Theorem opnvonmbllem1 40846

Description: The half-open interval expressed using a composition of a function (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
opnvonmbllem1.i	|- F/ i ph
opnvonmbllem1.x	|- ( ph -> X e. V )
opnvonmbllem1.c	|- ( ph -> C : X --> QQ )
opnvonmbllem1.d	|- ( ph -> D : X --> QQ )
opnvonmbllem1.s	|- ( ph -> X_ i e. X ( ( C ` i ) [,) ( D ` i ) ) C_ B )
opnvonmbllem1.g	|- ( ph -> B C_ G )
opnvonmbllem1.y	|- ( ph -> Y e. X_ i e. X ( ( C ` i ) [,) ( D ` i ) ) )
opnvonmbllem1.k	|- K = { h e. ( ( QQ X. QQ ) ^m X ) | X_ i e. X ( ( [,) o. h ) ` i ) C_ G }
opnvonmbllem1.h	|- H = ( i e. X |-> <. ( C ` i ) , ( D ` i ) >. )

Assertion

Ref	Expression
opnvonmbllem1	|- ( ph -> E. h e. K Y e. X_ i e. X ( ( [,) o. h ) ` i ) )

Distinct variable groups:   h, G   h, H   h, X, i   h, Y

Allowed substitution hints:   ph( h, i)   B( h, i)   C( h, i)   D( h, i)   G( i)   H( i)   K( h, i)   V( h, i)   Y( i)

