Theorem psrcom 19409

Description: Commutative law for the ring of power series. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrring.s	|- S = ( I mPwSer R )
psrring.i	|- ( ph -> I e. V )
psrring.r	|- ( ph -> R e. Ring )
psrass.d	|- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
psrass.t	|- .X. = ( .r ` S )
psrass.b	|- B = ( Base ` S )
psrass.x	|- ( ph -> X e. B )
psrass.y	|- ( ph -> Y e. B )
psrcom.c	|- ( ph -> R e. CRing )

Assertion

Ref	Expression
psrcom	|- ( ph -> ( X .X. Y ) = ( Y .X. X ) )

Distinct variable groups:   f, I   R, f   f, X   f, Y

Allowed substitution hints:   ph( f)   B( f)   D( f)   S( f)   .X. ( f)   V( f)

Proof of Theorem psrcom

Dummy variables x k z g j are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2622	. . . . 5 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
2		eqid 2622	. . . . 5 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
3		psrring.r	. . . . . . 7 |- ( ph -> R e. Ring )
4		ringcmn 18581	. . . . . . 7 |- ( R e. Ring -> R e. CMnd )
5	3, 4	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> R e. CMnd )
6	5	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> R e. CMnd )
7		psrring.i	. . . . . 6 |- ( ph -> I e. V )
8		psrass.d	. . . . . . 7 |- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
9	8	psrbaglefi 19372	. . . . . 6 |- ( ( I e. V /\ x e. D ) -> { g e. D | g oR <_ x } e. Fin )
10	7, 9	sylan 488	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> { g e. D | g oR <_ x } e. Fin )
11	3	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ k e. { g e. D | g oR <_ x } ) -> R e. Ring )
12		psrring.s	. . . . . . . . . 10 |- S = ( I mPwSer R )
13		psrass.b	. . . . . . . . . 10 |- B = ( Base ` S )
14		psrass.x	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> X e. B )
15	12, 1, 8, 13, 14	psrelbas 19379	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> X : D --> ( Base ` R ) )
16	15	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ k e. { g e. D | g oR <_ x } ) -> X : D --> ( Base ` R ) )
17		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ k e. { g e. D | g oR <_ x } ) -> k e. { g e. D | g oR <_ x } )
18		breq1 4656	. . . . . . . . . . 11 |- ( g = k -> ( g oR <_ x <-> k oR <_ x ) )
19	18	elrab 3363	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. { g e. D | g oR <_ x } <-> ( k e. D /\ k oR <_ x ) )
20	17, 19	sylib 208	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ k e. { g e. D | g oR <_ x } ) -> ( k e. D /\ k oR <_ x ) )
21	20	simpld 475	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ k e. { g e. D | g oR <_ x } ) -> k e. D )
22	16, 21	ffvelrnd 6360	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ k e. { g e. D | g oR <_ x } ) -> ( X ` k ) e. ( Base ` R ) )
23		psrass.y	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> Y e. B )
24	12, 1, 8, 13, 23	psrelbas 19379	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> Y : D --> ( Base ` R ) )
25	24	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ k e. { g e. D | g oR <_ x } ) -> Y : D --> ( Base ` R ) )
