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Theorem pwsco1mhm 17370
Description: Right composition with a function on the index sets yields a monoid homomorphism of structure powers. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwsco1mhm.y |- Y = ( R ^s A )
pwsco1mhm.z |- Z = ( R ^s B )
pwsco1mhm.c |- C = ( Base ` Z )
pwsco1mhm.r |- ( ph -> R e. Mnd )
pwsco1mhm.a |- ( ph -> A e. V )
pwsco1mhm.b |- ( ph -> B e. W )
pwsco1mhm.f |- ( ph -> F : A --> B )
Assertion
Ref Expression
pwsco1mhm |- ( ph -> ( g e. C |-> ( g o. F ) ) e. ( Z MndHom Y ) )
Distinct variable groups:   C, g   g, Y   g, Z   g, F   ph, g
Allowed substitution hints:   A( g)   B( g)   R( g)   V( g)   W( g)
Proof of Theorem pwsco1mhm
Dummy variables x z w y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pwsco1mhm.r . . . 4 |- ( ph -> R e. Mnd )
2 pwsco1mhm.b . . . 4 |- ( ph -> B e. W )
3 pwsco1mhm.z . . . . 5 |- Z = ( R ^s B )
43pwsmnd 17325 . . . 4 |- ( ( R e. Mnd /\ B e. W ) -> Z e. Mnd )
51, 2, 4syl2anc 693 . . 3 |- ( ph -> Z e. Mnd )
6 pwsco1mhm.a . . . 4 |- ( ph -> A e. V )
7 pwsco1mhm.y . . . . 5 |- Y = ( R ^s A )
87pwsmnd 17325 . . . 4 |- ( ( R e. Mnd /\ A e. V ) -> Y e. Mnd )
91, 6, 8syl2anc 693 . . 3 |- ( ph -> Y e. Mnd )
105, 9jca 554 . 2 |- ( ph -> ( Z e. Mnd /\ Y e. Mnd ) )
11 eqid 2622 . . . . . . . . 9 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
12 pwsco1mhm.c . . . . . . . . 9 |- C = ( Base ` Z )
133, 11, 12pwselbasb 16148 . . . . . . . 8 |- ( ( R e. Mnd /\ B e. W ) -> ( g e. C <-> g : B --> ( Base ` R ) ) )
141, 2, 13syl2anc 693 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( g e. C <-> g : B --> ( Base ` R ) ) )
1514biimpa 501 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ g e. C ) -> g : B --> ( Base ` R ) )
16 pwsco1mhm.f . . . . . . 7 |- ( ph -> F : A --> B )
1716adantr 481 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ g e. C ) -> F : A --> B )
18 fco 6058 . . . . . 6 |- ( ( g : B --> ( Base ` R ) /\ F : A --> B ) -> ( g o. F ) : A --> ( Base ` R ) )
1915, 17, 18syl2anc 693 . . . . 5 |- ( ( ph /\ g e. C ) -> ( g o. F ) : A --> ( Base ` R ) )
20 eqid 2622 . . . . . . . 8 |- ( Base ` Y ) = ( Base ` Y )
217, 11, 20pwselbasb 16148 . . . . . . 7 |- ( ( R e. Mnd /\ A e. V ) -> ( ( g o. F ) e. ( Base ` Y ) <-> ( g o. F ) : A --> ( Base ` R ) ) )
221, 6, 21syl2anc 693 . . . . . 6 |- ( ph -> ( ( g o. F ) e. ( Base ` Y ) <-> ( g o. F ) : A --> ( Base ` R ) ) )
2322adantr 481 . . . . 5 |- ( ( ph /\ g e. C ) -> ( ( g o. F ) e. ( Base ` Y ) <-> ( g o. F ) : A --> ( Base ` R ) ) )
2419, 23mpbird 247 . . . 4 |- ( ( ph /\ g e. C ) -> ( g o. F ) e. ( Base ` Y ) )
25 eqid 2622 . . . 4 |- ( g e. C |-> ( g o. F ) ) = ( g e. C |-> ( g o. F ) )
2624, 25fmptd 6385 . . 3 |- ( ph -> ( g e. C |-> ( g o. F ) ) : C --> ( Base ` Y ) )
276adantr 481 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> A e. V )
28 fvexd 6203 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) /\ z e. A ) -> ( x ` ( F ` z ) ) e. _V )
29 fvexd 6203 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) /\ z e. A ) -> ( y ` ( F ` z ) ) e. _V )
