Theorem hoimbl 40845

Description: Any n-dimensional half-open interval is Lebesgue measurable. This is a substep of Proposition 115G (a) of [Fremlin1] p. 32. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
hoimbl.x	|- ( ph -> X e. Fin )
hoimbl.s	|- S = dom (voln ` X )
hoimbl.a	|- ( ph -> A : X --> RR )
hoimbl.b	|- ( ph -> B : X --> RR )

Assertion

Ref	Expression
hoimbl	|- ( ph -> X_ i e. X ( ( A ` i ) [,) ( B ` i ) ) e. S )

Distinct variable groups:   A, i   B, i   S, i   i, X   ph, i

Proof of Theorem hoimbl

Dummy variables x l y h j w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hoimbl.x	. . . . 5 |- ( ph -> X e. Fin )
2	1	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ X = (/) ) -> X e. Fin )
3	2	rrnmbl 40828	. . 3 |- ( ( ph /\ X = (/) ) -> ( RR ^m X ) e. dom (voln ` X ) )
4		reex 10027	. . . . . . . . 9 |- RR e. _V
5		mapdm0 7872	. . . . . . . . 9 |- ( RR e. _V -> ( RR ^m (/) ) = { (/) } )
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( RR ^m (/) ) = { (/) }
7	6	eqcomi 2631	. . . . . . 7 |- { (/) } = ( RR ^m (/) )
8	7	a1i 11	. . . . . 6 |- ( X = (/) -> { (/) } = ( RR ^m (/) ) )
9		id 22	. . . . . . . 8 |- ( X = (/) -> X = (/) )
10	9	ixpeq1d 7920	. . . . . . 7 |- ( X = (/) -> X_ i e. X ( ( A ` i ) [,) ( B ` i ) ) = X_ i e. (/) ( ( A ` i ) [,) ( B ` i ) ) )
11		ixp0x 7936	. . . . . . . 8 |- X_ i e. (/) ( ( A ` i ) [,) ( B ` i ) ) = { (/) }
12	11	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( X = (/) -> X_ i e. (/) ( ( A ` i ) [,) ( B ` i ) ) = { (/) } )
13	10, 12	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( X = (/) -> X_ i e. X ( ( A ` i ) [,) ( B ` i ) ) = { (/) } )
14		oveq2 6658	. . . . . 6 |- ( X = (/) -> ( RR ^m X ) = ( RR ^m (/) ) )
15	8, 13, 14	3eqtr4d 2666	. . . . 5 |- ( X = (/) -> X_ i e. X ( ( A ` i ) [,) ( B ` i ) ) = ( RR ^m X ) )
16	15	adantl 482	. . . 4 |- ( ( ph /\ X = (/) ) -> X_ i e. X ( ( A ` i ) [,) ( B ` i ) ) = ( RR ^m X ) )
17		hoimbl.s	. . . . 5 |- S = dom (voln ` X )
18	17	a1i 11	. . . 4 |- ( ( ph /\ X = (/) ) -> S = dom (voln ` X ) )
19	16, 18	eleq12d 2695	. . 3 |- ( ( ph /\ X = (/) ) -> ( X_ i e. X ( ( A ` i ) [,) ( B ` i ) ) e. S <-> ( RR ^m X ) e. dom (voln ` X ) ) )
20	3, 19	mpbird 247	. 2 |- ( ( ph /\ X = (/) ) -> X_ i e. X ( ( A ` i ) [,) ( B ` i ) ) e. S )
21	1	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ -. X = (/) ) -> X e. Fin )
22	9	necon3bi 2820	. . . 4 |- ( -. X = (/) -> X =/= (/) )
23	22	adantl 482	. . 3 |- ( ( ph /\ -. X = (/) ) -> X =/= (/) )
24		hoimbl.a	. . . 4 |- ( ph -> A : X --> RR )
25	24	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ -. X = (/) ) -> A : X --> RR )
26		hoimbl.b	. . . 4 |- ( ph -> B : X --> RR )
27	26	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ -. X = (/) ) -> B : X --> RR )
28		id 22	. . . . . 6 |- ( w = x -> w = x )
29		eqidd 2623	. . . . . 6 |- ( w = x -> RR = RR )
30	28	ixpeq1d 7920	. . . . . . 7 |- ( w = x -> X_ j e. w if ( j = h , ( -oo (,) z ) , RR ) = X_ j e. x if ( j = h , ( -oo (,) z ) , RR ) )
31		eqeq1 2626	. . . . . . . . . 10 |- ( j = i -> ( j = h <-> i = h ) )
32	31	ifbid 4108	. . . . . . . . 9 |- ( j = i -> if ( j = h , ( -oo (,) z ) , RR ) = if ( i = h , ( -oo (,) z ) , RR ) )
33	32	cbvixpv 7926	. . . . . . . 8 |- X_ j e. x if ( j = h , ( -oo (,) z ) , RR ) = X_ i e. x if ( i = h , ( -oo (,) z ) , RR )