26	7	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ k e. { g e. D | g oR <_ x } ) -> I e. V )
27		simplr 792	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ k e. { g e. D | g oR <_ x } ) -> x e. D )
28	8	psrbagf 19365	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( I e. V /\ k e. D ) -> k : I --> NN0 )
29	26, 21, 28	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ k e. { g e. D | g oR <_ x } ) -> k : I --> NN0 )
30	20	simprd 479	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ k e. { g e. D | g oR <_ x } ) -> k oR <_ x )
31	8	psrbagcon 19371	. . . . . . . . . 10 |- ( ( I e. V /\ ( x e. D /\ k : I --> NN0 /\ k oR <_ x ) ) -> ( ( x oF - k ) e. D /\ ( x oF - k ) oR <_ x ) )
32	26, 27, 29, 30, 31	syl13anc 1328	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ k e. { g e. D | g oR <_ x } ) -> ( ( x oF - k ) e. D /\ ( x oF - k ) oR <_ x ) )
33	32	simpld 475	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ k e. { g e. D | g oR <_ x } ) -> ( x oF - k ) e. D )
34	25, 33	ffvelrnd 6360	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ k e. { g e. D | g oR <_ x } ) -> ( Y ` ( x oF - k ) ) e. ( Base ` R ) )
35		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
36	1, 35	ringcl 18561	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ ( X ` k ) e. ( Base ` R ) /\ ( Y ` ( x oF - k ) ) e. ( Base ` R ) ) -> ( ( X ` k ) ( .r ` R ) ( Y ` ( x oF - k ) ) ) e. ( Base ` R ) )
37	11, 22, 34, 36	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ k e. { g e. D | g oR <_ x } ) -> ( ( X ` k ) ( .r ` R ) ( Y ` ( x oF - k ) ) ) e. ( Base ` R ) )
38		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( k e. { g e. D | g oR <_ x } |-> ( ( X ` k ) ( .r ` R ) ( Y ` ( x oF - k ) ) ) ) = ( k e. { g e. D | g oR <_ x } |-> ( ( X ` k ) ( .r ` R ) ( Y ` ( x oF - k ) ) ) )
39	37, 38	fmptd 6385	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> ( k e. { g e. D | g oR <_ x } |-> ( ( X ` k ) ( .r ` R ) ( Y ` ( x oF - k ) ) ) ) : { g e. D | g oR <_ x } --> ( Base ` R ) )
40		ovex 6678	. . . . . . . . . 10 |- ( NN0 ^m I ) e. _V
41	8, 40	rabex2 4815	. . . . . . . . 9 |- D e. _V
42	41	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> D e. _V )
43		rabexg 4812	. . . . . . . 8 |- ( D e. _V -> { g e. D | g oR <_ x } e. _V )
44	42, 43	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> { g e. D | g oR <_ x } e. _V )
45		mptexg 6484	. . . . . . 7 |- ( { g e. D | g oR <_ x } e. _V -> ( k e. { g e. D | g oR <_ x } |-> ( ( X ` k ) ( .r ` R ) ( Y ` ( x oF - k ) ) ) ) e. _V )
46	44, 45	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> ( k e. { g e. D | g oR <_ x } |-> ( ( X ` k ) ( .r ` R ) ( Y ` ( x oF - k ) ) ) ) e. _V )
47		funmpt 5926	. . . . . . 7 |- Fun ( k e. { g e. D | g oR <_ x } |-> ( ( X ` k ) ( .r ` R ) ( Y ` ( x oF - k ) ) ) )
48	47	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> Fun ( k e. { g e. D | g oR <_ x } |-> ( ( X ` k ) ( .r ` R ) ( Y ` ( x oF - k ) ) ) ) )
49		fvexd 6203	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> ( 0g ` R ) e. _V )