3016adantr 481 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> F : A --> B )
3130ffvelrnda 6359 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) /\ z e. A ) -> ( F ` z ) e. B )
3230feqmptd 6249 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> F = ( z e. A |-> ( F ` z ) ) )
331adantr 481 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> R e. Mnd )
342adantr 481 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> B e. W )
35 simprl 794 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> x e. C )
363, 11, 12, 33, 34, 35pwselbas 16149 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> x : B --> ( Base ` R ) )
3736feqmptd 6249 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> x = ( w e. B |-> ( x ` w ) ) )
38 fveq2 6191 . . . . . . . 8 |- ( w = ( F ` z ) -> ( x ` w ) = ( x ` ( F ` z ) ) )
3931, 32, 37, 38fmptco 6396 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> ( x o. F ) = ( z e. A |-> ( x ` ( F ` z ) ) ) )
40 simprr 796 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> y e. C )
413, 11, 12, 33, 34, 40pwselbas 16149 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> y : B --> ( Base ` R ) )
4241feqmptd 6249 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> y = ( w e. B |-> ( y ` w ) ) )
43 fveq2 6191 . . . . . . . 8 |- ( w = ( F ` z ) -> ( y ` w ) = ( y ` ( F ` z ) ) )
4431, 32, 42, 43fmptco 6396 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> ( y o. F ) = ( z e. A |-> ( y ` ( F ` z ) ) ) )
4527, 28, 29, 39, 44offval2 6914 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> ( ( x o. F ) oF ( +g ` R ) ( y o. F ) ) = ( z e. A |-> ( ( x ` ( F ` z ) ) ( +g ` R ) ( y ` ( F ` z ) ) ) ) )
46 fco 6058 . . . . . . . . 9 |- ( ( x : B --> ( Base ` R ) /\ F : A --> B ) -> ( x o. F ) : A --> ( Base ` R ) )
4736, 30, 46syl2anc 693 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> ( x o. F ) : A --> ( Base ` R ) )
487, 11, 20pwselbasb 16148 . . . . . . . . 9 |- ( ( R e. Mnd /\ A e. V ) -> ( ( x o. F ) e. ( Base ` Y ) <-> ( x o. F ) : A --> ( Base ` R ) ) )
4933, 27, 48syl2anc 693 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> ( ( x o. F ) e. ( Base ` Y ) <-> ( x o. F ) : A --> ( Base ` R ) ) )
5047, 49mpbird 247 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> ( x o. F ) e. ( Base ` Y ) )
51 fco 6058 . . . . . . . . 9 |- ( ( y : B --> ( Base ` R ) /\ F : A --> B ) -> ( y o. F ) : A --> ( Base ` R ) )
5241, 30, 51syl2anc 693 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> ( y o. F ) : A --> ( Base ` R ) )
537, 11, 20pwselbasb 16148 . . . . . . . . 9 |- ( ( R e. Mnd /\ A e. V ) -> ( ( y o. F ) e. ( Base ` Y ) <-> ( y o. F ) : A --> ( Base ` R ) ) )
5433, 27, 53syl2anc 693 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> ( ( y o. F ) e. ( Base ` Y ) <-> ( y o. F ) : A --> ( Base ` R ) ) )
5552, 54mpbird 247 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> ( y o. F ) e. ( Base ` Y ) )
56 eqid 2622 . . . . . . 7 |- ( +g ` R ) = ( +g ` R )
57 eqid 2622 . . . . . . 7 |- ( +g ` Y ) = ( +g ` Y )
