Theorem pell1qrge1 37434

Description: A Pell solution in the first quadrant is at least 1. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
pell1qrge1	|- ( ( D e. ( NN \ ◻NN ) /\ A e. (Pell1QR ` D ) ) -> 1 <_ A )

Proof of Theorem pell1qrge1

Dummy variables a b are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elpell1qr 37411	. . 3 |- ( D e. ( NN \ ◻NN ) -> ( A e. (Pell1QR ` D ) <-> ( A e. RR /\ E. a e. NN0 E. b e. NN0 ( A = ( a + ( ( sqr ` D ) x. b ) ) /\ ( ( a ^ 2 ) - ( D x. ( b ^ 2 ) ) ) = 1 ) ) ) )
2		1red 10055	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( D e. ( NN \ ◻NN ) /\ A e. RR ) /\ ( a e. NN0 /\ b e. NN0 ) ) /\ ( ( a ^ 2 ) - ( D x. ( b ^ 2 ) ) ) = 1 ) -> 1 e. RR )
3		simplrl 800	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( D e. ( NN \ ◻NN ) /\ A e. RR ) /\ ( a e. NN0 /\ b e. NN0 ) ) /\ ( ( a ^ 2 ) - ( D x. ( b ^ 2 ) ) ) = 1 ) -> a e. NN0 )
4	3	nn0red 11352	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( D e. ( NN \ ◻NN ) /\ A e. RR ) /\ ( a e. NN0 /\ b e. NN0 ) ) /\ ( ( a ^ 2 ) - ( D x. ( b ^ 2 ) ) ) = 1 ) -> a e. RR )
5		eldifi 3732	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( D e. ( NN \ ◻NN ) -> D e. NN )
6	5	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( D e. ( NN \ ◻NN ) /\ A e. RR ) /\ ( a e. NN0 /\ b e. NN0 ) ) /\ ( ( a ^ 2 ) - ( D x. ( b ^ 2 ) ) ) = 1 ) -> D e. NN )
7	6	nnnn0d 11351	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( D e. ( NN \ ◻NN ) /\ A e. RR ) /\ ( a e. NN0 /\ b e. NN0 ) ) /\ ( ( a ^ 2 ) - ( D x. ( b ^ 2 ) ) ) = 1 ) -> D e. NN0 )
8	7	nn0red 11352	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( D e. ( NN \ ◻NN ) /\ A e. RR ) /\ ( a e. NN0 /\ b e. NN0 ) ) /\ ( ( a ^ 2 ) - ( D x. ( b ^ 2 ) ) ) = 1 ) -> D e. RR )
9	7	nn0ge0d 11354	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( D e. ( NN \ ◻NN ) /\ A e. RR ) /\ ( a e. NN0 /\ b e. NN0 ) ) /\ ( ( a ^ 2 ) - ( D x. ( b ^ 2 ) ) ) = 1 ) -> 0 <_ D )
10	8, 9	resqrtcld 14156	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( D e. ( NN \ ◻NN ) /\ A e. RR ) /\ ( a e. NN0 /\ b e. NN0 ) ) /\ ( ( a ^ 2 ) - ( D x. ( b ^ 2 ) ) ) = 1 ) -> ( sqr ` D ) e. RR )
11		simplrr 801	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( D e. ( NN \ ◻NN ) /\ A e. RR ) /\ ( a e. NN0 /\ b e. NN0 ) ) /\ ( ( a ^ 2 ) - ( D x. ( b ^ 2 ) ) ) = 1 ) -> b e. NN0 )
12	11	nn0red 11352	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( D e. ( NN \ ◻NN ) /\ A e. RR ) /\ ( a e. NN0 /\ b e. NN0 ) ) /\ ( ( a ^ 2 ) - ( D x. ( b ^ 2 ) ) ) = 1 ) -> b e. RR )
13	10, 12	remulcld 10070	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( D e. ( NN \ ◻NN ) /\ A e. RR ) /\ ( a e. NN0 /\ b e. NN0 ) ) /\ ( ( a ^ 2 ) - ( D x. ( b ^ 2 ) ) ) = 1 ) -> ( ( sqr ` D ) x. b ) e. RR )