50		suppssdm 7308	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. { g e. D | g oR <_ x } |-> ( ( X ` k ) ( .r ` R ) ( Y ` ( x oF - k ) ) ) ) supp ( 0g ` R ) ) C_ dom ( k e. { g e. D | g oR <_ x } |-> ( ( X ` k ) ( .r ` R ) ( Y ` ( x oF - k ) ) ) )
51	38	dmmptss 5631	. . . . . . . 8 |- dom ( k e. { g e. D | g oR <_ x } |-> ( ( X ` k ) ( .r ` R ) ( Y ` ( x oF - k ) ) ) ) C_ { g e. D | g oR <_ x }
52	50, 51	sstri 3612	. . . . . . 7 |- ( ( k e. { g e. D | g oR <_ x } |-> ( ( X ` k ) ( .r ` R ) ( Y ` ( x oF - k ) ) ) ) supp ( 0g ` R ) ) C_ { g e. D | g oR <_ x }
53	52	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> ( ( k e. { g e. D | g oR <_ x } |-> ( ( X ` k ) ( .r ` R ) ( Y ` ( x oF - k ) ) ) ) supp ( 0g ` R ) ) C_ { g e. D | g oR <_ x } )
54		suppssfifsupp 8290	. . . . . 6 |- ( ( ( ( k e. { g e. D | g oR <_ x } |-> ( ( X ` k ) ( .r ` R ) ( Y ` ( x oF - k ) ) ) ) e. _V /\ Fun ( k e. { g e. D | g oR <_ x } |-> ( ( X ` k ) ( .r ` R ) ( Y ` ( x oF - k ) ) ) ) /\ ( 0g ` R ) e. _V ) /\ ( { g e. D | g oR <_ x } e. Fin /\ ( ( k e. { g e. D | g oR <_ x } |-> ( ( X ` k ) ( .r ` R ) ( Y ` ( x oF - k ) ) ) ) supp ( 0g ` R ) ) C_ { g e. D | g oR <_ x } ) ) -> ( k e. { g e. D | g oR <_ x } |-> ( ( X ` k ) ( .r ` R ) ( Y ` ( x oF - k ) ) ) ) finSupp ( 0g ` R ) )
55	46, 48, 49, 10, 53, 54	syl32anc 1334	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> ( k e. { g e. D | g oR <_ x } |-> ( ( X ` k ) ( .r ` R ) ( Y ` ( x oF - k ) ) ) ) finSupp ( 0g ` R ) )
56		eqid 2622	. . . . . . 7 |- { g e. D | g oR <_ x } = { g e. D | g oR <_ x }
57	8, 56	psrbagconf1o 19374	. . . . . 6 |- ( ( I e. V /\ x e. D ) -> ( j e. { g e. D | g oR <_ x } |-> ( x oF - j ) ) : { g e. D | g oR <_ x } -1-1-onto-> { g e. D | g oR <_ x } )
58	7, 57	sylan 488	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> ( j e. { g e. D | g oR <_ x } |-> ( x oF - j ) ) : { g e. D | g oR <_ x } -1-1-onto-> { g e. D | g oR <_ x } )
59	1, 2, 6, 10, 39, 55, 58	gsumf1o 18317	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> ( R gsumg ( k e. { g e. D | g oR <_ x } |-> ( ( X ` k ) ( .r ` R ) ( Y ` ( x oF - k ) ) ) ) ) = ( R gsumg ( ( k e. { g e. D | g oR <_ x } |-> ( ( X ` k ) ( .r ` R ) ( Y ` ( x oF - k ) ) ) ) o. ( j e. { g e. D | g oR <_ x } |-> ( x oF - j ) ) ) ) )
60	7	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ j e. { g e. D | g oR <_ x } ) -> I e. V )
61		simplr 792	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ j e. { g e. D | g oR <_ x } ) -> x e. D )
62		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ j e. { g e. D | g oR <_ x } ) -> j e. { g e. D | g oR <_ x } )
63	8, 56	psrbagconcl 19373	. . . . . . . 8 |- ( ( I e. V /\ x e. D /\ j e. { g e. D | g oR <_ x } ) -> ( x oF - j ) e. { g e. D | g oR <_ x } )
64	60, 61, 62, 63	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ j e. { g e. D | g oR <_ x } ) -> ( x oF - j ) e. { g e. D | g oR <_ x } )
65		eqidd 2623	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> ( j e. { g e. D | g oR <_ x } |-> ( x oF - j ) ) = ( j e. { g e. D | g oR <_ x } |-> ( x oF - j ) ) )
