Theorem relexpmulnn 38001

Description: With exponents limited to the counting numbers, the composition of powers of a relation is the relation raised to the product of exponents. (Contributed by RP, 13-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
relexpmulnn	|- ( ( ( R e. V /\ I = ( J x. K ) ) /\ ( J e. NN /\ K e. NN ) ) -> ( ( R ^r J ) ^r K ) = ( R ^r I ) )

Proof of Theorem relexpmulnn

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 6658	. . . . . . . . 9 |- ( x = 1 -> ( ( R ^r J ) ^r x ) = ( ( R ^r J ) ^r 1 ) )
2		oveq2 6658	. . . . . . . . . 10 |- ( x = 1 -> ( J x. x ) = ( J x. 1 ) )
3	2	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( x = 1 -> ( R ^r ( J x. x ) ) = ( R ^r ( J x. 1 ) ) )
4	1, 3	eqeq12d 2637	. . . . . . . 8 |- ( x = 1 -> ( ( ( R ^r J ) ^r x ) = ( R ^r ( J x. x ) ) <-> ( ( R ^r J ) ^r 1 ) = ( R ^r ( J x. 1 ) ) ) )
5	4	imbi2d 330	. . . . . . 7 |- ( x = 1 -> ( ( ( J e. NN /\ R e. V /\ I = ( J x. K ) ) -> ( ( R ^r J ) ^r x ) = ( R ^r ( J x. x ) ) ) <-> ( ( J e. NN /\ R e. V /\ I = ( J x. K ) ) -> ( ( R ^r J ) ^r 1 ) = ( R ^r ( J x. 1 ) ) ) ) )
6		oveq2 6658	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( ( R ^r J ) ^r x ) = ( ( R ^r J ) ^r y ) )
7		oveq2 6658	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> ( J x. x ) = ( J x. y ) )
8	7	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( R ^r ( J x. x ) ) = ( R ^r ( J x. y ) ) )
9	6, 8	eqeq12d 2637	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( ( ( R ^r J ) ^r x ) = ( R ^r ( J x. x ) ) <-> ( ( R ^r J ) ^r y ) = ( R ^r ( J x. y ) ) ) )
10	9	imbi2d 330	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( ( ( J e. NN /\ R e. V /\ I = ( J x. K ) ) -> ( ( R ^r J ) ^r x ) = ( R ^r ( J x. x ) ) ) <-> ( ( J e. NN /\ R e. V /\ I = ( J x. K ) ) -> ( ( R ^r J ) ^r y ) = ( R ^r ( J x. y ) ) ) ) )
11		oveq2 6658	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( ( R ^r J ) ^r x ) = ( ( R ^r J ) ^r ( y + 1 ) ) )
12		oveq2 6658	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( J x. x ) = ( J x. ( y + 1 ) ) )
13	12	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( R ^r ( J x. x ) ) = ( R ^r ( J x. ( y + 1 ) ) ) )
14	11, 13	eqeq12d 2637	. . . . . . . 8 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( ( ( R ^r J ) ^r x ) = ( R ^r ( J x. x ) ) <-> ( ( R ^r J ) ^r ( y + 1 ) ) = ( R ^r ( J x. ( y + 1 ) ) ) ) )
15	14	imbi2d 330	. . . . . . 7 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( ( ( J e. NN /\ R e. V /\ I = ( J x. K ) ) -> ( ( R ^r J ) ^r x ) = ( R ^r ( J x. x ) ) ) <-> ( ( J e. NN /\ R e. V /\ I = ( J x. K ) ) -> ( ( R ^r J ) ^r ( y + 1 ) ) = ( R ^r ( J x. ( y + 1 ) ) ) ) ) )
