Theorem psgnfitr 17937

Description: A permutation of a finite set is generated by transpositions. (Contributed by AV, 13-Jan-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
psgnfitr.g	|- G = ( SymGrp ` N )
psgnfitr.p	|- B = ( Base ` G )
psgnfitr.t	|- T = ran (pmTrsp ` N )

Assertion

Ref	Expression
psgnfitr	|- ( N e. Fin -> ( Q e. B <-> E. w e. Word T Q = ( G gsumg w ) ) )

Distinct variable groups:   w, G   w, Q   w, T

Allowed substitution hints:   B( w)   N( w)

Proof of Theorem psgnfitr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psgnfitr.t	. . . . 5 |- T = ran (pmTrsp ` N )
2		psgnfitr.g	. . . . 5 |- G = ( SymGrp ` N )
3		psgnfitr.p	. . . . 5 |- B = ( Base ` G )
4		eqid 2622	. . . . 5 |- (mrCls ` (SubMnd ` G ) ) = (mrCls ` (SubMnd ` G ) )
5	1, 2, 3, 4	symggen2 17891	. . . 4 |- ( N e. Fin -> ( (mrCls ` (SubMnd ` G ) ) ` T ) = B )
6	2	symggrp 17820	. . . . . 6 |- ( N e. Fin -> G e. Grp )
7		grpmnd 17429	. . . . . 6 |- ( G e. Grp -> G e. Mnd )
8	6, 7	syl 17	. . . . 5 |- ( N e. Fin -> G e. Mnd )
9		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
10	1, 2, 9	symgtrf 17889	. . . . 5 |- T C_ ( Base ` G )
11	9, 4	gsumwspan 17383	. . . . 5 |- ( ( G e. Mnd /\ T C_ ( Base ` G ) ) -> ( (mrCls ` (SubMnd ` G ) ) ` T ) = ran ( w e. Word T |-> ( G gsumg w ) ) )
12	8, 10, 11	sylancl 694	. . . 4 |- ( N e. Fin -> ( (mrCls ` (SubMnd ` G ) ) ` T ) = ran ( w e. Word T |-> ( G gsumg w ) ) )
13	5, 12	eqtr3d 2658	. . 3 |- ( N e. Fin -> B = ran ( w e. Word T |-> ( G gsumg w ) ) )
14	13	eleq2d 2687	. 2 |- ( N e. Fin -> ( Q e. B <-> Q e. ran ( w e. Word T |-> ( G gsumg w ) ) ) )
15		eqid 2622	. . 3 |- ( w e. Word T |-> ( G gsumg w ) ) = ( w e. Word T |-> ( G gsumg w ) )
16		ovex 6678	. . 3 |- ( G gsumg w ) e. _V
17	15, 16	elrnmpti 5376	. 2 |- ( Q e. ran ( w e. Word T |-> ( G gsumg w ) ) <-> E. w e. Word T Q = ( G gsumg w ) )
18	14, 17	syl6bb 276	1 |- ( N e. Fin -> ( Q e. B <-> E. w e. Word T Q = ( G gsumg w ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   = wceq 1483   e. wcel 1990   E.wrex 2913   C_ wss 3574   |-> cmpt 4729   ran crn 5115   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955  Word cword 13291   Basecbs 15857   gsum_g cgsu 16101  mrClscmrc 16243   Mndcmnd 17294  SubMndcsubmnd 17334   Grpcgrp 17422   SymGrpcsymg 17797  pmTrspcpmtr 17861

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-word 13299  df-concat 13301  df-s1 13302  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-tset 15960  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-subg 17591  df-symg 17798  df-pmtr 17862

This theorem is referenced by:  psgnfix1  19944  psgnfix2  19945