34	33	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( w = x -> X_ j e. x if ( j = h , ( -oo (,) z ) , RR ) = X_ i e. x if ( i = h , ( -oo (,) z ) , RR ) )
35	30, 34	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( w = x -> X_ j e. w if ( j = h , ( -oo (,) z ) , RR ) = X_ i e. x if ( i = h , ( -oo (,) z ) , RR ) )
36	28, 29, 35	mpt2eq123dv 6717	. . . . 5 |- ( w = x -> ( h e. w , z e. RR |-> X_ j e. w if ( j = h , ( -oo (,) z ) , RR ) ) = ( h e. x , z e. RR |-> X_ i e. x if ( i = h , ( -oo (,) z ) , RR ) ) )
37		eqeq2 2633	. . . . . . . . 9 |- ( h = l -> ( i = h <-> i = l ) )
38	37	ifbid 4108	. . . . . . . 8 |- ( h = l -> if ( i = h , ( -oo (,) z ) , RR ) = if ( i = l , ( -oo (,) z ) , RR ) )
39	38	ixpeq2dv 7924	. . . . . . 7 |- ( h = l -> X_ i e. x if ( i = h , ( -oo (,) z ) , RR ) = X_ i e. x if ( i = l , ( -oo (,) z ) , RR ) )
40		oveq2 6658	. . . . . . . . 9 |- ( z = y -> ( -oo (,) z ) = ( -oo (,) y ) )
41	40	ifeq1d 4104	. . . . . . . 8 |- ( z = y -> if ( i = l , ( -oo (,) z ) , RR ) = if ( i = l , ( -oo (,) y ) , RR ) )
42	41	ixpeq2dv 7924	. . . . . . 7 |- ( z = y -> X_ i e. x if ( i = l , ( -oo (,) z ) , RR ) = X_ i e. x if ( i = l , ( -oo (,) y ) , RR ) )
43	39, 42	cbvmpt2v 6735	. . . . . 6 |- ( h e. x , z e. RR |-> X_ i e. x if ( i = h , ( -oo (,) z ) , RR ) ) = ( l e. x , y e. RR |-> X_ i e. x if ( i = l , ( -oo (,) y ) , RR ) )
44	43	a1i 11	. . . . 5 |- ( w = x -> ( h e. x , z e. RR |-> X_ i e. x if ( i = h , ( -oo (,) z ) , RR ) ) = ( l e. x , y e. RR |-> X_ i e. x if ( i = l , ( -oo (,) y ) , RR ) ) )
45	36, 44	eqtrd 2656	. . . 4 |- ( w = x -> ( h e. w , z e. RR |-> X_ j e. w if ( j = h , ( -oo (,) z ) , RR ) ) = ( l e. x , y e. RR |-> X_ i e. x if ( i = l , ( -oo (,) y ) , RR ) ) )
46	45	cbvmptv 4750	. . 3 |- ( w e. Fin |-> ( h e. w , z e. RR |-> X_ j e. w if ( j = h , ( -oo (,) z ) , RR ) ) ) = ( x e. Fin |-> ( l e. x , y e. RR |-> X_ i e. x if ( i = l , ( -oo (,) y ) , RR ) ) )
47	21, 23, 17, 25, 27, 46	hoimbllem 40844	. 2 |- ( ( ph /\ -. X = (/) ) -> X_ i e. X ( ( A ` i ) [,) ( B ` i ) ) e. S )
48	20, 47	pm2.61dan 832	1 |- ( ph -> X_ i e. X ( ( A ` i ) [,) ( B ` i ) ) e. S )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   _Vcvv 3200   (/)c0 3915   ifcif 4086   {csn 4177   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   ^m cmap 7857   X_cixp 7908   Fincfn 7955   RRcr 9935   -oocmnf 10072   (,)cioo 12175   [,)cico 12177  volncvoln 40752

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cc 9257  ax-ac2 9285  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-ac 8939  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-prod 14636  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-rest 16083  df-0g 16102  df-topgen 16104  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-subg 17591  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-dvr 18683  df-drng 18749  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cmp 21190  df-ovol 23233  df-vol 23234  df-salg 40529  df-sumge0 40580  df-mea 40667  df-ome 40704  df-caragen 40706  df-ovoln 40751  df-voln 40753

This theorem is referenced by:  opnvonmbllem2  40847  hoimbl2  40879  vonhoi  40881  vonioolem1  40894  vonioolem2  40895  vonicclem1  40897  vonicclem2  40898