16		oveq2 6658	. . . . . . . . 9 |- ( x = K -> ( ( R ^r J ) ^r x ) = ( ( R ^r J ) ^r K ) )
17		oveq2 6658	. . . . . . . . . 10 |- ( x = K -> ( J x. x ) = ( J x. K ) )
18	17	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( x = K -> ( R ^r ( J x. x ) ) = ( R ^r ( J x. K ) ) )
19	16, 18	eqeq12d 2637	. . . . . . . 8 |- ( x = K -> ( ( ( R ^r J ) ^r x ) = ( R ^r ( J x. x ) ) <-> ( ( R ^r J ) ^r K ) = ( R ^r ( J x. K ) ) ) )
20	19	imbi2d 330	. . . . . . 7 |- ( x = K -> ( ( ( J e. NN /\ R e. V /\ I = ( J x. K ) ) -> ( ( R ^r J ) ^r x ) = ( R ^r ( J x. x ) ) ) <-> ( ( J e. NN /\ R e. V /\ I = ( J x. K ) ) -> ( ( R ^r J ) ^r K ) = ( R ^r ( J x. K ) ) ) ) )
21		ovexd 6680	. . . . . . . . 9 |- ( ( J e. NN /\ R e. V /\ I = ( J x. K ) ) -> ( R ^r J ) e. _V )
22	21	relexp1d 13771	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. NN /\ R e. V /\ I = ( J x. K ) ) -> ( ( R ^r J ) ^r 1 ) = ( R ^r J ) )
23		simp1 1061	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( J e. NN /\ R e. V /\ I = ( J x. K ) ) -> J e. NN )
24		nnre 11027	. . . . . . . . . . 11 |- ( J e. NN -> J e. RR )
25		ax-1rid 10006	. . . . . . . . . . 11 |- ( J e. RR -> ( J x. 1 ) = J )
26	23, 24, 25	3syl 18	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. NN /\ R e. V /\ I = ( J x. K ) ) -> ( J x. 1 ) = J )
27	26	eqcomd 2628	. . . . . . . . 9 |- ( ( J e. NN /\ R e. V /\ I = ( J x. K ) ) -> J = ( J x. 1 ) )
28	27	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. NN /\ R e. V /\ I = ( J x. K ) ) -> ( R ^r J ) = ( R ^r ( J x. 1 ) ) )
29	22, 28	eqtrd 2656	. . . . . . 7 |- ( ( J e. NN /\ R e. V /\ I = ( J x. K ) ) -> ( ( R ^r J ) ^r 1 ) = ( R ^r ( J x. 1 ) ) )
30		ovex 6678	. . . . . . . . . . 11 |- ( R ^r J ) e. _V
31		simp1 1061	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. NN /\ ( J e. NN /\ R e. V /\ I = ( J x. K ) ) /\ ( ( R ^r J ) ^r y ) = ( R ^r ( J x. y ) ) ) -> y e. NN )
32		relexpsucnnr 13765	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R ^r J ) e. _V /\ y e. NN ) -> ( ( R ^r J ) ^r ( y + 1 ) ) = ( ( ( R ^r J ) ^r y ) o. ( R ^r J ) ) )
33	30, 31, 32	sylancr 695	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. NN /\ ( J e. NN /\ R e. V /\ I = ( J x. K ) ) /\ ( ( R ^r J ) ^r y ) = ( R ^r ( J x. y ) ) ) -> ( ( R ^r J ) ^r ( y + 1 ) ) = ( ( ( R ^r J ) ^r y ) o. ( R ^r J ) ) )
34		simp3 1063	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. NN /\ ( J e. NN /\ R e. V /\ I = ( J x. K ) ) /\ ( ( R ^r J ) ^r y ) = ( R ^r ( J x. y ) ) ) -> ( ( R ^r J ) ^r y ) = ( R ^r ( J x. y ) ) )
