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Theorem ovolunlem2 23266
Description: Lemma for ovolun 23267. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ovolun.a |- ( ph -> ( A C_ RR /\ ( vol* ` A ) e. RR ) )
ovolun.b |- ( ph -> ( B C_ RR /\ ( vol* ` B ) e. RR ) )
ovolun.c |- ( ph -> C e. RR+ )
Assertion
Ref Expression
ovolunlem2 |- ( ph -> ( vol* ` ( A u. B ) ) <_ ( ( ( vol* ` A ) + ( vol* ` B ) ) + C ) )
Proof of Theorem ovolunlem2
Dummy variables g h n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovolun.a . . . 4 |- ( ph -> ( A C_ RR /\ ( vol* ` A ) e. RR ) )
21simpld 475 . . 3 |- ( ph -> A C_ RR )
31simprd 479 . . 3 |- ( ph -> ( vol* ` A ) e. RR )
4 ovolun.c . . . 4 |- ( ph -> C e. RR+ )
54rphalfcld 11884 . . 3 |- ( ph -> ( C / 2 ) e. RR+ )
6 eqid 2622 . . . 4 |- seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. g ) ) = seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. g ) )
76ovolgelb 23248 . . 3 |- ( ( A C_ RR /\ ( vol* ` A ) e. RR /\ ( C / 2 ) e. RR+ ) -> E. g e. ( ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ^m NN ) ( A C_ U. ran ( (,) o. g ) /\ sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. g ) ) , RR* , < ) <_ ( ( vol* ` A ) + ( C / 2 ) ) ) )
82, 3, 5, 7syl3anc 1326 . 2 |- ( ph -> E. g e. ( ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ^m NN ) ( A C_ U. ran ( (,) o. g ) /\ sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. g ) ) , RR* , < ) <_ ( ( vol* ` A ) + ( C / 2 ) ) ) )
9 ovolun.b . . . 4 |- ( ph -> ( B C_ RR /\ ( vol* ` B ) e. RR ) )
109simpld 475 . . 3 |- ( ph -> B C_ RR )
119simprd 479 . . 3 |- ( ph -> ( vol* ` B ) e. RR )
12 eqid 2622 . . . 4 |- seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. h ) ) = seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. h ) )
1312ovolgelb 23248 . . 3 |- ( ( B C_ RR /\ ( vol* ` B ) e. RR /\ ( C / 2 ) e. RR+ ) -> E. h e. ( ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ^m NN ) ( B C_ U. ran ( (,) o. h ) /\ sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. h ) ) , RR* , < ) <_ ( ( vol* ` B ) + ( C / 2 ) ) ) )
1410, 11, 5, 13syl3anc 1326 . 2 |- ( ph -> E. h e. ( ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ^m NN ) ( B C_ U. ran ( (,) o. h ) /\ sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. h ) ) , RR* , < ) <_ ( ( vol* ` B ) + ( C / 2 ) ) ) )
15 reeanv 3107 . . 3 |- ( E. g e. ( ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ^m NN ) E. h e. ( ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ^m NN ) ( ( A C_ U. ran ( (,) o. g ) /\ sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. g ) ) , RR* , < ) <_ ( ( vol* ` A ) + ( C / 2 ) ) ) /\ ( B C_ U. ran ( (,) o. h ) /\ sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. h ) ) , RR* , < ) <_ ( ( vol* ` B ) + ( C / 2 ) ) ) ) <-> ( E. g e. ( ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ^m NN ) ( A C_ U. ran ( (,) o. g ) /\ sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. g ) ) , RR* , < ) <_ ( ( vol* ` A ) + ( C / 2 ) ) ) /\ E. h e. ( ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ^m NN ) ( B C_ U. ran ( (,) o. h ) /\ sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. h ) ) , RR* , < ) <_ ( ( vol* ` B ) + ( C / 2 ) ) ) ) )
1613ad2ant1 1082 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( g e. ( ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ^m NN ) /\ h e. ( ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ^m NN ) ) /\ ( ( A C_ U. ran ( (,) o. g ) /\ sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. g ) ) , RR* , < ) <_ ( ( vol* ` A ) + ( C / 2 ) ) ) /\ ( B C_ U. ran ( (,) o. h ) /\ sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. h ) ) , RR* , < ) <_ ( ( vol* ` B ) + ( C / 2 ) ) ) ) ) -> ( A C_ RR /\ ( vol* ` A ) e. RR ) )