66		eqidd 2623	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> ( k e. { g e. D | g oR <_ x } |-> ( ( X ` k ) ( .r ` R ) ( Y ` ( x oF - k ) ) ) ) = ( k e. { g e. D | g oR <_ x } |-> ( ( X ` k ) ( .r ` R ) ( Y ` ( x oF - k ) ) ) ) )
67		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( k = ( x oF - j ) -> ( X ` k ) = ( X ` ( x oF - j ) ) )
68		oveq2 6658	. . . . . . . . 9 |- ( k = ( x oF - j ) -> ( x oF - k ) = ( x oF - ( x oF - j ) ) )
69	68	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 |- ( k = ( x oF - j ) -> ( Y ` ( x oF - k ) ) = ( Y ` ( x oF - ( x oF - j ) ) ) )
70	67, 69	oveq12d 6668	. . . . . . 7 |- ( k = ( x oF - j ) -> ( ( X ` k ) ( .r ` R ) ( Y ` ( x oF - k ) ) ) = ( ( X ` ( x oF - j ) ) ( .r ` R ) ( Y ` ( x oF - ( x oF - j ) ) ) ) )
71	64, 65, 66, 70	fmptco 6396	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> ( ( k e. { g e. D | g oR <_ x } |-> ( ( X ` k ) ( .r ` R ) ( Y ` ( x oF - k ) ) ) ) o. ( j e. { g e. D | g oR <_ x } |-> ( x oF - j ) ) ) = ( j e. { g e. D | g oR <_ x } |-> ( ( X ` ( x oF - j ) ) ( .r ` R ) ( Y ` ( x oF - ( x oF - j ) ) ) ) ) )
72	8	psrbagf 19365	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( I e. V /\ x e. D ) -> x : I --> NN0 )
73	7, 72	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> x : I --> NN0 )
74	73	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ j e. { g e. D | g oR <_ x } ) -> x : I --> NN0 )
75	74	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ j e. { g e. D | g oR <_ x } ) /\ z e. I ) -> ( x ` z ) e. NN0 )
76		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( g = j -> ( g oR <_ x <-> j oR <_ x ) )
77	76	elrab 3363	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( j e. { g e. D | g oR <_ x } <-> ( j e. D /\ j oR <_ x ) )
78	62, 77	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ j e. { g e. D | g oR <_ x } ) -> ( j e. D /\ j oR <_ x ) )
79	78	simpld 475	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ j e. { g e. D | g oR <_ x } ) -> j e. D )
80	8	psrbagf 19365	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( I e. V /\ j e. D ) -> j : I --> NN0 )
81	60, 79, 80	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ j e. { g e. D | g oR <_ x } ) -> j : I --> NN0 )
82	81	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ j e. { g e. D | g oR <_ x } ) /\ z e. I ) -> ( j ` z ) e. NN0 )
83		nn0cn 11302	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x ` z ) e. NN0 -> ( x ` z ) e. CC )
84		nn0cn 11302	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( j ` z ) e. NN0 -> ( j ` z ) e. CC )
85		nncan 10310	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x ` z ) e. CC /\ ( j ` z ) e. CC ) -> ( ( x ` z ) - ( ( x ` z ) - ( j ` z ) ) ) = ( j ` z ) )
86	83, 84, 85	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x ` z ) e. NN0 /\ ( j ` z ) e. NN0 ) -> ( ( x ` z ) - ( ( x ` z ) - ( j ` z ) ) ) = ( j ` z ) )
87	75, 82, 86	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ j e. { g e. D | g oR <_ x } ) /\ z e. I ) -> ( ( x ` z ) - ( ( x ` z ) - ( j ` z ) ) ) = ( j ` z ) )