14	4, 13	readdcld 10069	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( D e. ( NN \ ◻NN ) /\ A e. RR ) /\ ( a e. NN0 /\ b e. NN0 ) ) /\ ( ( a ^ 2 ) - ( D x. ( b ^ 2 ) ) ) = 1 ) -> ( a + ( ( sqr ` D ) x. b ) ) e. RR )
15		2nn0 11309	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 2 e. NN0
16	15	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( D e. ( NN \ ◻NN ) /\ A e. RR ) /\ ( a e. NN0 /\ b e. NN0 ) ) /\ ( ( a ^ 2 ) - ( D x. ( b ^ 2 ) ) ) = 1 ) -> 2 e. NN0 )
17	11, 16	nn0expcld 13031	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( D e. ( NN \ ◻NN ) /\ A e. RR ) /\ ( a e. NN0 /\ b e. NN0 ) ) /\ ( ( a ^ 2 ) - ( D x. ( b ^ 2 ) ) ) = 1 ) -> ( b ^ 2 ) e. NN0 )
18	7, 17	nn0mulcld 11356	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( D e. ( NN \ ◻NN ) /\ A e. RR ) /\ ( a e. NN0 /\ b e. NN0 ) ) /\ ( ( a ^ 2 ) - ( D x. ( b ^ 2 ) ) ) = 1 ) -> ( D x. ( b ^ 2 ) ) e. NN0 )
19	18	nn0ge0d 11354	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( D e. ( NN \ ◻NN ) /\ A e. RR ) /\ ( a e. NN0 /\ b e. NN0 ) ) /\ ( ( a ^ 2 ) - ( D x. ( b ^ 2 ) ) ) = 1 ) -> 0 <_ ( D x. ( b ^ 2 ) ) )
20	18	nn0red 11352	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( D e. ( NN \ ◻NN ) /\ A e. RR ) /\ ( a e. NN0 /\ b e. NN0 ) ) /\ ( ( a ^ 2 ) - ( D x. ( b ^ 2 ) ) ) = 1 ) -> ( D x. ( b ^ 2 ) ) e. RR )
21	2, 20	addge02d 10616	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( D e. ( NN \ ◻NN ) /\ A e. RR ) /\ ( a e. NN0 /\ b e. NN0 ) ) /\ ( ( a ^ 2 ) - ( D x. ( b ^ 2 ) ) ) = 1 ) -> ( 0 <_ ( D x. ( b ^ 2 ) ) <-> 1 <_ ( ( D x. ( b ^ 2 ) ) + 1 ) ) )
22	19, 21	mpbid 222	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( D e. ( NN \ ◻NN ) /\ A e. RR ) /\ ( a e. NN0 /\ b e. NN0 ) ) /\ ( ( a ^ 2 ) - ( D x. ( b ^ 2 ) ) ) = 1 ) -> 1 <_ ( ( D x. ( b ^ 2 ) ) + 1 ) )
23		sq1 12958	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1 ^ 2 ) = 1
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( D e. ( NN \ ◻NN ) /\ A e. RR ) /\ ( a e. NN0 /\ b e. NN0 ) ) /\ ( ( a ^ 2 ) - ( D x. ( b ^ 2 ) ) ) = 1 ) -> ( 1 ^ 2 ) = 1 )
25		nn0cn 11302	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( a e. NN0 -> a e. CC )
26	25	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( D e. ( NN \ ◻NN ) /\ A e. RR ) /\ ( a e. NN0 /\ b e. NN0 ) ) -> a e. CC )
27	26	sqcld 13006	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( D e. ( NN \ ◻NN ) /\ A e. RR ) /\ ( a e. NN0 /\ b e. NN0 ) ) -> ( a ^ 2 ) e. CC )
28	5	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( D e. ( NN \ ◻NN ) /\ A e. RR ) /\ ( a e. NN0 /\ b e. NN0 ) ) -> D e. NN )
29	28	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( D e. ( NN \ ◻NN ) /\ A e. RR ) /\ ( a e. NN0 /\ b e. NN0 ) ) -> D e. CC )
30		nn0cn 11302	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( b e. NN0 -> b e. CC )
