Theorem subaddd 10410

Description: Relationship between subtraction and addition. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	|- ( ph -> A e. CC )
pncand.2	|- ( ph -> B e. CC )
subaddd.3	|- ( ph -> C e. CC )

Assertion

Ref	Expression
subaddd	|- ( ph -> ( ( A - B ) = C <-> ( B + C ) = A ) )

Proof of Theorem subaddd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 |- ( ph -> A e. CC )
2		pncand.2	. 2 |- ( ph -> B e. CC )
3		subaddd.3	. 2 |- ( ph -> C e. CC )
4		subadd 10284	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( ( A - B ) = C <-> ( B + C ) = A ) )
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1326	1 |- ( ph -> ( ( A - B ) = C <-> ( B + C ) = A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   = wceq 1483   e. wcel 1990  (class class class)co 6650   CCcc 9934   + caddc 9939   - cmin 10266

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-ltxr 10079  df-sub 10268

This theorem is referenced by:  addid0  10450  subdi  10463  zneo  11460  flpmodeq  12673  cvgcmpce  14550  bpolysum  14784  sin01bnd  14915  cos01bnd  14916  phiprmpw  15481  fldivp1  15601  pcfac  15603  sylow2a  18034  dveflem  23742  aaliou3lem7  24104  mtest  24158  efiarg  24353  quad2  24566  dcubic  24573  quart  24588  efiatan2  24644  dmgmaddn0  24749  lgamgulmlem3  24757  m1lgs  25113  logdivbnd  25245  axeuclidlem  25842  ballotlemic  30568  signslema  30639  signsvtn  30661  subfaclim  31170  mblfinlem3  33448  mblfinlem4  33449  pell1qrge1  37434  rmxluc  37501  itgsinexp  40170  fourierdlem19  40343  fourierdlem35  40359  fourierdlem41  40365  fourierdlem51  40374  fourierdlem79  40402  meaiininclem  40700  nnpw2pmod  42377