Proof of Theorem opnvonmbllem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opnvonmbllem1.i	. . . . . 6 |- F/ i ph
2		opnvonmbllem1.c	. . . . . . . 8 |- ( ph -> C : X --> QQ )
3	2	ffvelrnda 6359	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. X ) -> ( C ` i ) e. QQ )
4		opnvonmbllem1.d	. . . . . . . 8 |- ( ph -> D : X --> QQ )
5	4	ffvelrnda 6359	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. X ) -> ( D ` i ) e. QQ )
6		opelxpi 5148	. . . . . . 7 |- ( ( ( C ` i ) e. QQ /\ ( D ` i ) e. QQ ) -> <. ( C ` i ) , ( D ` i ) >. e. ( QQ X. QQ ) )
7	3, 5, 6	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. X ) -> <. ( C ` i ) , ( D ` i ) >. e. ( QQ X. QQ ) )
8		opnvonmbllem1.h	. . . . . 6 |- H = ( i e. X |-> <. ( C ` i ) , ( D ` i ) >. )
9	1, 7, 8	fmptdf 6387	. . . . 5 |- ( ph -> H : X --> ( QQ X. QQ ) )
10		qex 11800	. . . . . . . . 9 |- QQ e. _V
11	10, 10	xpex 6962	. . . . . . . 8 |- ( QQ X. QQ ) e. _V
12	11	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( QQ X. QQ ) e. _V )
13		opnvonmbllem1.x	. . . . . . 7 |- ( ph -> X e. V )
14	12, 13	jca 554	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( QQ X. QQ ) e. _V /\ X e. V ) )
15		elmapg 7870	. . . . . 6 |- ( ( ( QQ X. QQ ) e. _V /\ X e. V ) -> ( H e. ( ( QQ X. QQ ) ^m X ) <-> H : X --> ( QQ X. QQ ) ) )
16	14, 15	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ( H e. ( ( QQ X. QQ ) ^m X ) <-> H : X --> ( QQ X. QQ ) ) )
17	9, 16	mpbird 247	. . . 4 |- ( ph -> H e. ( ( QQ X. QQ ) ^m X ) )
18	1, 8	hoi2toco 40821	. . . . 5 |- ( ph -> X_ i e. X ( ( [,) o. H ) ` i ) = X_ i e. X ( ( C ` i ) [,) ( D ` i ) ) )
19		opnvonmbllem1.s	. . . . . 6 |- ( ph -> X_ i e. X ( ( C ` i ) [,) ( D ` i ) ) C_ B )
20		opnvonmbllem1.g	. . . . . 6 |- ( ph -> B C_ G )
21	19, 20	sstrd 3613	. . . . 5 |- ( ph -> X_ i e. X ( ( C ` i ) [,) ( D ` i ) ) C_ G )
22	18, 21	eqsstrd 3639	. . . 4 |- ( ph -> X_ i e. X ( ( [,) o. H ) ` i ) C_ G )
23	17, 22	jca 554	. . 3 |- ( ph -> ( H e. ( ( QQ X. QQ ) ^m X ) /\ X_ i e. X ( ( [,) o. H ) ` i ) C_ G ) )
24		nfcv 2764	. . . . . . 7 |- F/_ i h
25		nfmpt1 4747	. . . . . . . 8 |- F/_ i ( i e. X |-> <. ( C ` i ) , ( D ` i ) >. )
26	8, 25	nfcxfr 2762	. . . . . . 7 |- F/_ i H
27	24, 26	nfeq 2776	. . . . . 6 |- F/ i h = H
28		coeq2 5280	. . . . . . . 8 |- ( h = H -> ( [,) o. h ) = ( [,) o. H ) )
29	28	fveq1d 6193	. . . . . . 7 |- ( h = H -> ( ( [,) o. h ) ` i ) = ( ( [,) o. H ) ` i ) )
30	29	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( h = H /\ i e. X ) -> ( ( [,) o. h ) ` i ) = ( ( [,) o. H ) ` i ) )
31	27, 30	ixpeq2d 39237	. . . . 5 |- ( h = H -> X_ i e. X ( ( [,) o. h ) ` i ) = X_ i e. X ( ( [,) o. H ) ` i ) )
32	31	sseq1d 3632	. . . 4 |- ( h = H -> ( X_ i e. X ( ( [,) o. h ) ` i ) C_ G <-> X_ i e. X ( ( [,) o. H ) ` i ) C_ G ) )
33		opnvonmbllem1.k	. . . 4 |- K = { h e. ( ( QQ X. QQ ) ^m X ) | X_ i e. X ( ( [,) o. h ) ` i ) C_ G }
34	32, 33	elrab2 3366	. . 3 |- ( H e. K <-> ( H e. ( ( QQ X. QQ ) ^m X ) /\ X_ i e. X ( ( [,) o. H ) ` i ) C_ G ) )
35	23, 34	sylibr 224	. 2 |- ( ph -> H e. K )
36		opnvonmbllem1.y	. . 3 |- ( ph -> Y e. X_ i e. X ( ( C ` i ) [,) ( D ` i ) ) )
37	36, 18	eleqtrrd 2704	. 2 |- ( ph -> Y e. X_ i e. X ( ( [,) o. H ) ` i ) )
38		nfv 1843	. . 3 |- F/ h Y e. X_ i e. X ( ( [,) o. H ) ` i )
39		nfcv 2764	. . 3 |- F/_ h H
40		nfrab1 3122	. . . 4 |- F/_ h { h e. ( ( QQ X. QQ ) ^m X ) | X_ i e. X ( ( [,) o. h ) ` i ) C_ G }
41	33, 40	nfcxfr 2762	. . 3 |- F/_ h K
42	31	eleq2d 2687	. . 3 |- ( h = H -> ( Y e. X_ i e. X ( ( [,) o. h ) ` i ) <-> Y e. X_ i e. X ( ( [,) o. H ) ` i ) ) )
43	38, 39, 41, 42	rspcef 39241	. 2 |- ( ( H e. K /\ Y e. X_ i e. X ( ( [,) o. H ) ` i ) ) -> E. h e. K Y e. X_ i e. X ( ( [,) o. h ) ` i ) )
44	35, 37, 43	syl2anc 693	1 |- ( ph -> E. h e. K Y e. X_ i e. X ( ( [,) o. h ) ` i ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   F/wnf 1708   e. wcel 1990   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   <.cop 4183   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   o. ccom 5118   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   X_cixp 7908   QQcq 11788   [,)cico 12177

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-z 11378  df-q 11789

This theorem is referenced by:  opnvonmbllem2  40847