587, 20, 33, 27, 50, 55, 56, 57pwsplusgval 16150 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> ( ( x o. F ) ( +g ` Y ) ( y o. F ) ) = ( ( x o. F ) oF ( +g ` R ) ( y o. F ) ) )
59 eqid 2622 . . . . . . . . 9 |- ( +g ` Z ) = ( +g ` Z )
603, 12, 33, 34, 35, 40, 56, 59pwsplusgval 16150 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> ( x ( +g ` Z ) y ) = ( x oF ( +g ` R ) y ) )
61 fvexd 6203 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) /\ w e. B ) -> ( x ` w ) e. _V )
62 fvexd 6203 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) /\ w e. B ) -> ( y ` w ) e. _V )
6334, 61, 62, 37, 42offval2 6914 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> ( x oF ( +g ` R ) y ) = ( w e. B |-> ( ( x ` w ) ( +g ` R ) ( y ` w ) ) ) )
6460, 63eqtrd 2656 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> ( x ( +g ` Z ) y ) = ( w e. B |-> ( ( x ` w ) ( +g ` R ) ( y ` w ) ) ) )
6538, 43oveq12d 6668 . . . . . . 7 |- ( w = ( F ` z ) -> ( ( x ` w ) ( +g ` R ) ( y ` w ) ) = ( ( x ` ( F ` z ) ) ( +g ` R ) ( y ` ( F ` z ) ) ) )
6631, 32, 64, 65fmptco 6396 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> ( ( x ( +g ` Z ) y ) o. F ) = ( z e. A |-> ( ( x ` ( F ` z ) ) ( +g ` R ) ( y ` ( F ` z ) ) ) ) )
6745, 58, 663eqtr4rd 2667 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> ( ( x ( +g ` Z ) y ) o. F ) = ( ( x o. F ) ( +g ` Y ) ( y o. F ) ) )
6812, 59mndcl 17301 . . . . . . . 8 |- ( ( Z e. Mnd /\ x e. C /\ y e. C ) -> ( x ( +g ` Z ) y ) e. C )
69683expb 1266 . . . . . . 7 |- ( ( Z e. Mnd /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> ( x ( +g ` Z ) y ) e. C )
705, 69sylan 488 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> ( x ( +g ` Z ) y ) e. C )
71 ovex 6678 . . . . . . 7 |- ( x ( +g ` Z ) y ) e. _V
72 fex 6490 . . . . . . . . 9 |- ( ( F : A --> B /\ A e. V ) -> F e. _V )
7316, 6, 72syl2anc 693 . . . . . . . 8 |- ( ph -> F e. _V )
7473adantr 481 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> F e. _V )
75 coexg 7117 . . . . . . 7 |- ( ( ( x ( +g ` Z ) y ) e. _V /\ F e. _V ) -> ( ( x ( +g ` Z ) y ) o. F ) e. _V )
7671, 74, 75sylancr 695 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> ( ( x ( +g ` Z ) y ) o. F ) e. _V )
77 coeq1 5279 . . . . . . 7 |- ( g = ( x ( +g ` Z ) y ) -> ( g o. F ) = ( ( x ( +g ` Z ) y ) o. F ) )
7877, 25fvmptg 6280 . . . . . 6 |- ( ( ( x ( +g ` Z ) y ) e. C /\ ( ( x ( +g ` Z ) y ) o. F ) e. _V ) -> ( ( g e. C |-> ( g o. F ) ) ` ( x ( +g ` Z ) y ) ) = ( ( x ( +g ` Z ) y ) o. F ) )
7970, 76, 78syl2anc 693 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> ( ( g e. C |-> ( g o. F ) ) ` ( x ( +g ` Z ) y ) ) = ( ( x ( +g ` Z ) y ) o. F ) )
80 coexg 7117 . . . . . . . 8 |- ( ( x e. C /\ F e. _V ) -> ( x o. F ) e. _V )
8135, 74, 80syl2anc 693 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> ( x o. F ) e. _V )
82 coeq1 5279 . . . . . . . 8 |- ( g = x -> ( g o. F ) = ( x o. F ) )
8382, 25fvmptg 6280 . . . . . . 7 |- ( ( x e. C /\ ( x o. F ) e. _V ) -> ( ( g e. C |-> ( g o. F ) ) ` x ) = ( x o. F ) )
8435, 81, 83syl2anc 693 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> ( ( g e. C |-> ( g o. F ) ) ` x ) = ( x o. F ) )
