Theorem ptcmplem4 21859

Description: Lemma for ptcmp 21862. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ptcmp.1	|- S = ( k e. A , u e. ( F ` k ) |-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) )
ptcmp.2	|- X = X_ n e. A U. ( F ` n )
ptcmp.3	|- ( ph -> A e. V )
ptcmp.4	|- ( ph -> F : A --> Comp )
ptcmp.5	|- ( ph -> X e. (UFL i^i dom card ) )
ptcmplem2.5	|- ( ph -> U C_ ran S )
ptcmplem2.6	|- ( ph -> X = U. U )
ptcmplem2.7	|- ( ph -> -. E. z e. ( ~P U i^i Fin ) X = U. z )
ptcmplem3.8	|- K = { u e. ( F ` k ) | ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) e. U }

Assertion

Ref	Expression
ptcmplem4	|- -. ph

Distinct variable groups:   k, n, u, w, z, A   u, K   S, k, n, u, z   ph, k, n, u   U, k, u, z   k, V, n, u, w, z   k, F, n, u, w, z   k, X, n, u, w, z

Allowed substitution hints:   ph( z, w)   S( w)   U( w, n)   K( z, w, k, n)

Proof of Theorem ptcmplem4

Dummy variables f v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ptcmp.1	. . 3 |- S = ( k e. A , u e. ( F ` k ) |-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) )
2		ptcmp.2	. . 3 |- X = X_ n e. A U. ( F ` n )
3		ptcmp.3	. . 3 |- ( ph -> A e. V )
4		ptcmp.4	. . 3 |- ( ph -> F : A --> Comp )
5		ptcmp.5	. . 3 |- ( ph -> X e. (UFL i^i dom card ) )
6		ptcmplem2.5	. . 3 |- ( ph -> U C_ ran S )
7		ptcmplem2.6	. . 3 |- ( ph -> X = U. U )
8		ptcmplem2.7	. . 3 |- ( ph -> -. E. z e. ( ~P U i^i Fin ) X = U. z )
9		ptcmplem3.8	. . 3 |- K = { u e. ( F ` k ) | ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) e. U }
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	ptcmplem3 21858	. 2 |- ( ph -> E. f ( f Fn A /\ A. k e. A ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) )
11		simprl 794	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( f Fn A /\ A. k e. A ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) ) -> f Fn A )
12		eldifi 3732	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) -> ( f ` k ) e. U. ( F ` k ) )
13	12	ralimi 2952	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. k e. A ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) -> A. k e. A ( f ` k ) e. U. ( F ` k ) )
14		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = k -> ( f ` n ) = ( f ` k ) )
15		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = k -> ( F ` n ) = ( F ` k ) )
16	15	unieqd 4446	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = k -> U. ( F ` n ) = U. ( F ` k ) )
17	14, 16	eleq12d 2695	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = k -> ( ( f ` n ) e. U. ( F ` n ) <-> ( f ` k ) e. U. ( F ` k ) ) )
18	17	cbvralv 3171	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. n e. A ( f ` n ) e. U. ( F ` n ) <-> A. k e. A ( f ` k ) e. U. ( F ` k ) )
19	13, 18	sylibr 224	. . . . . . . . . 10 |- ( A. k e. A ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) -> A. n e. A ( f ` n ) e. U. ( F ` n ) )
20	19	ad2antll 765	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( f Fn A /\ A. k e. A ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) ) -> A. n e. A ( f ` n ) e. U. ( F ` n ) )
21		vex 3203	. . . . . . . . . 10 |- f e. _V
22	21	elixp 7915	. . . . . . . . 9 |- ( f e. X_ n e. A U. ( F ` n ) <-> ( f Fn A /\ A. n e. A ( f ` n ) e. U. ( F ` n ) ) )
23	11, 20, 22	sylanbrc 698	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( f Fn A /\ A. k e. A ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) ) -> f e. X_ n e. A U. ( F ` n ) )
24	23, 2	syl6eleqr 2712	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( f Fn A /\ A. k e. A ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) ) -> f e. X )
25	7	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( f Fn A /\ A. k e. A ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) ) -> X = U. U )
26	24, 25	eleqtrd 2703	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( f Fn A /\ A. k e. A ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) ) -> f e. U. U )
27		eluni2 4440	. . . . . 6 |- ( f e. U. U <-> E. v e. U f e. v )
28	26, 27	sylib 208	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f Fn A /\ A. k e. A ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) ) -> E. v e. U f e. v )
29		simplrr 801	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ f Fn A ) /\ ( v e. U /\ f e. v ) ) /\ ( k e. A /\ ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) ) -> f e. v )
30	29	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ f Fn A ) /\ ( v e. U /\ f e. v ) ) /\ ( k e. A /\ ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) ) /\ ( u e. ( F ` k ) /\ v = ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) -> f e. v )
31		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ f Fn A ) /\ ( v e. U /\ f e. v ) ) /\ ( k e. A /\ ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) ) /\ ( u e. ( F ` k ) /\ v = ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) -> v = ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) )