35	34	coeq1d 5283	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. NN /\ ( J e. NN /\ R e. V /\ I = ( J x. K ) ) /\ ( ( R ^r J ) ^r y ) = ( R ^r ( J x. y ) ) ) -> ( ( ( R ^r J ) ^r y ) o. ( R ^r J ) ) = ( ( R ^r ( J x. y ) ) o. ( R ^r J ) ) )
36		simp21 1094	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. NN /\ ( J e. NN /\ R e. V /\ I = ( J x. K ) ) /\ ( ( R ^r J ) ^r y ) = ( R ^r ( J x. y ) ) ) -> J e. NN )
37	36, 31	nnmulcld 11068	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. NN /\ ( J e. NN /\ R e. V /\ I = ( J x. K ) ) /\ ( ( R ^r J ) ^r y ) = ( R ^r ( J x. y ) ) ) -> ( J x. y ) e. NN )
38		simp22 1095	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. NN /\ ( J e. NN /\ R e. V /\ I = ( J x. K ) ) /\ ( ( R ^r J ) ^r y ) = ( R ^r ( J x. y ) ) ) -> R e. V )
39		relexpaddnn 13791	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( J x. y ) e. NN /\ J e. NN /\ R e. V ) -> ( ( R ^r ( J x. y ) ) o. ( R ^r J ) ) = ( R ^r ( ( J x. y ) + J ) ) )
40	37, 36, 38, 39	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. NN /\ ( J e. NN /\ R e. V /\ I = ( J x. K ) ) /\ ( ( R ^r J ) ^r y ) = ( R ^r ( J x. y ) ) ) -> ( ( R ^r ( J x. y ) ) o. ( R ^r J ) ) = ( R ^r ( ( J x. y ) + J ) ) )
41	35, 40	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. NN /\ ( J e. NN /\ R e. V /\ I = ( J x. K ) ) /\ ( ( R ^r J ) ^r y ) = ( R ^r ( J x. y ) ) ) -> ( ( ( R ^r J ) ^r y ) o. ( R ^r J ) ) = ( R ^r ( ( J x. y ) + J ) ) )
42	36	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. NN /\ ( J e. NN /\ R e. V /\ I = ( J x. K ) ) /\ ( ( R ^r J ) ^r y ) = ( R ^r ( J x. y ) ) ) -> J e. CC )
43	31	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. NN /\ ( J e. NN /\ R e. V /\ I = ( J x. K ) ) /\ ( ( R ^r J ) ^r y ) = ( R ^r ( J x. y ) ) ) -> y e. CC )
44		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. NN /\ ( J e. NN /\ R e. V /\ I = ( J x. K ) ) /\ ( ( R ^r J ) ^r y ) = ( R ^r ( J x. y ) ) ) -> 1 e. CC )
45	42, 43, 44	adddid 10064	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. NN /\ ( J e. NN /\ R e. V /\ I = ( J x. K ) ) /\ ( ( R ^r J ) ^r y ) = ( R ^r ( J x. y ) ) ) -> ( J x. ( y + 1 ) ) = ( ( J x. y ) + ( J x. 1 ) ) )
46	42	mulid1d 10057	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. NN /\ ( J e. NN /\ R e. V /\ I = ( J x. K ) ) /\ ( ( R ^r J ) ^r y ) = ( R ^r ( J x. y ) ) ) -> ( J x. 1 ) = J )
47	46	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. NN /\ ( J e. NN /\ R e. V /\ I = ( J x. K ) ) /\ ( ( R ^r J ) ^r y ) = ( R ^r ( J x. y ) ) ) -> ( ( J x. y ) + ( J x. 1 ) ) = ( ( J x. y ) + J ) )
48	45, 47	eqtr2d 2657	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. NN /\ ( J e. NN /\ R e. V /\ I = ( J x. K ) ) /\ ( ( R ^r J ) ^r y ) = ( R ^r ( J x. y ) ) ) -> ( ( J x. y ) + J ) = ( J x. ( y + 1 ) ) )
