Theorem pwsplusgval 16150

Description: Value of addition in a structure power. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pwsplusgval.y	|- Y = ( R ^s I )
pwsplusgval.b	|- B = ( Base ` Y )
pwsplusgval.r	|- ( ph -> R e. V )
pwsplusgval.i	|- ( ph -> I e. W )
pwsplusgval.f	|- ( ph -> F e. B )
pwsplusgval.g	|- ( ph -> G e. B )
pwsplusgval.a	|- .+ = ( +g ` R )
pwsplusgval.p	|- .+b = ( +g ` Y )

Assertion

Ref	Expression
pwsplusgval	|- ( ph -> ( F .+b G ) = ( F oF .+ G ) )

Proof of Theorem pwsplusgval

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2622	. . . 4 |- ( (Scalar ` R ) X_s ( I X. { R } ) ) = ( (Scalar ` R ) X_s ( I X. { R } ) )
2		eqid 2622	. . . 4 |- ( Base ` ( (Scalar ` R ) X_s ( I X. { R } ) ) ) = ( Base ` ( (Scalar ` R ) X_s ( I X. { R } ) ) )
3		fvexd 6203	. . . 4 |- ( ph -> (Scalar ` R ) e. _V )
4		pwsplusgval.i	. . . 4 |- ( ph -> I e. W )
5		pwsplusgval.r	. . . . 5 |- ( ph -> R e. V )
6		fnconstg 6093	. . . . 5 |- ( R e. V -> ( I X. { R } ) Fn I )
7	5, 6	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> ( I X. { R } ) Fn I )
8		pwsplusgval.f	. . . . 5 |- ( ph -> F e. B )
9		pwsplusgval.b	. . . . . 6 |- B = ( Base ` Y )
10		pwsplusgval.y	. . . . . . . . 9 |- Y = ( R ^s I )
11		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- (Scalar ` R ) = (Scalar ` R )
12	10, 11	pwsval 16146	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. V /\ I e. W ) -> Y = ( (Scalar ` R ) X_s ( I X. { R } ) ) )
13	5, 4, 12	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ph -> Y = ( (Scalar ` R ) X_s ( I X. { R } ) ) )
14	13	fveq2d 6195	. . . . . 6 |- ( ph -> ( Base ` Y ) = ( Base ` ( (Scalar ` R ) X_s ( I X. { R } ) ) ) )
15	9, 14	syl5eq 2668	. . . . 5 |- ( ph -> B = ( Base ` ( (Scalar ` R ) X_s ( I X. { R } ) ) ) )
16	8, 15	eleqtrd 2703	. . . 4 |- ( ph -> F e. ( Base ` ( (Scalar ` R ) X_s ( I X. { R } ) ) ) )
17		pwsplusgval.g	. . . . 5 |- ( ph -> G e. B )
18	17, 15	eleqtrd 2703	. . . 4 |- ( ph -> G e. ( Base ` ( (Scalar ` R ) X_s ( I X. { R } ) ) ) )
19		eqid 2622	. . . 4 |- ( +g ` ( (Scalar ` R ) X_s ( I X. { R } ) ) ) = ( +g ` ( (Scalar ` R ) X_s ( I X. { R } ) ) )
20	1, 2, 3, 4, 7, 16, 18, 19	prdsplusgval 16133	. . 3 |- ( ph -> ( F ( +g ` ( (Scalar ` R ) X_s ( I X. { R } ) ) ) G ) = ( x e. I |-> ( ( F ` x ) ( +g ` ( ( I X. { R } ) ` x ) ) ( G ` x ) ) ) )
21		fvconst2g 6467	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. V /\ x e. I ) -> ( ( I X. { R } ) ` x ) = R )
22	5, 21	sylan 488	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> ( ( I X. { R } ) ` x ) = R )
23	22	fveq2d 6195	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> ( +g ` ( ( I X. { R } ) ` x ) ) = ( +g ` R ) )
24		pwsplusgval.a	. . . . . 6 |- .+ = ( +g ` R )
25	23, 24	syl6eqr 2674	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> ( +g ` ( ( I X. { R } ) ` x ) ) = .+ )
26	25	oveqd 6667	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> ( ( F ` x ) ( +g ` ( ( I X. { R } ) ` x ) ) ( G ` x ) ) = ( ( F ` x ) .+ ( G ` x ) ) )
27	26	mpteq2dva 4744	. . 3 |- ( ph -> ( x e. I |-> ( ( F ` x ) ( +g ` ( ( I X. { R } ) ` x ) ) ( G ` x ) ) ) = ( x e. I |-> ( ( F ` x ) .+ ( G ` x ) ) ) )
28	20, 27	eqtrd 2656	. 2 |- ( ph -> ( F ( +g ` ( (Scalar ` R ) X_s ( I X. { R } ) ) ) G ) = ( x e. I |-> ( ( F ` x ) .+ ( G ` x ) ) ) )
29		pwsplusgval.p	. . . 4 |- .+b = ( +g ` Y )
30	13	fveq2d 6195	. . . 4 |- ( ph -> ( +g ` Y ) = ( +g ` ( (Scalar ` R ) X_s ( I X. { R } ) ) ) )
31	29, 30	syl5eq 2668	. . 3 |- ( ph -> .+b = ( +g ` ( (Scalar ` R ) X_s ( I X. { R } ) ) ) )
32	31	oveqd 6667	. 2 |- ( ph -> ( F .+b G ) = ( F ( +g ` ( (Scalar ` R ) X_s ( I X. { R } ) ) ) G ) )
33		fvexd 6203	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> ( F ` x ) e. _V )
34		fvexd 6203	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> ( G ` x ) e. _V )
35		eqid 2622	. . . . 5 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
36	10, 35, 9, 5, 4, 8	pwselbas 16149	. . . 4 |- ( ph -> F : I --> ( Base ` R ) )
37	36	feqmptd 6249	. . 3 |- ( ph -> F = ( x e. I |-> ( F ` x ) ) )
38	10, 35, 9, 5, 4, 17	pwselbas 16149	. . . 4 |- ( ph -> G : I --> ( Base ` R ) )
39	38	feqmptd 6249	. . 3 |- ( ph -> G = ( x e. I |-> ( G ` x ) ) )
40	4, 33, 34, 37, 39	offval2 6914	. 2 |- ( ph -> ( F oF .+ G ) = ( x e. I |-> ( ( F ` x ) .+ ( G ` x ) ) ) )
41	28, 32, 40	3eqtr4d 2666	1 |- ( ph -> ( F .+b G ) = ( F oF .+ G ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   {csn 4177   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   Fn wfn 5883   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   oFcof 6895   Basecbs 15857   +g cplusg 15941  Scalarcsca 15944   X__scprds 16106   ^_s cpws 16107

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-hom 15966  df-cco 15967  df-prds 16108  df-pws 16110

This theorem is referenced by:  pwsdiagmhm  17369  pwsco1mhm  17370  pwsco2mhm  17371  pwssub  17529  pwssplit2  19060  mpfaddcl  19534  mpfind  19536  evl1addd  19705  pf1addcl  19717  frlmplusgval  20107  ply1rem  23923