88	87	mpteq2dva 4744	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ j e. { g e. D | g oR <_ x } ) -> ( z e. I |-> ( ( x ` z ) - ( ( x ` z ) - ( j ` z ) ) ) ) = ( z e. I |-> ( j ` z ) ) )
89		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x ` z ) - ( j ` z ) ) e. _V
90	89	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ j e. { g e. D | g oR <_ x } ) /\ z e. I ) -> ( ( x ` z ) - ( j ` z ) ) e. _V )
91	74	feqmptd 6249	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ j e. { g e. D | g oR <_ x } ) -> x = ( z e. I |-> ( x ` z ) ) )
92	81	feqmptd 6249	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ j e. { g e. D | g oR <_ x } ) -> j = ( z e. I |-> ( j ` z ) ) )
93	60, 75, 82, 91, 92	offval2 6914	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ j e. { g e. D | g oR <_ x } ) -> ( x oF - j ) = ( z e. I |-> ( ( x ` z ) - ( j ` z ) ) ) )
94	60, 75, 90, 91, 93	offval2 6914	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ j e. { g e. D | g oR <_ x } ) -> ( x oF - ( x oF - j ) ) = ( z e. I |-> ( ( x ` z ) - ( ( x ` z ) - ( j ` z ) ) ) ) )
95	88, 94, 92	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ j e. { g e. D | g oR <_ x } ) -> ( x oF - ( x oF - j ) ) = j )
96	95	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ j e. { g e. D | g oR <_ x } ) -> ( Y ` ( x oF - ( x oF - j ) ) ) = ( Y ` j ) )
97	96	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ j e. { g e. D | g oR <_ x } ) -> ( ( X ` ( x oF - j ) ) ( .r ` R ) ( Y ` ( x oF - ( x oF - j ) ) ) ) = ( ( X ` ( x oF - j ) ) ( .r ` R ) ( Y ` j ) ) )
98		psrcom.c	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> R e. CRing )
99	98	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ j e. { g e. D | g oR <_ x } ) -> R e. CRing )
100	15	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ j e. { g e. D | g oR <_ x } ) -> X : D --> ( Base ` R ) )
101	78	simprd 479	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ j e. { g e. D | g oR <_ x } ) -> j oR <_ x )
102	8	psrbagcon 19371	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( I e. V /\ ( x e. D /\ j : I --> NN0 /\ j oR <_ x ) ) -> ( ( x oF - j ) e. D /\ ( x oF - j ) oR <_ x ) )
103	60, 61, 81, 101, 102	syl13anc 1328	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ j e. { g e. D | g oR <_ x } ) -> ( ( x oF - j ) e. D /\ ( x oF - j ) oR <_ x ) )
104	103	simpld 475	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ j e. { g e. D | g oR <_ x } ) -> ( x oF - j ) e. D )
105	100, 104	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ j e. { g e. D | g oR <_ x } ) -> ( X ` ( x oF - j ) ) e. ( Base ` R ) )
106	24	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ j e. { g e. D | g oR <_ x } ) -> Y : D --> ( Base ` R ) )
107	106, 79	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ j e. { g e. D | g oR <_ x } ) -> ( Y ` j ) e. ( Base ` R ) )
108	1, 35	crngcom 18562	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. CRing /\ ( X ` ( x oF - j ) ) e. ( Base ` R ) /\ ( Y ` j ) e. ( Base ` R ) ) -> ( ( X ` ( x oF - j ) ) ( .r ` R ) ( Y ` j ) ) = ( ( Y ` j ) ( .r ` R ) ( X ` ( x oF - j ) ) ) )