49	48	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. NN /\ ( J e. NN /\ R e. V /\ I = ( J x. K ) ) /\ ( ( R ^r J ) ^r y ) = ( R ^r ( J x. y ) ) ) -> ( R ^r ( ( J x. y ) + J ) ) = ( R ^r ( J x. ( y + 1 ) ) ) )
50	41, 49	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. NN /\ ( J e. NN /\ R e. V /\ I = ( J x. K ) ) /\ ( ( R ^r J ) ^r y ) = ( R ^r ( J x. y ) ) ) -> ( ( ( R ^r J ) ^r y ) o. ( R ^r J ) ) = ( R ^r ( J x. ( y + 1 ) ) ) )
51	33, 50	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. NN /\ ( J e. NN /\ R e. V /\ I = ( J x. K ) ) /\ ( ( R ^r J ) ^r y ) = ( R ^r ( J x. y ) ) ) -> ( ( R ^r J ) ^r ( y + 1 ) ) = ( R ^r ( J x. ( y + 1 ) ) ) )
52	51	3exp 1264	. . . . . . . 8 |- ( y e. NN -> ( ( J e. NN /\ R e. V /\ I = ( J x. K ) ) -> ( ( ( R ^r J ) ^r y ) = ( R ^r ( J x. y ) ) -> ( ( R ^r J ) ^r ( y + 1 ) ) = ( R ^r ( J x. ( y + 1 ) ) ) ) ) )
53	52	a2d 29	. . . . . . 7 |- ( y e. NN -> ( ( ( J e. NN /\ R e. V /\ I = ( J x. K ) ) -> ( ( R ^r J ) ^r y ) = ( R ^r ( J x. y ) ) ) -> ( ( J e. NN /\ R e. V /\ I = ( J x. K ) ) -> ( ( R ^r J ) ^r ( y + 1 ) ) = ( R ^r ( J x. ( y + 1 ) ) ) ) ) )
54	5, 10, 15, 20, 29, 53	nnind 11038	. . . . . 6 |- ( K e. NN -> ( ( J e. NN /\ R e. V /\ I = ( J x. K ) ) -> ( ( R ^r J ) ^r K ) = ( R ^r ( J x. K ) ) ) )
55	54	3expd 1284	. . . . 5 |- ( K e. NN -> ( J e. NN -> ( R e. V -> ( I = ( J x. K ) -> ( ( R ^r J ) ^r K ) = ( R ^r ( J x. K ) ) ) ) ) )
56	55	impcom 446	. . . 4 |- ( ( J e. NN /\ K e. NN ) -> ( R e. V -> ( I = ( J x. K ) -> ( ( R ^r J ) ^r K ) = ( R ^r ( J x. K ) ) ) ) )
57	56	impd 447	. . 3 |- ( ( J e. NN /\ K e. NN ) -> ( ( R e. V /\ I = ( J x. K ) ) -> ( ( R ^r J ) ^r K ) = ( R ^r ( J x. K ) ) ) )
58	57	impcom 446	. 2 |- ( ( ( R e. V /\ I = ( J x. K ) ) /\ ( J e. NN /\ K e. NN ) ) -> ( ( R ^r J ) ^r K ) = ( R ^r ( J x. K ) ) )
59		simplr 792	. . . 4 |- ( ( ( R e. V /\ I = ( J x. K ) ) /\ ( J e. NN /\ K e. NN ) ) -> I = ( J x. K ) )
60	59	eqcomd 2628	. . 3 |- ( ( ( R e. V /\ I = ( J x. K ) ) /\ ( J e. NN /\ K e. NN ) ) -> ( J x. K ) = I )
61	60	oveq2d 6666	. 2 |- ( ( ( R e. V /\ I = ( J x. K ) ) /\ ( J e. NN /\ K e. NN ) ) -> ( R ^r ( J x. K ) ) = ( R ^r I ) )
62	58, 61	eqtrd 2656	1 |- ( ( ( R e. V /\ I = ( J x. K ) ) /\ ( J e. NN /\ K e. NN ) ) -> ( ( R ^r J ) ^r K ) = ( R ^r I ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   o. ccom 5118  (class class class)co 6650   RRcr 9935   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   NNcn 11020   ^r crelexp 13760

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-seq 12802  df-relexp 13761

This theorem is referenced by:  relexpmulg  38002