31	30	ad2antll 765	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( D e. ( NN \ ◻NN ) /\ A e. RR ) /\ ( a e. NN0 /\ b e. NN0 ) ) -> b e. CC )
32	31	sqcld 13006	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( D e. ( NN \ ◻NN ) /\ A e. RR ) /\ ( a e. NN0 /\ b e. NN0 ) ) -> ( b ^ 2 ) e. CC )
33	29, 32	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( D e. ( NN \ ◻NN ) /\ A e. RR ) /\ ( a e. NN0 /\ b e. NN0 ) ) -> ( D x. ( b ^ 2 ) ) e. CC )
34		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( D e. ( NN \ ◻NN ) /\ A e. RR ) /\ ( a e. NN0 /\ b e. NN0 ) ) -> 1 e. CC )
35	27, 33, 34	subaddd 10410	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( D e. ( NN \ ◻NN ) /\ A e. RR ) /\ ( a e. NN0 /\ b e. NN0 ) ) -> ( ( ( a ^ 2 ) - ( D x. ( b ^ 2 ) ) ) = 1 <-> ( ( D x. ( b ^ 2 ) ) + 1 ) = ( a ^ 2 ) ) )
36	35	biimpa 501	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( D e. ( NN \ ◻NN ) /\ A e. RR ) /\ ( a e. NN0 /\ b e. NN0 ) ) /\ ( ( a ^ 2 ) - ( D x. ( b ^ 2 ) ) ) = 1 ) -> ( ( D x. ( b ^ 2 ) ) + 1 ) = ( a ^ 2 ) )
37	36	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( D e. ( NN \ ◻NN ) /\ A e. RR ) /\ ( a e. NN0 /\ b e. NN0 ) ) /\ ( ( a ^ 2 ) - ( D x. ( b ^ 2 ) ) ) = 1 ) -> ( a ^ 2 ) = ( ( D x. ( b ^ 2 ) ) + 1 ) )
38	22, 24, 37	3brtr4d 4685	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( D e. ( NN \ ◻NN ) /\ A e. RR ) /\ ( a e. NN0 /\ b e. NN0 ) ) /\ ( ( a ^ 2 ) - ( D x. ( b ^ 2 ) ) ) = 1 ) -> ( 1 ^ 2 ) <_ ( a ^ 2 ) )
39		0le1 10551	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 <_ 1
40	39	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( D e. ( NN \ ◻NN ) /\ A e. RR ) /\ ( a e. NN0 /\ b e. NN0 ) ) /\ ( ( a ^ 2 ) - ( D x. ( b ^ 2 ) ) ) = 1 ) -> 0 <_ 1 )
41	3	nn0ge0d 11354	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( D e. ( NN \ ◻NN ) /\ A e. RR ) /\ ( a e. NN0 /\ b e. NN0 ) ) /\ ( ( a ^ 2 ) - ( D x. ( b ^ 2 ) ) ) = 1 ) -> 0 <_ a )
42	2, 4, 40, 41	le2sqd 13044	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( D e. ( NN \ ◻NN ) /\ A e. RR ) /\ ( a e. NN0 /\ b e. NN0 ) ) /\ ( ( a ^ 2 ) - ( D x. ( b ^ 2 ) ) ) = 1 ) -> ( 1 <_ a <-> ( 1 ^ 2 ) <_ ( a ^ 2 ) ) )
43	38, 42	mpbird 247	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( D e. ( NN \ ◻NN ) /\ A e. RR ) /\ ( a e. NN0 /\ b e. NN0 ) ) /\ ( ( a ^ 2 ) - ( D x. ( b ^ 2 ) ) ) = 1 ) -> 1 <_ a )
44	8, 9	sqrtge0d 14159	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( D e. ( NN \ ◻NN ) /\ A e. RR ) /\ ( a e. NN0 /\ b e. NN0 ) ) /\ ( ( a ^ 2 ) - ( D x. ( b ^ 2 ) ) ) = 1 ) -> 0 <_ ( sqr ` D ) )
45	11	nn0ge0d 11354	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( D e. ( NN \ ◻NN ) /\ A e. RR ) /\ ( a e. NN0 /\ b e. NN0 ) ) /\ ( ( a ^ 2 ) - ( D x. ( b ^ 2 ) ) ) = 1 ) -> 0 <_ b )
