Theorem pmtrprfval 17907

Description: The transpositions on a pair. (Contributed by AV, 9-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
pmtrprfval	|- (pmTrsp ` { 1 , 2 } ) = ( p e. { { 1 , 2 } } |-> ( z e. { 1 , 2 } |-> if ( z = 1 , 2 , 1 ) ) )

Distinct variable group:   z, p

Proof of Theorem pmtrprfval

Dummy variable t is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prex 4909	. . 3 |- { 1 , 2 } e. _V
2		eqid 2622	. . . 4 |- (pmTrsp ` { 1 , 2 } ) = (pmTrsp ` { 1 , 2 } )
3	2	pmtrfval 17870	. . 3 |- ( { 1 , 2 } e. _V -> (pmTrsp ` { 1 , 2 } ) = ( p e. { t e. ~P { 1 , 2 } | t ~~ 2o } |-> ( z e. { 1 , 2 } |-> if ( z e. p , U. ( p \ { z } ) , z ) ) ) )
4	1, 3	ax-mp 5	. 2 |- (pmTrsp ` { 1 , 2 } ) = ( p e. { t e. ~P { 1 , 2 } | t ~~ 2o } |-> ( z e. { 1 , 2 } |-> if ( z e. p , U. ( p \ { z } ) , z ) ) )
5		1ex 10035	. . . . 5 |- 1 e. _V
6		2nn0 11309	. . . . 5 |- 2 e. NN0
7		1ne2 11240	. . . . 5 |- 1 =/= 2
8		pr2pwpr 13261	. . . . 5 |- ( ( 1 e. _V /\ 2 e. NN0 /\ 1 =/= 2 ) -> { t e. ~P { 1 , 2 } | t ~~ 2o } = { { 1 , 2 } } )
9	5, 6, 7, 8	mp3an 1424	. . . 4 |- { t e. ~P { 1 , 2 } | t ~~ 2o } = { { 1 , 2 } }
10		eqid 2622	. . . 4 |- ( z e. { 1 , 2 } |-> if ( z e. p , U. ( p \ { z } ) , z ) ) = ( z e. { 1 , 2 } |-> if ( z e. p , U. ( p \ { z } ) , z ) )
11	9, 10	mpteq12i 4742	. . 3 |- ( p e. { t e. ~P { 1 , 2 } | t ~~ 2o } |-> ( z e. { 1 , 2 } |-> if ( z e. p , U. ( p \ { z } ) , z ) ) ) = ( p e. { { 1 , 2 } } |-> ( z e. { 1 , 2 } |-> if ( z e. p , U. ( p \ { z } ) , z ) ) )
12		elsni 4194	. . . . . 6 |- ( p e. { { 1 , 2 } } -> p = { 1 , 2 } )
13		eleq2 2690	. . . . . . . . 9 |- ( p = { 1 , 2 } -> ( z e. p <-> z e. { 1 , 2 } ) )
14	13	biimpar 502	. . . . . . . 8 |- ( ( p = { 1 , 2 } /\ z e. { 1 , 2 } ) -> z e. p )
15	14	iftrued 4094	. . . . . . 7 |- ( ( p = { 1 , 2 } /\ z e. { 1 , 2 } ) -> if ( z e. p , U. ( p \ { z } ) , z ) = U. ( p \ { z } ) )
16		elpri 4197	. . . . . . . . 9 |- ( z e. { 1 , 2 } -> ( z = 1 \/ z = 2 ) )
17		2ex 11092	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 e. _V
18	17	unisn 4451	. . . . . . . . . . . 12 |- U. { 2 } = 2
19		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( z = 1 /\ p = { 1 , 2 } ) -> p = { 1 , 2 } )
20		sneq 4187	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = 1 -> { z } = { 1 } )
21	20	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( z = 1 /\ p = { 1 , 2 } ) -> { z } = { 1 } )
22	19, 21	difeq12d 3729	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( z = 1 /\ p = { 1 , 2 } ) -> ( p \ { z } ) = ( { 1 , 2 } \ { 1 } ) )
23		difprsn1 4330	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 1 =/= 2 -> ( { 1 , 2 } \ { 1 } ) = { 2 } )
24	7, 23	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( { 1 , 2 } \ { 1 } ) = { 2 }
25	22, 24	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z = 1 /\ p = { 1 , 2 } ) -> ( p \ { z } ) = { 2 } )
26	25	unieqd 4446	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z = 1 /\ p = { 1 , 2 } ) -> U. ( p \ { z } ) = U. { 2 } )
27		iftrue 4092	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = 1 -> if ( z = 1 , 2 , 1 ) = 2 )
28	27	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z = 1 /\ p = { 1 , 2 } ) -> if ( z = 1 , 2 , 1 ) = 2 )
29	18, 26, 28	3eqtr4a 2682	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z = 1 /\ p = { 1 , 2 } ) -> U. ( p \ { z } ) = if ( z = 1 , 2 , 1 ) )
30	29	ex 450	. . . . . . . . . 10 |- ( z = 1 -> ( p = { 1 , 2 } -> U. ( p \ { z } ) = if ( z = 1 , 2 , 1 ) ) )