109	99, 105, 107, 108	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ j e. { g e. D | g oR <_ x } ) -> ( ( X ` ( x oF - j ) ) ( .r ` R ) ( Y ` j ) ) = ( ( Y ` j ) ( .r ` R ) ( X ` ( x oF - j ) ) ) )
110	97, 109	eqtrd 2656	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ j e. { g e. D | g oR <_ x } ) -> ( ( X ` ( x oF - j ) ) ( .r ` R ) ( Y ` ( x oF - ( x oF - j ) ) ) ) = ( ( Y ` j ) ( .r ` R ) ( X ` ( x oF - j ) ) ) )
111	110	mpteq2dva 4744	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> ( j e. { g e. D | g oR <_ x } |-> ( ( X ` ( x oF - j ) ) ( .r ` R ) ( Y ` ( x oF - ( x oF - j ) ) ) ) ) = ( j e. { g e. D | g oR <_ x } |-> ( ( Y ` j ) ( .r ` R ) ( X ` ( x oF - j ) ) ) ) )
112	71, 111	eqtrd 2656	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> ( ( k e. { g e. D | g oR <_ x } |-> ( ( X ` k ) ( .r ` R ) ( Y ` ( x oF - k ) ) ) ) o. ( j e. { g e. D | g oR <_ x } |-> ( x oF - j ) ) ) = ( j e. { g e. D | g oR <_ x } |-> ( ( Y ` j ) ( .r ` R ) ( X ` ( x oF - j ) ) ) ) )
113	112	oveq2d 6666	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> ( R gsumg ( ( k e. { g e. D | g oR <_ x } |-> ( ( X ` k ) ( .r ` R ) ( Y ` ( x oF - k ) ) ) ) o. ( j e. { g e. D | g oR <_ x } |-> ( x oF - j ) ) ) ) = ( R gsumg ( j e. { g e. D | g oR <_ x } |-> ( ( Y ` j ) ( .r ` R ) ( X ` ( x oF - j ) ) ) ) ) )
114	59, 113	eqtrd 2656	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> ( R gsumg ( k e. { g e. D | g oR <_ x } |-> ( ( X ` k ) ( .r ` R ) ( Y ` ( x oF - k ) ) ) ) ) = ( R gsumg ( j e. { g e. D | g oR <_ x } |-> ( ( Y ` j ) ( .r ` R ) ( X ` ( x oF - j ) ) ) ) ) )
115	114	mpteq2dva 4744	. 2 |- ( ph -> ( x e. D |-> ( R gsumg ( k e. { g e. D | g oR <_ x } |-> ( ( X ` k ) ( .r ` R ) ( Y ` ( x oF - k ) ) ) ) ) ) = ( x e. D |-> ( R gsumg ( j e. { g e. D | g oR <_ x } |-> ( ( Y ` j ) ( .r ` R ) ( X ` ( x oF - j ) ) ) ) ) ) )
116		psrass.t	. . 3 |- .X. = ( .r ` S )
117	12, 13, 35, 116, 8, 14, 23	psrmulfval 19385	. 2 |- ( ph -> ( X .X. Y ) = ( x e. D |-> ( R gsumg ( k e. { g e. D | g oR <_ x } |-> ( ( X ` k ) ( .r ` R ) ( Y ` ( x oF - k ) ) ) ) ) ) )
118	12, 13, 35, 116, 8, 23, 14	psrmulfval 19385	. 2 |- ( ph -> ( Y .X. X ) = ( x e. D |-> ( R gsumg ( j e. { g e. D | g oR <_ x } |-> ( ( Y ` j ) ( .r ` R ) ( X ` ( x oF - j ) ) ) ) ) ) )
119	115, 117, 118	3eqtr4d 2666	1 |- ( ph -> ( X .X. Y ) = ( Y .X. X ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   {crab 2916   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   "cima 5117   o. ccom 5118   Fun wfun 5882   -->wf 5884   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   oFcof 6895   oRcofr 6896   supp csupp 7295   ^m cmap 7857   Fincfn 7955   finSupp cfsupp 8275   CCcc 9934   <_ cle 10075   - cmin 10266   NNcn 11020   NN0cn0 11292   Basecbs 15857   .rcmulr 15942   0gc0g 16100   gsum_g cgsu 16101  CMndccmn 18193   Ringcrg 18547   CRingccrg 18548   mPwSer cmps 19351

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-tset 15960  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-psr 19356

This theorem is referenced by:  psrcrng  19413