1793ad2ant1 1082 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( g e. ( ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ^m NN ) /\ h e. ( ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ^m NN ) ) /\ ( ( A C_ U. ran ( (,) o. g ) /\ sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. g ) ) , RR* , < ) <_ ( ( vol* ` A ) + ( C / 2 ) ) ) /\ ( B C_ U. ran ( (,) o. h ) /\ sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. h ) ) , RR* , < ) <_ ( ( vol* ` B ) + ( C / 2 ) ) ) ) ) -> ( B C_ RR /\ ( vol* ` B ) e. RR ) )
1843ad2ant1 1082 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( g e. ( ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ^m NN ) /\ h e. ( ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ^m NN ) ) /\ ( ( A C_ U. ran ( (,) o. g ) /\ sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. g ) ) , RR* , < ) <_ ( ( vol* ` A ) + ( C / 2 ) ) ) /\ ( B C_ U. ran ( (,) o. h ) /\ sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. h ) ) , RR* , < ) <_ ( ( vol* ` B ) + ( C / 2 ) ) ) ) ) -> C e. RR+ )
19 eqid 2622 . . . . . 6 |- seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( n e. NN |-> if ( ( n / 2 ) e. NN , ( h ` ( n / 2 ) ) , ( g ` ( ( n + 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ) = seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( n e. NN |-> if ( ( n / 2 ) e. NN , ( h ` ( n / 2 ) ) , ( g ` ( ( n + 1 ) / 2 ) ) ) ) ) )
20 simp2l 1087 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( g e. ( ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ^m NN ) /\ h e. ( ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ^m NN ) ) /\ ( ( A C_ U. ran ( (,) o. g ) /\ sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. g ) ) , RR* , < ) <_ ( ( vol* ` A ) + ( C / 2 ) ) ) /\ ( B C_ U. ran ( (,) o. h ) /\ sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. h ) ) , RR* , < ) <_ ( ( vol* ` B ) + ( C / 2 ) ) ) ) ) -> g e. ( ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ^m NN ) )
21 simp3ll 1132 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( g e. ( ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ^m NN ) /\ h e. ( ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ^m NN ) ) /\ ( ( A C_ U. ran ( (,) o. g ) /\ sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. g ) ) , RR* , < ) <_ ( ( vol* ` A ) + ( C / 2 ) ) ) /\ ( B C_ U. ran ( (,) o. h ) /\ sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. h ) ) , RR* , < ) <_ ( ( vol* ` B ) + ( C / 2 ) ) ) ) ) -> A C_ U. ran ( (,) o. g ) )
22 simp3lr 1133 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( g e. ( ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ^m NN ) /\ h e. ( ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ^m NN ) ) /\ ( ( A C_ U. ran ( (,) o. g ) /\ sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. g ) ) , RR* , < ) <_ ( ( vol* ` A ) + ( C / 2 ) ) ) /\ ( B C_ U. ran ( (,) o. h ) /\ sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. h ) ) , RR* , < ) <_ ( ( vol* ` B ) + ( C / 2 ) ) ) ) ) -> sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. g ) ) , RR* , < ) <_ ( ( vol* ` A ) + ( C / 2 ) ) )
23 simp2r 1088 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( g e. ( ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ^m NN ) /\ h e. ( ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ^m NN ) ) /\ ( ( A C_ U. ran ( (,) o. g ) /\ sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. g ) ) , RR* , < ) <_ ( ( vol* ` A ) + ( C / 2 ) ) ) /\ ( B C_ U. ran ( (,) o. h ) /\ sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. h ) ) , RR* , < ) <_ ( ( vol* ` B ) + ( C / 2 ) ) ) ) ) -> h e. ( ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ^m NN ) )
24 simp3rl 1134 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( g e. ( ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ^m NN ) /\ h e. ( ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ^m NN ) ) /\ ( ( A C_ U. ran ( (,) o. g ) /\ sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. g ) ) , RR* , < ) <_ ( ( vol* ` A ) + ( C / 2 ) ) ) /\ ( B C_ U. ran ( (,) o. h ) /\ sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. h ) ) , RR* , < ) <_ ( ( vol* ` B ) + ( C / 2 ) ) ) ) ) -> B C_ U. ran ( (,) o. h ) )
