Theorem pwsdiagmhm 17369

Description: Diagonal monoid homomorphism into a structure power. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pwsdiagmhm.y	|- Y = ( R ^s I )
pwsdiagmhm.b	|- B = ( Base ` R )
pwsdiagmhm.f	|- F = ( x e. B |-> ( I X. { x } ) )

Assertion

Ref	Expression
pwsdiagmhm	|- ( ( R e. Mnd /\ I e. W ) -> F e. ( R MndHom Y ) )

Distinct variable groups:   x, Y   x, R   x, I   x, B   x, W

Allowed substitution hint:   F( x)

Proof of Theorem pwsdiagmhm

Dummy variables a b are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 473	. . 3 |- ( ( R e. Mnd /\ I e. W ) -> R e. Mnd )
2		pwsdiagmhm.y	. . . 4 |- Y = ( R ^s I )
3	2	pwsmnd 17325	. . 3 |- ( ( R e. Mnd /\ I e. W ) -> Y e. Mnd )
4	1, 3	jca 554	. 2 |- ( ( R e. Mnd /\ I e. W ) -> ( R e. Mnd /\ Y e. Mnd ) )
5		pwsdiagmhm.b	. . . . . . 7 |- B = ( Base ` R )
6		fvex 6201	. . . . . . 7 |- ( Base ` R ) e. _V
7	5, 6	eqeltri 2697	. . . . . 6 |- B e. _V
8		pwsdiagmhm.f	. . . . . . 7 |- F = ( x e. B |-> ( I X. { x } ) )
9	8	fdiagfn 7901	. . . . . 6 |- ( ( B e. _V /\ I e. W ) -> F : B --> ( B ^m I ) )
10	7, 9	mpan 706	. . . . 5 |- ( I e. W -> F : B --> ( B ^m I ) )
11	10	adantl 482	. . . 4 |- ( ( R e. Mnd /\ I e. W ) -> F : B --> ( B ^m I ) )
12	2, 5	pwsbas 16147	. . . . 5 |- ( ( R e. Mnd /\ I e. W ) -> ( B ^m I ) = ( Base ` Y ) )
13	12	feq3d 6032	. . . 4 |- ( ( R e. Mnd /\ I e. W ) -> ( F : B --> ( B ^m I ) <-> F : B --> ( Base ` Y ) ) )
14	11, 13	mpbid 222	. . 3 |- ( ( R e. Mnd /\ I e. W ) -> F : B --> ( Base ` Y ) )
15		simplr 792	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Mnd /\ I e. W ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> I e. W )
16		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( +g ` R ) = ( +g ` R )
17	5, 16	mndcl 17301	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Mnd /\ a e. B /\ b e. B ) -> ( a ( +g ` R ) b ) e. B )
18	17	3expb 1266	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Mnd /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> ( a ( +g ` R ) b ) e. B )
19	18	adantlr 751	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Mnd /\ I e. W ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> ( a ( +g ` R ) b ) e. B )
20	8	fvdiagfn 7902	. . . . . 6 |- ( ( I e. W /\ ( a ( +g ` R ) b ) e. B ) -> ( F ` ( a ( +g ` R ) b ) ) = ( I X. { ( a ( +g ` R ) b ) } ) )
21	15, 19, 20	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ( R e. Mnd /\ I e. W ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> ( F ` ( a ( +g ` R ) b ) ) = ( I X. { ( a ( +g ` R ) b ) } ) )
22	8	fvdiagfn 7902	. . . . . . . . 9 |- ( ( I e. W /\ a e. B ) -> ( F ` a ) = ( I X. { a } ) )
23	8	fvdiagfn 7902	. . . . . . . . 9 |- ( ( I e. W /\ b e. B ) -> ( F ` b ) = ( I X. { b } ) )
24	22, 23	oveqan12d 6669	. . . . . . . 8 |- ( ( ( I e. W /\ a e. B ) /\ ( I e. W /\ b e. B ) ) -> ( ( F ` a ) ( +g ` Y ) ( F ` b ) ) = ( ( I X. { a } ) ( +g ` Y ) ( I X. { b } ) ) )
25	24	anandis 873	. . . . . . 7 |- ( ( I e. W /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> ( ( F ` a ) ( +g ` Y ) ( F ` b ) ) = ( ( I X. { a } ) ( +g ` Y ) ( I X. { b } ) ) )
26	25	adantll 750	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Mnd /\ I e. W ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> ( ( F ` a ) ( +g ` Y ) ( F ` b ) ) = ( ( I X. { a } ) ( +g ` Y ) ( I X. { b } ) ) )
27		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( Base ` Y ) = ( Base ` Y )
28		simpll 790	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. Mnd /\ I e. W ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> R e. Mnd )
29	2, 5, 27	pwsdiagel 16157	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. Mnd /\ I e. W ) /\ a e. B ) -> ( I X. { a } ) e. ( Base ` Y ) )