32	30, 31	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ f Fn A ) /\ ( v e. U /\ f e. v ) ) /\ ( k e. A /\ ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) ) /\ ( u e. ( F ` k ) /\ v = ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) -> f e. ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) )
33		fveq1 6190	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( w = f -> ( w ` k ) = ( f ` k ) )
34	33	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( w = f -> ( ( w ` k ) e. u <-> ( f ` k ) e. u ) )
35		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( w e. X |-> ( w ` k ) ) = ( w e. X |-> ( w ` k ) )
36	35	mptpreima 5628	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) = { w e. X | ( w ` k ) e. u }
37	34, 36	elrab2 3366	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f e. ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) <-> ( f e. X /\ ( f ` k ) e. u ) )
38	37	simprbi 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f e. ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) -> ( f ` k ) e. u )
39	32, 38	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ f Fn A ) /\ ( v e. U /\ f e. v ) ) /\ ( k e. A /\ ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) ) /\ ( u e. ( F ` k ) /\ v = ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) -> ( f ` k ) e. u )
40		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ f Fn A ) /\ ( v e. U /\ f e. v ) ) /\ ( k e. A /\ ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) ) /\ ( u e. ( F ` k ) /\ v = ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) -> u e. ( F ` k ) )
41		simplrl 800	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ f Fn A ) /\ ( v e. U /\ f e. v ) ) /\ ( k e. A /\ ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) ) -> v e. U )
42	41	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ f Fn A ) /\ ( v e. U /\ f e. v ) ) /\ ( k e. A /\ ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) ) /\ ( u e. ( F ` k ) /\ v = ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) -> v e. U )
43	31, 42	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ f Fn A ) /\ ( v e. U /\ f e. v ) ) /\ ( k e. A /\ ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) ) /\ ( u e. ( F ` k ) /\ v = ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) -> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) e. U )
44		rabid 3116	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( u e. { u e. ( F ` k ) | ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) e. U } <-> ( u e. ( F ` k ) /\ ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) e. U ) )
45	40, 43, 44	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ f Fn A ) /\ ( v e. U /\ f e. v ) ) /\ ( k e. A /\ ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) ) /\ ( u e. ( F ` k ) /\ v = ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) -> u e. { u e. ( F ` k ) | ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) e. U } )
46	45, 9	syl6eleqr 2712	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ f Fn A ) /\ ( v e. U /\ f e. v ) ) /\ ( k e. A /\ ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) ) /\ ( u e. ( F ` k ) /\ v = ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) -> u e. K )
47		elunii 4441	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( f ` k ) e. u /\ u e. K ) -> ( f ` k ) e. U. K )
48	39, 46, 47	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ f Fn A ) /\ ( v e. U /\ f e. v ) ) /\ ( k e. A /\ ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) ) /\ ( u e. ( F ` k ) /\ v = ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) -> ( f ` k ) e. U. K )
49	48	rexlimdvaa 3032	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ f Fn A ) /\ ( v e. U /\ f e. v ) ) /\ ( k e. A /\ ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) ) -> ( E. u e. ( F ` k ) v = ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) -> ( f ` k ) e. U. K ) )
50	49	expr 643	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ f Fn A ) /\ ( v e. U /\ f e. v ) ) /\ k e. A ) -> ( ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) -> ( E. u e. ( F ` k ) v = ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) -> ( f ` k ) e. U. K ) ) )
51	50	ralimdva 2962	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ f Fn A ) /\ ( v e. U /\ f e. v ) ) -> ( A. k e. A ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) -> A. k e. A ( E. u e. ( F ` k ) v = ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) -> ( f ` k ) e. U. K ) ) )