46	10, 12, 44, 45	mulge0d 10604	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( D e. ( NN \ ◻NN ) /\ A e. RR ) /\ ( a e. NN0 /\ b e. NN0 ) ) /\ ( ( a ^ 2 ) - ( D x. ( b ^ 2 ) ) ) = 1 ) -> 0 <_ ( ( sqr ` D ) x. b ) )
47	4, 13	addge01d 10615	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( D e. ( NN \ ◻NN ) /\ A e. RR ) /\ ( a e. NN0 /\ b e. NN0 ) ) /\ ( ( a ^ 2 ) - ( D x. ( b ^ 2 ) ) ) = 1 ) -> ( 0 <_ ( ( sqr ` D ) x. b ) <-> a <_ ( a + ( ( sqr ` D ) x. b ) ) ) )
48	46, 47	mpbid 222	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( D e. ( NN \ ◻NN ) /\ A e. RR ) /\ ( a e. NN0 /\ b e. NN0 ) ) /\ ( ( a ^ 2 ) - ( D x. ( b ^ 2 ) ) ) = 1 ) -> a <_ ( a + ( ( sqr ` D ) x. b ) ) )
49	2, 4, 14, 43, 48	letrd 10194	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( D e. ( NN \ ◻NN ) /\ A e. RR ) /\ ( a e. NN0 /\ b e. NN0 ) ) /\ ( ( a ^ 2 ) - ( D x. ( b ^ 2 ) ) ) = 1 ) -> 1 <_ ( a + ( ( sqr ` D ) x. b ) ) )
50	49	adantrl 752	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( D e. ( NN \ ◻NN ) /\ A e. RR ) /\ ( a e. NN0 /\ b e. NN0 ) ) /\ ( A = ( a + ( ( sqr ` D ) x. b ) ) /\ ( ( a ^ 2 ) - ( D x. ( b ^ 2 ) ) ) = 1 ) ) -> 1 <_ ( a + ( ( sqr ` D ) x. b ) ) )
51		simprl 794	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( D e. ( NN \ ◻NN ) /\ A e. RR ) /\ ( a e. NN0 /\ b e. NN0 ) ) /\ ( A = ( a + ( ( sqr ` D ) x. b ) ) /\ ( ( a ^ 2 ) - ( D x. ( b ^ 2 ) ) ) = 1 ) ) -> A = ( a + ( ( sqr ` D ) x. b ) ) )
52	50, 51	breqtrrd 4681	. . . . . 6 |- ( ( ( ( D e. ( NN \ ◻NN ) /\ A e. RR ) /\ ( a e. NN0 /\ b e. NN0 ) ) /\ ( A = ( a + ( ( sqr ` D ) x. b ) ) /\ ( ( a ^ 2 ) - ( D x. ( b ^ 2 ) ) ) = 1 ) ) -> 1 <_ A )
53	52	ex 450	. . . . 5 |- ( ( ( D e. ( NN \ ◻NN ) /\ A e. RR ) /\ ( a e. NN0 /\ b e. NN0 ) ) -> ( ( A = ( a + ( ( sqr ` D ) x. b ) ) /\ ( ( a ^ 2 ) - ( D x. ( b ^ 2 ) ) ) = 1 ) -> 1 <_ A ) )
54	53	rexlimdvva 3038	. . . 4 |- ( ( D e. ( NN \ ◻NN ) /\ A e. RR ) -> ( E. a e. NN0 E. b e. NN0 ( A = ( a + ( ( sqr ` D ) x. b ) ) /\ ( ( a ^ 2 ) - ( D x. ( b ^ 2 ) ) ) = 1 ) -> 1 <_ A ) )
55	54	expimpd 629	. . 3 |- ( D e. ( NN \ ◻NN ) -> ( ( A e. RR /\ E. a e. NN0 E. b e. NN0 ( A = ( a + ( ( sqr ` D ) x. b ) ) /\ ( ( a ^ 2 ) - ( D x. ( b ^ 2 ) ) ) = 1 ) ) -> 1 <_ A ) )
56	1, 55	sylbid 230	. 2 |- ( D e. ( NN \ ◻NN ) -> ( A e. (Pell1QR ` D ) -> 1 <_ A ) )
57	56	imp 445	1 |- ( ( D e. ( NN \ ◻NN ) /\ A e. (Pell1QR ` D ) ) -> 1 <_ A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   E.wrex 2913   \ cdif 3571   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   <_ cle 10075   - cmin 10266   NNcn 11020   2c2 11070   NN0cn0 11292   ^cexp 12860   sqrcsqrt 13973  ◻_NNcsquarenn 37400  Pell1QRcpell1qr 37401

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-pell1qr 37406

This theorem is referenced by:  elpell1qr2  37436