30	29	adantrr 753	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. Mnd /\ I e. W ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> ( I X. { a } ) e. ( Base ` Y ) )
31	2, 5, 27	pwsdiagel 16157	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. Mnd /\ I e. W ) /\ b e. B ) -> ( I X. { b } ) e. ( Base ` Y ) )
32	31	adantrl 752	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. Mnd /\ I e. W ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> ( I X. { b } ) e. ( Base ` Y ) )
33		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( +g ` Y ) = ( +g ` Y )
34	2, 27, 28, 15, 30, 32, 16, 33	pwsplusgval 16150	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Mnd /\ I e. W ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> ( ( I X. { a } ) ( +g ` Y ) ( I X. { b } ) ) = ( ( I X. { a } ) oF ( +g ` R ) ( I X. { b } ) ) )
35		id 22	. . . . . . . 8 |- ( I e. W -> I e. W )
36		vex 3203	. . . . . . . . 9 |- a e. _V
37	36	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( I e. W -> a e. _V )
38		vex 3203	. . . . . . . . 9 |- b e. _V
39	38	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( I e. W -> b e. _V )
40	35, 37, 39	ofc12 6922	. . . . . . 7 |- ( I e. W -> ( ( I X. { a } ) oF ( +g ` R ) ( I X. { b } ) ) = ( I X. { ( a ( +g ` R ) b ) } ) )
41	40	ad2antlr 763	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Mnd /\ I e. W ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> ( ( I X. { a } ) oF ( +g ` R ) ( I X. { b } ) ) = ( I X. { ( a ( +g ` R ) b ) } ) )
42	26, 34, 41	3eqtrd 2660	. . . . 5 |- ( ( ( R e. Mnd /\ I e. W ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> ( ( F ` a ) ( +g ` Y ) ( F ` b ) ) = ( I X. { ( a ( +g ` R ) b ) } ) )
43	21, 42	eqtr4d 2659	. . . 4 |- ( ( ( R e. Mnd /\ I e. W ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> ( F ` ( a ( +g ` R ) b ) ) = ( ( F ` a ) ( +g ` Y ) ( F ` b ) ) )
44	43	ralrimivva 2971	. . 3 |- ( ( R e. Mnd /\ I e. W ) -> A. a e. B A. b e. B ( F ` ( a ( +g ` R ) b ) ) = ( ( F ` a ) ( +g ` Y ) ( F ` b ) ) )
45		simpr 477	. . . . 5 |- ( ( R e. Mnd /\ I e. W ) -> I e. W )
46		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
47	5, 46	mndidcl 17308	. . . . . 6 |- ( R e. Mnd -> ( 0g ` R ) e. B )
48	47	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( R e. Mnd /\ I e. W ) -> ( 0g ` R ) e. B )
49	8	fvdiagfn 7902	. . . . 5 |- ( ( I e. W /\ ( 0g ` R ) e. B ) -> ( F ` ( 0g ` R ) ) = ( I X. { ( 0g ` R ) } ) )
50	45, 48, 49	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( R e. Mnd /\ I e. W ) -> ( F ` ( 0g ` R ) ) = ( I X. { ( 0g ` R ) } ) )
51	2, 46	pws0g 17326	. . . 4 |- ( ( R e. Mnd /\ I e. W ) -> ( I X. { ( 0g ` R ) } ) = ( 0g ` Y ) )
52	50, 51	eqtrd 2656	. . 3 |- ( ( R e. Mnd /\ I e. W ) -> ( F ` ( 0g ` R ) ) = ( 0g ` Y ) )
53	14, 44, 52	3jca 1242	. 2 |- ( ( R e. Mnd /\ I e. W ) -> ( F : B --> ( Base ` Y ) /\ A. a e. B A. b e. B ( F ` ( a ( +g ` R ) b ) ) = ( ( F ` a ) ( +g ` Y ) ( F ` b ) ) /\ ( F ` ( 0g ` R ) ) = ( 0g ` Y ) ) )
54		eqid 2622	. . 3 |- ( 0g ` Y ) = ( 0g ` Y )
55	5, 27, 16, 33, 46, 54	ismhm 17337	. 2 |- ( F e. ( R MndHom Y ) <-> ( ( R e. Mnd /\ Y e. Mnd ) /\ ( F : B --> ( Base ` Y ) /\ A. a e. B A. b e. B ( F ` ( a ( +g ` R ) b ) ) = ( ( F ` a ) ( +g ` Y ) ( F ` b ) ) /\ ( F ` ( 0g ` R ) ) = ( 0g ` Y ) ) ) )
56	4, 53, 55	sylanbrc 698	1 |- ( ( R e. Mnd /\ I e. W ) -> F e. ( R MndHom Y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   {csn 4177   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   oFcof 6895   ^m cmap 7857   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   0gc0g 16100   ^_s cpws 16107   Mndcmnd 17294   MndHom cmhm 17333

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-hom 15966  df-cco 15967  df-0g 16102  df-prds 16108  df-pws 16110  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335

This theorem is referenced by:  pwsdiagghm  17688  pwsdiagrhm  18813