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Theorem iunrelexpmin1 38000
Description: The indexed union of relation exponentiation over the natural numbers is the minimum transitive relation that includes the relation. (Contributed by RP, 4-Jun-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
iunrelexpmin1.def |- C = ( r e. _V |-> U_ n e. N ( r ^r n ) )
Assertion
Ref Expression
iunrelexpmin1 |- ( ( R e. V /\ N = NN ) -> A. s ( ( R C_ s /\ ( s o. s ) C_ s ) -> ( C ` R ) C_ s ) )
Distinct variable groups:   n, r, C, N   N, s   R, n, r   R, s   n, V, r   V, s, n
Allowed substitution hint:   C( s)
Proof of Theorem iunrelexpmin1
Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iunrelexpmin1.def . . . . 5 |- C = ( r e. _V |-> U_ n e. N ( r ^r n ) )
21a1i 11 . . . 4 |- ( ( R e. V /\ N = NN ) -> C = ( r e. _V |-> U_ n e. N ( r ^r n ) ) )
3 simplr 792 . . . . 5 |- ( ( ( R e. V /\ N = NN ) /\ r = R ) -> N = NN )
4 simpr 477 . . . . . 6 |- ( ( ( R e. V /\ N = NN ) /\ r = R ) -> r = R )
54oveq1d 6665 . . . . 5 |- ( ( ( R e. V /\ N = NN ) /\ r = R ) -> ( r ^r n ) = ( R ^r n ) )
63, 5iuneq12d 4546 . . . 4 |- ( ( ( R e. V /\ N = NN ) /\ r = R ) -> U_ n e. N ( r ^r n ) = U_ n e. NN ( R ^r n ) )
7 elex 3212 . . . . 5 |- ( R e. V -> R e. _V )
87adantr 481 . . . 4 |- ( ( R e. V /\ N = NN ) -> R e. _V )
9 nnex 11026 . . . . . 6 |- NN e. _V
10 ovex 6678 . . . . . 6 |- ( R ^r n ) e. _V
119, 10iunex 7147 . . . . 5 |- U_ n e. NN ( R ^r n ) e. _V
1211a1i 11 . . . 4 |- ( ( R e. V /\ N = NN ) -> U_ n e. NN ( R ^r n ) e. _V )
132, 6, 8, 12fvmptd 6288 . . 3 |- ( ( R e. V /\ N = NN ) -> ( C ` R ) = U_ n e. NN ( R ^r n ) )
14 relexp1g 13766 . . . . . . . 8 |- ( R e. V -> ( R ^r 1 ) = R )
1514sseq1d 3632 . . . . . . 7 |- ( R e. V -> ( ( R ^r 1 ) C_ s <-> R C_ s ) )
1615anbi1d 741 . . . . . 6 |- ( R e. V -> ( ( ( R ^r 1 ) C_ s /\ ( s o. s ) C_ s ) <-> ( R C_ s /\ ( s o. s ) C_ s ) ) )
17 oveq2 6658 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = 1 -> ( R ^r x ) = ( R ^r 1 ) )
1817sseq1d 3632 . . . . . . . . . . . 12 |- ( x = 1 -> ( ( R ^r x ) C_ s <-> ( R ^r 1 ) C_ s ) )
1918imbi2d 330 . . . . . . . . . . 11 |- ( x = 1 -> ( ( ( R e. V /\ ( ( R ^r 1 ) C_ s /\ ( s o. s ) C_ s ) ) -> ( R ^r x ) C_ s ) <-> ( ( R e. V /\ ( ( R ^r 1 ) C_ s /\ ( s o. s ) C_ s ) ) -> ( R ^r 1 ) C_ s ) ) )
20 oveq2 6658 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = y -> ( R ^r x ) = ( R ^r y ) )
2120sseq1d 3632 . . . . . . . . . . . 12 |- ( x = y -> ( ( R ^r x ) C_ s <-> ( R ^r y ) C_ s ) )
2221imbi2d 330 . . . . . . . . . . 11 |- ( x = y -> ( ( ( R e. V /\ ( ( R ^r 1 ) C_ s /\ ( s o. s ) C_ s ) ) -> ( R ^r x ) C_ s ) <-> ( ( R e. V /\ ( ( R ^r 1 ) C_ s /\ ( s o. s ) C_ s ) ) -> ( R ^r y ) C_ s ) ) )
23 oveq2 6658 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( R ^r x ) = ( R ^r ( y + 1 ) ) )
2423sseq1d 3632 . . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( ( R ^r x ) C_ s <-> ( R ^r ( y + 1 ) ) C_ s ) )
2524imbi2d 330 . . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( ( ( R e. V /\ ( ( R ^r 1 ) C_ s /\ ( s o. s ) C_ s ) ) -> ( R ^r x ) C_ s ) <-> ( ( R e. V /\ ( ( R ^r 1 ) C_ s /\ ( s o. s ) C_ s ) ) -> ( R ^r ( y + 1 ) ) C_ s ) ) )
26 oveq2 6658 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = n -> ( R ^r x ) = ( R ^r n ) )
2726sseq1d 3632 . . . . . . . . . . . 12 |- ( x = n -> ( ( R ^r x ) C_ s <-> ( R ^r n ) C_ s ) )
2827imbi2d 330 . . . . . . . . . . 11 |- ( x = n -> ( ( ( R e. V /\ ( ( R ^r 1 ) C_ s /\ ( s o. s ) C_ s ) ) -> ( R ^r x ) C_ s ) <-> ( ( R e. V /\ ( ( R ^r 1 ) C_ s /\ ( s o. s ) C_ s ) ) -> ( R ^r n ) C_ s ) ) )