52	51	ex 450	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ f Fn A ) -> ( ( v e. U /\ f e. v ) -> ( A. k e. A ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) -> A. k e. A ( E. u e. ( F ` k ) v = ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) -> ( f ` k ) e. U. K ) ) ) )
53	52	com23 86	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ f Fn A ) -> ( A. k e. A ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) -> ( ( v e. U /\ f e. v ) -> A. k e. A ( E. u e. ( F ` k ) v = ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) -> ( f ` k ) e. U. K ) ) ) )
54	53	impr 649	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( f Fn A /\ A. k e. A ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) ) -> ( ( v e. U /\ f e. v ) -> A. k e. A ( E. u e. ( F ` k ) v = ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) -> ( f ` k ) e. U. K ) ) )
55	54	imp 445	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( f Fn A /\ A. k e. A ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) ) /\ ( v e. U /\ f e. v ) ) -> A. k e. A ( E. u e. ( F ` k ) v = ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) -> ( f ` k ) e. U. K ) )
56	6	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( f Fn A /\ A. k e. A ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) ) -> U C_ ran S )
57	56	sselda 3603	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( f Fn A /\ A. k e. A ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) ) /\ v e. U ) -> v e. ran S )
58	57	adantrr 753	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( f Fn A /\ A. k e. A ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) ) /\ ( v e. U /\ f e. v ) ) -> v e. ran S )
59	1	rnmpt2 6770	. . . . . . . 8 |- ran S = { v | E. k e. A E. u e. ( F ` k ) v = ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) }
60	58, 59	syl6eleq 2711	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( f Fn A /\ A. k e. A ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) ) /\ ( v e. U /\ f e. v ) ) -> v e. { v | E. k e. A E. u e. ( F ` k ) v = ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) } )
61		abid 2610	. . . . . . 7 |- ( v e. { v | E. k e. A E. u e. ( F ` k ) v = ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) } <-> E. k e. A E. u e. ( F ` k ) v = ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) )
62	60, 61	sylib 208	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( f Fn A /\ A. k e. A ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) ) /\ ( v e. U /\ f e. v ) ) -> E. k e. A E. u e. ( F ` k ) v = ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) )
63		rexim 3008	. . . . . 6 |- ( A. k e. A ( E. u e. ( F ` k ) v = ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) -> ( f ` k ) e. U. K ) -> ( E. k e. A E. u e. ( F ` k ) v = ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) -> E. k e. A ( f ` k ) e. U. K ) )
64	55, 62, 63	sylc 65	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( f Fn A /\ A. k e. A ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) ) /\ ( v e. U /\ f e. v ) ) -> E. k e. A ( f ` k ) e. U. K )
65	28, 64	rexlimddv 3035	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( f Fn A /\ A. k e. A ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) ) -> E. k e. A ( f ` k ) e. U. K )
66		eldifn 3733	. . . . . . 7 |- ( ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) -> -. ( f ` k ) e. U. K )
67	66	ralimi 2952	. . . . . 6 |- ( A. k e. A ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) -> A. k e. A -. ( f ` k ) e. U. K )
68	67	ad2antll 765	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f Fn A /\ A. k e. A ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) ) -> A. k e. A -. ( f ` k ) e. U. K )
69		ralnex 2992	. . . . 5 |- ( A. k e. A -. ( f ` k ) e. U. K <-> -. E. k e. A ( f ` k ) e. U. K )
70	68, 69	sylib 208	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( f Fn A /\ A. k e. A ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) ) -> -. E. k e. A ( f ` k ) e. U. K )
71	65, 70	pm2.65da 600	. . 3 |- ( ph -> -. ( f Fn A /\ A. k e. A ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) )
72	71	nexdv 1864	. 2 |- ( ph -> -. E. f ( f Fn A /\ A. k e. A ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) )
73	10, 72	pm2.65i 185	1 |- -. ph

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   {cab 2608   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   \ cdif 3571   i^i cin 3573   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   U.cuni 4436   |-> cmpt 4729   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   ran crn 5115   "cima 5117   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888   |-> cmpt2 6652   X_cixp 7908   Fincfn 7955   cardccrd 8761   Compccmp 21189  UFLcufl 21704

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-fin 7959  df-wdom 8464  df-card 8765  df-acn 8768  df-cmp 21190

This theorem is referenced by:  ptcmplem5  21860