31	5	unisn 4451	. . . . . . . . . . . 12 |- U. { 1 } = 1
32		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( z = 2 /\ p = { 1 , 2 } ) -> p = { 1 , 2 } )
33		sneq 4187	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = 2 -> { z } = { 2 } )
34	33	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( z = 2 /\ p = { 1 , 2 } ) -> { z } = { 2 } )
35	32, 34	difeq12d 3729	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( z = 2 /\ p = { 1 , 2 } ) -> ( p \ { z } ) = ( { 1 , 2 } \ { 2 } ) )
36		difprsn2 4331	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 1 =/= 2 -> ( { 1 , 2 } \ { 2 } ) = { 1 } )
37	7, 36	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( { 1 , 2 } \ { 2 } ) = { 1 }
38	35, 37	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z = 2 /\ p = { 1 , 2 } ) -> ( p \ { z } ) = { 1 } )
39	38	unieqd 4446	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z = 2 /\ p = { 1 , 2 } ) -> U. ( p \ { z } ) = U. { 1 } )
40	7	nesymi 2851	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- -. 2 = 1
41		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = 2 -> ( z = 1 <-> 2 = 1 ) )
42	40, 41	mtbiri 317	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = 2 -> -. z = 1 )
43	42	iffalsed 4097	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = 2 -> if ( z = 1 , 2 , 1 ) = 1 )
44	43	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z = 2 /\ p = { 1 , 2 } ) -> if ( z = 1 , 2 , 1 ) = 1 )
45	31, 39, 44	3eqtr4a 2682	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z = 2 /\ p = { 1 , 2 } ) -> U. ( p \ { z } ) = if ( z = 1 , 2 , 1 ) )
46	45	ex 450	. . . . . . . . . 10 |- ( z = 2 -> ( p = { 1 , 2 } -> U. ( p \ { z } ) = if ( z = 1 , 2 , 1 ) ) )
47	30, 46	jaoi 394	. . . . . . . . 9 |- ( ( z = 1 \/ z = 2 ) -> ( p = { 1 , 2 } -> U. ( p \ { z } ) = if ( z = 1 , 2 , 1 ) ) )
48	16, 47	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( z e. { 1 , 2 } -> ( p = { 1 , 2 } -> U. ( p \ { z } ) = if ( z = 1 , 2 , 1 ) ) )
49	48	impcom 446	. . . . . . 7 |- ( ( p = { 1 , 2 } /\ z e. { 1 , 2 } ) -> U. ( p \ { z } ) = if ( z = 1 , 2 , 1 ) )
50	15, 49	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( ( p = { 1 , 2 } /\ z e. { 1 , 2 } ) -> if ( z e. p , U. ( p \ { z } ) , z ) = if ( z = 1 , 2 , 1 ) )
51	12, 50	sylan 488	. . . . 5 |- ( ( p e. { { 1 , 2 } } /\ z e. { 1 , 2 } ) -> if ( z e. p , U. ( p \ { z } ) , z ) = if ( z = 1 , 2 , 1 ) )
52	51	mpteq2dva 4744	. . . 4 |- ( p e. { { 1 , 2 } } -> ( z e. { 1 , 2 } |-> if ( z e. p , U. ( p \ { z } ) , z ) ) = ( z e. { 1 , 2 } |-> if ( z = 1 , 2 , 1 ) ) )
53	52	mpteq2ia 4740	. . 3 |- ( p e. { { 1 , 2 } } |-> ( z e. { 1 , 2 } |-> if ( z e. p , U. ( p \ { z } ) , z ) ) ) = ( p e. { { 1 , 2 } } |-> ( z e. { 1 , 2 } |-> if ( z = 1 , 2 , 1 ) ) )
54	11, 53	eqtri 2644	. 2 |- ( p e. { t e. ~P { 1 , 2 } | t ~~ 2o } |-> ( z e. { 1 , 2 } |-> if ( z e. p , U. ( p \ { z } ) , z ) ) ) = ( p e. { { 1 , 2 } } |-> ( z e. { 1 , 2 } |-> if ( z = 1 , 2 , 1 ) ) )
55	4, 54	eqtri 2644	1 |- (pmTrsp ` { 1 , 2 } ) = ( p e. { { 1 , 2 } } |-> ( z e. { 1 , 2 } |-> if ( z = 1 , 2 , 1 ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   {crab 2916   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   ifcif 4086   ~Pcpw 4158   {csn 4177   {cpr 4179   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888   2oc2o 7554   ~~ cen 7952   1c1 9937   2c2 11070   NN0cn0 11292  pmTrspcpmtr 17861

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-hash 13118  df-pmtr 17862

This theorem is referenced by:  pmtrprfvalrn  17908