85 coexg 7117 . . . . . . . 8 |- ( ( y e. C /\ F e. _V ) -> ( y o. F ) e. _V )
8640, 74, 85syl2anc 693 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> ( y o. F ) e. _V )
87 coeq1 5279 . . . . . . . 8 |- ( g = y -> ( g o. F ) = ( y o. F ) )
8887, 25fvmptg 6280 . . . . . . 7 |- ( ( y e. C /\ ( y o. F ) e. _V ) -> ( ( g e. C |-> ( g o. F ) ) ` y ) = ( y o. F ) )
8940, 86, 88syl2anc 693 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> ( ( g e. C |-> ( g o. F ) ) ` y ) = ( y o. F ) )
9084, 89oveq12d 6668 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> ( ( ( g e. C |-> ( g o. F ) ) ` x ) ( +g ` Y ) ( ( g e. C |-> ( g o. F ) ) ` y ) ) = ( ( x o. F ) ( +g ` Y ) ( y o. F ) ) )
9167, 79, 903eqtr4d 2666 . . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> ( ( g e. C |-> ( g o. F ) ) ` ( x ( +g ` Z ) y ) ) = ( ( ( g e. C |-> ( g o. F ) ) ` x ) ( +g ` Y ) ( ( g e. C |-> ( g o. F ) ) ` y ) ) )
9291ralrimivva 2971 . . 3 |- ( ph -> A. x e. C A. y e. C ( ( g e. C |-> ( g o. F ) ) ` ( x ( +g ` Z ) y ) ) = ( ( ( g e. C |-> ( g o. F ) ) ` x ) ( +g ` Y ) ( ( g e. C |-> ( g o. F ) ) ` y ) ) )
93 eqid 2622 . . . . . . 7 |- ( 0g ` Z ) = ( 0g ` Z )
9412, 93mndidcl 17308 . . . . . 6 |- ( Z e. Mnd -> ( 0g ` Z ) e. C )
955, 94syl 17 . . . . 5 |- ( ph -> ( 0g ` Z ) e. C )
96 coexg 7117 . . . . . 6 |- ( ( ( 0g ` Z ) e. C /\ F e. _V ) -> ( ( 0g ` Z ) o. F ) e. _V )
9795, 73, 96syl2anc 693 . . . . 5 |- ( ph -> ( ( 0g ` Z ) o. F ) e. _V )
98 coeq1 5279 . . . . . 6 |- ( g = ( 0g ` Z ) -> ( g o. F ) = ( ( 0g ` Z ) o. F ) )
9998, 25fvmptg 6280 . . . . 5 |- ( ( ( 0g ` Z ) e. C /\ ( ( 0g ` Z ) o. F ) e. _V ) -> ( ( g e. C |-> ( g o. F ) ) ` ( 0g ` Z ) ) = ( ( 0g ` Z ) o. F ) )
10095, 97, 99syl2anc 693 . . . 4 |- ( ph -> ( ( g e. C |-> ( g o. F ) ) ` ( 0g ` Z ) ) = ( ( 0g ` Z ) o. F ) )
1013, 11, 12, 1, 2, 95pwselbas 16149 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( 0g ` Z ) : B --> ( Base ` R ) )
102 fco 6058 . . . . . . 7 |- ( ( ( 0g ` Z ) : B --> ( Base ` R ) /\ F : A --> B ) -> ( ( 0g ` Z ) o. F ) : A --> ( Base ` R ) )
103101, 16, 102syl2anc 693 . . . . . 6 |- ( ph -> ( ( 0g ` Z ) o. F ) : A --> ( Base ` R ) )
104 ffn 6045 . . . . . 6 |- ( ( ( 0g ` Z ) o. F ) : A --> ( Base ` R ) -> ( ( 0g ` Z ) o. F ) Fn A )
105103, 104syl 17 . . . . 5 |- ( ph -> ( ( 0g ` Z ) o. F ) Fn A )
106 fvexd 6203 . . . . . 6 |- ( ph -> ( 0g ` R ) e. _V )
107 fnconstg 6093 . . . . . 6 |- ( ( 0g ` R ) e. _V -> ( A X. { ( 0g ` R ) } ) Fn A )
108106, 107syl 17 . . . . 5 |- ( ph -> ( A X. { ( 0g ` R ) } ) Fn A )
109 eqid 2622 . . . . . . . . . . 11 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
1103, 109pws0g 17326 . . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. Mnd /\ B e. W ) -> ( B X. { ( 0g ` R ) } ) = ( 0g ` Z ) )
1111, 2, 110syl2anc 693 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( B X. { ( 0g ` R ) } ) = ( 0g ` Z ) )
112111fveq1d 6193 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( B X. { ( 0g ` R ) } ) ` ( F ` x ) ) = ( ( 0g ` Z ) ` ( F ` x ) ) )
