 26, 27	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
29	28	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
30		suceq 5790	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
31		df-1o 7560	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
32	30, 31	syl6eqr 2674	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
33	32	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . 16
34		oe1 7624	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
35	34	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
36	33, 35	sylan9eqr 2678	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
37	36	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
38	29, 37, 36	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
39	38	ex 450	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
40	39	a1dd 50	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
41		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . 14
42		oesuc 7607	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
43	42	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
44	43	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
45		nnon 7071	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
46	45	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
47		oecl 7617	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
48	47	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
49		omass 7660	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
50	46, 48, 24, 49	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
51	44, 50	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
52	51, 43	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
53	41, 52	syl5ibr 236	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
54	53	imim2d 57	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
55	54	com23 86	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
56		simprr 796	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
57		on0eqel 5845	. . . . . . . . . . . 12 $\/$
58	56, 57	syl 17	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $\/$
59	40, 55, 58	mpjaod 396	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
60	59	a1dd 50	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
61	60	anassrs 680	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
62	61	expcom 451	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
63	45	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
64		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
65		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
66		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
67	65, 66	jctil 560	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
68		limelon 5788	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
69	67, 68	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
70		oecl 7617	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
71	64, 69, 70	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
72	71	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
73		1onn 7719	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
74	73	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
75		ondif2 7582	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $\$ $/\$
76	64, 74, 75	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $\$
77	76	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$
78	67	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
79		oelimcl 7680	. . . . . . . . . . . . . . 15 $\$ $/\$ $/\$
80	77, 78, 79	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
81		omlim 7613	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
82	63, 72, 80, 81	syl12anc 1324	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
83		simplrl 800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
84		oelim2 7675	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $\$
85	83, 78, 84	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$
86	85	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$
87		eliun 4524	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $\$ $\$
88	86, 87	syl6bb 276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$
89	69	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
90		anass 681	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
91		onelon 5748	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$
92		on0eln0 5780	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
93	91, 92	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$
94	93	pm5.32da 673	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
95		dif1o 7580	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $\$ $/\$
96	94, 95	syl6bbr 278	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $\$
97	96	anbi1d 741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $\$ $/\$
98	90, 97	syl5bbr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $\$ $/\$
99	98	rexbidv2 3048	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $\$
100	89, 99	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$
101	88, 100	bitr4d 271	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
102		r19.29 3072	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
103		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
104	103	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
105	104	anim1i 592	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$
106	105	anasss 679	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
107	71	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
108		eloni 5733	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
109	107, 108	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
110		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
111	64	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
112	69	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
113		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
114	112, 113, 91	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
115	111, 114, 47	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
116		onelon 5748	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$
117	115, 110, 116	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
118	45	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$ $/\$
119	118	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
120		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$ $/\$
121	120	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
122		omord2 7647	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$ $/\$
123	117, 115, 119, 121, 122	syl31anc 1329	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
124	110, 123	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
125		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
126	124, 125	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
127	76	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$
128		oeord 7668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $\$
129	114, 112, 127, 128	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
130	113, 129	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
131		ontr1 5771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$
132	107, 131	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
133	126, 130, 132	mp2and 715	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
134		ordelss 5739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
135	109, 133, 134	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
136	135	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
137	106, 136	syl5 34	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
138	137	rexlimdva 3031	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
139	102, 138	syl5 34	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
140	139	expdimp 453	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
141	101, 140	sylbid 230	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
142	141	ralrimiv 2965	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
143		iunss 4561	. . . . . . . . . . . . . 14
144	142, 143	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
145	82, 144	eqsstrd 3639	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
146		simpllr 799	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
147		omword2 7654	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
148	72, 63, 146, 147	syl21anc 1325	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
149	145, 148	eqssd 3620	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
150	149	ex 450	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
151	150	anassrs 680	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
152	151	a1dd 50	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
153	152	expcom 451	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
154	5, 10, 15, 20, 23, 62, 153	tfinds3 7064	. . . . . 6 $/\$ $/\$
155	154	com12 32	. . . . 5 $/\$ $/\$
156	155	adantrr 753	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
157	156	imp32 449	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
158	157	an32s 846	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
159		nnm0 7685	. . . 4
160	159	ad3antrrr 766	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
161		fnoe 7590	. . . . . . 7
162		fndm 5990	. . . . . . 7
163	161, 162	ax-mp 5	. . . . . 6
164	163	ndmov 6818	. . . . 5 $/\$
165	164	adantl 482	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
166	165	oveq2d 6666	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
167	160, 166, 165	3eqtr4d 2666	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
168	158, 167	pm2.61dan 832	1 $/\$ $/\$ $/\$

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wn 3

wi 4

wb 196 $\/$ wo 383 $/\$ wa 384

wceq 1483

wcel 1990

wne 2794

wral 2912

wrex 2913

cvv 3200 $\$ cdif 3571

wss 3574

c0 3915

ciun 4520

cxp 5112

cdm 5114

word 5722

con0 5723

wlim 5724

csuc 5725

wfn 5883 (class class class)co 6650

com 7065

c1o 7553

c2o 7554

comu 7558

coe 7559

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-2o 7561 df-oadd 7564 df-omul 7565 df-oexp 7566

This theorem is referenced by: cnfcom3 8601

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