25 simp3rr 1135 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( g e. ( ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ^m NN ) /\ h e. ( ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ^m NN ) ) /\ ( ( A C_ U. ran ( (,) o. g ) /\ sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. g ) ) , RR* , < ) <_ ( ( vol* ` A ) + ( C / 2 ) ) ) /\ ( B C_ U. ran ( (,) o. h ) /\ sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. h ) ) , RR* , < ) <_ ( ( vol* ` B ) + ( C / 2 ) ) ) ) ) -> sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. h ) ) , RR* , < ) <_ ( ( vol* ` B ) + ( C / 2 ) ) )
26 eqid 2622 . . . . . 6 |- ( n e. NN |-> if ( ( n / 2 ) e. NN , ( h ` ( n / 2 ) ) , ( g ` ( ( n + 1 ) / 2 ) ) ) ) = ( n e. NN |-> if ( ( n / 2 ) e. NN , ( h ` ( n / 2 ) ) , ( g ` ( ( n + 1 ) / 2 ) ) ) )
2716, 17, 18, 6, 12, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26ovolunlem1 23265 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( g e. ( ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ^m NN ) /\ h e. ( ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ^m NN ) ) /\ ( ( A C_ U. ran ( (,) o. g ) /\ sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. g ) ) , RR* , < ) <_ ( ( vol* ` A ) + ( C / 2 ) ) ) /\ ( B C_ U. ran ( (,) o. h ) /\ sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. h ) ) , RR* , < ) <_ ( ( vol* ` B ) + ( C / 2 ) ) ) ) ) -> ( vol* ` ( A u. B ) ) <_ ( ( ( vol* ` A ) + ( vol* ` B ) ) + C ) )
28273exp 1264 . . . 4 |- ( ph -> ( ( g e. ( ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ^m NN ) /\ h e. ( ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ^m NN ) ) -> ( ( ( A C_ U. ran ( (,) o. g ) /\ sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. g ) ) , RR* , < ) <_ ( ( vol* ` A ) + ( C / 2 ) ) ) /\ ( B C_ U. ran ( (,) o. h ) /\ sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. h ) ) , RR* , < ) <_ ( ( vol* ` B ) + ( C / 2 ) ) ) ) -> ( vol* ` ( A u. B ) ) <_ ( ( ( vol* ` A ) + ( vol* ` B ) ) + C ) ) ) )
2928rexlimdvv 3037 . . 3 |- ( ph -> ( E. g e. ( ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ^m NN ) E. h e. ( ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ^m NN ) ( ( A C_ U. ran ( (,) o. g ) /\ sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. g ) ) , RR* , < ) <_ ( ( vol* ` A ) + ( C / 2 ) ) ) /\ ( B C_ U. ran ( (,) o. h ) /\ sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. h ) ) , RR* , < ) <_ ( ( vol* ` B ) + ( C / 2 ) ) ) ) -> ( vol* ` ( A u. B ) ) <_ ( ( ( vol* ` A ) + ( vol* ` B ) ) + C ) ) )
3015, 29syl5bir 233 . 2 |- ( ph -> ( ( E. g e. ( ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ^m NN ) ( A C_ U. ran ( (,) o. g ) /\ sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. g ) ) , RR* , < ) <_ ( ( vol* ` A ) + ( C / 2 ) ) ) /\ E. h e. ( ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ^m NN ) ( B C_ U. ran ( (,) o. h ) /\ sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. h ) ) , RR* , < ) <_ ( ( vol* ` B ) + ( C / 2 ) ) ) ) -> ( vol* ` ( A u. B ) ) <_ ( ( ( vol* ` A ) + ( vol* ` B ) ) + C ) ) )
318, 14, 30mp2and 715 1 |- ( ph -> ( vol* ` ( A u. B ) ) <_ ( ( ( vol* ` A ) + ( vol* ` B ) ) + C ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   e. wcel 1990   E.wrex 2913   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   ifcif 4086   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   ran crn 5115   o. ccom 5118   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   supcsup 8346   RRcr 9935   1c1 9937   + caddc 9939   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   RR+crp 11832   (,)cioo 12175   seqcseq 12801   abscabs 13974   vol*covol 23231
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-fz 12327  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-ovol 23233
This theorem is referenced by:  ovolun  23267
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