113112adantr 481 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( B X. { ( 0g ` R ) } ) ` ( F ` x ) ) = ( ( 0g ` Z ) ` ( F ` x ) ) )
114 fvex 6201 . . . . . . . 8 |- ( 0g ` R ) e. _V
11516ffvelrnda 6359 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( F ` x ) e. B )
116 fvconst2g 6467 . . . . . . . 8 |- ( ( ( 0g ` R ) e. _V /\ ( F ` x ) e. B ) -> ( ( B X. { ( 0g ` R ) } ) ` ( F ` x ) ) = ( 0g ` R ) )
117114, 115, 116sylancr 695 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( B X. { ( 0g ` R ) } ) ` ( F ` x ) ) = ( 0g ` R ) )
118113, 117eqtr3d 2658 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( 0g ` Z ) ` ( F ` x ) ) = ( 0g ` R ) )
119 fvco3 6275 . . . . . . 7 |- ( ( F : A --> B /\ x e. A ) -> ( ( ( 0g ` Z ) o. F ) ` x ) = ( ( 0g ` Z ) ` ( F ` x ) ) )
12016, 119sylan 488 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( ( 0g ` Z ) o. F ) ` x ) = ( ( 0g ` Z ) ` ( F ` x ) ) )
121 fvconst2g 6467 . . . . . . 7 |- ( ( ( 0g ` R ) e. _V /\ x e. A ) -> ( ( A X. { ( 0g ` R ) } ) ` x ) = ( 0g ` R ) )
122106, 121sylan 488 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( A X. { ( 0g ` R ) } ) ` x ) = ( 0g ` R ) )
123118, 120, 1223eqtr4d 2666 . . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( ( 0g ` Z ) o. F ) ` x ) = ( ( A X. { ( 0g ` R ) } ) ` x ) )
124105, 108, 123eqfnfvd 6314 . . . 4 |- ( ph -> ( ( 0g ` Z ) o. F ) = ( A X. { ( 0g ` R ) } ) )
1257, 109pws0g 17326 . . . . 5 |- ( ( R e. Mnd /\ A e. V ) -> ( A X. { ( 0g ` R ) } ) = ( 0g ` Y ) )
1261, 6, 125syl2anc 693 . . . 4 |- ( ph -> ( A X. { ( 0g ` R ) } ) = ( 0g ` Y ) )
127100, 124, 1263eqtrd 2660 . . 3 |- ( ph -> ( ( g e. C |-> ( g o. F ) ) ` ( 0g ` Z ) ) = ( 0g ` Y ) )
12826, 92, 1273jca 1242 . 2 |- ( ph -> ( ( g e. C |-> ( g o. F ) ) : C --> ( Base ` Y ) /\ A. x e. C A. y e. C ( ( g e. C |-> ( g o. F ) ) ` ( x ( +g ` Z ) y ) ) = ( ( ( g e. C |-> ( g o. F ) ) ` x ) ( +g ` Y ) ( ( g e. C |-> ( g o. F ) ) ` y ) ) /\ ( ( g e. C |-> ( g o. F ) ) ` ( 0g ` Z ) ) = ( 0g ` Y ) ) )
129 eqid 2622 . . 3 |- ( 0g ` Y ) = ( 0g ` Y )
13012, 20, 59, 57, 93, 129ismhm 17337 . 2 |- ( ( g e. C |-> ( g o. F ) ) e. ( Z MndHom Y ) <-> ( ( Z e. Mnd /\ Y e. Mnd ) /\ ( ( g e. C |-> ( g o. F ) ) : C --> ( Base ` Y ) /\ A. x e. C A. y e. C ( ( g e. C |-> ( g o. F ) ) ` ( x ( +g ` Z ) y ) ) = ( ( ( g e. C |-> ( g o. F ) ) ` x ) ( +g ` Y ) ( ( g e. C |-> ( g o. F ) ) ` y ) ) /\ ( ( g e. C |-> ( g o. F ) ) ` ( 0g ` Z ) ) = ( 0g ` Y ) ) ) )
13110, 128, 130sylanbrc 698 1 |- ( ph -> ( g e. C |-> ( g o. F ) ) e. ( Z MndHom Y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   {csn 4177   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   o. ccom 5118   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   oFcof 6895   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   0gc0g 16100   ^s cpws 16107   Mndcmnd 17294   MndHom cmhm 17333
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-hom 15966  df-cco 15967  df-0g 16102  df-prds 16108  df-pws 16110  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335
This theorem is referenced by:  pwsco1rhm  18738
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