29 simprl 794 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. V /\ ( ( R ^r 1 ) C_ s /\ ( s o. s ) C_ s ) ) -> ( R ^r 1 ) C_ s )
30 simp1 1061 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y e. NN /\ ( R e. V /\ ( ( R ^r 1 ) C_ s /\ ( s o. s ) C_ s ) ) /\ ( R ^r y ) C_ s ) -> y e. NN )
31 1nn 11031 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 1 e. NN
3231a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y e. NN /\ ( R e. V /\ ( ( R ^r 1 ) C_ s /\ ( s o. s ) C_ s ) ) /\ ( R ^r y ) C_ s ) -> 1 e. NN )
33 simp2l 1087 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y e. NN /\ ( R e. V /\ ( ( R ^r 1 ) C_ s /\ ( s o. s ) C_ s ) ) /\ ( R ^r y ) C_ s ) -> R e. V )
34 relexpaddnn 13791 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y e. NN /\ 1 e. NN /\ R e. V ) -> ( ( R ^r y ) o. ( R ^r 1 ) ) = ( R ^r ( y + 1 ) ) )
3530, 32, 33, 34syl3anc 1326 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. NN /\ ( R e. V /\ ( ( R ^r 1 ) C_ s /\ ( s o. s ) C_ s ) ) /\ ( R ^r y ) C_ s ) -> ( ( R ^r y ) o. ( R ^r 1 ) ) = ( R ^r ( y + 1 ) ) )
36 simp2rr 1131 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y e. NN /\ ( R e. V /\ ( ( R ^r 1 ) C_ s /\ ( s o. s ) C_ s ) ) /\ ( R ^r y ) C_ s ) -> ( s o. s ) C_ s )
37 simp3 1063 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y e. NN /\ ( R e. V /\ ( ( R ^r 1 ) C_ s /\ ( s o. s ) C_ s ) ) /\ ( R ^r y ) C_ s ) -> ( R ^r y ) C_ s )
38 simp2rl 1130 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y e. NN /\ ( R e. V /\ ( ( R ^r 1 ) C_ s /\ ( s o. s ) C_ s ) ) /\ ( R ^r y ) C_ s ) -> ( R ^r 1 ) C_ s )
3936, 37, 38trrelssd 13712 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. NN /\ ( R e. V /\ ( ( R ^r 1 ) C_ s /\ ( s o. s ) C_ s ) ) /\ ( R ^r y ) C_ s ) -> ( ( R ^r y ) o. ( R ^r 1 ) ) C_ s )
4035, 39eqsstr3d 3640 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. NN /\ ( R e. V /\ ( ( R ^r 1 ) C_ s /\ ( s o. s ) C_ s ) ) /\ ( R ^r y ) C_ s ) -> ( R ^r ( y + 1 ) ) C_ s )
41403exp 1264 . . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. NN -> ( ( R e. V /\ ( ( R ^r 1 ) C_ s /\ ( s o. s ) C_ s ) ) -> ( ( R ^r y ) C_ s -> ( R ^r ( y + 1 ) ) C_ s ) ) )
4241a2d 29 . . . . . . . . . . 11 |- ( y e. NN -> ( ( ( R e. V /\ ( ( R ^r 1 ) C_ s /\ ( s o. s ) C_ s ) ) -> ( R ^r y ) C_ s ) -> ( ( R e. V /\ ( ( R ^r 1 ) C_ s /\ ( s o. s ) C_ s ) ) -> ( R ^r ( y + 1 ) ) C_ s ) ) )
4319, 22, 25, 28, 29, 42nnind 11038 . . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN -> ( ( R e. V /\ ( ( R ^r 1 ) C_ s /\ ( s o. s ) C_ s ) ) -> ( R ^r n ) C_ s ) )
4443com12 32 . . . . . . . . 9 |- ( ( R e. V /\ ( ( R ^r 1 ) C_ s /\ ( s o. s ) C_ s ) ) -> ( n e. NN -> ( R ^r n ) C_ s ) )
4544ralrimiv 2965 . . . . . . . 8 |- ( ( R e. V /\ ( ( R ^r 1 ) C_ s /\ ( s o. s ) C_ s ) ) -> A. n e. NN ( R ^r n ) C_ s )
46 iunss 4561 . . . . . . . 8 |- ( U_ n e. NN ( R ^r n ) C_ s <-> A. n e. NN ( R ^r n ) C_ s )
4745, 46sylibr 224 . . . . . . 7 |- ( ( R e. V /\ ( ( R ^r 1 ) C_ s /\ ( s o. s ) C_ s ) ) -> U_ n e. NN ( R ^r n ) C_ s )
4847ex 450 . . . . . 6 |- ( R e. V -> ( ( ( R ^r 1 ) C_ s /\ ( s o. s ) C_ s ) -> U_ n e. NN ( R ^r n ) C_ s ) )
4916, 48sylbird 250 . . . . 5 |- ( R e. V -> ( ( R C_ s /\ ( s o. s ) C_ s ) -> U_ n e. NN ( R ^r n ) C_ s ) )
5049adantr 481 . . . 4 |- ( ( R e. V /\ N = NN ) -> ( ( R C_ s /\ ( s o. s ) C_ s ) -> U_ n e. NN ( R ^r n ) C_ s ) )
51 sseq1 3626 . . . . 5 |- ( ( C ` R ) = U_ n e. NN ( R ^r n ) -> ( ( C ` R ) C_ s <-> U_ n e. NN ( R ^r n ) C_ s ) )
5251imbi2d 330 . . . 4 |- ( ( C ` R ) = U_ n e. NN ( R ^r n ) -> ( ( ( R C_ s /\ ( s o. s ) C_ s ) -> ( C ` R ) C_ s ) <-> ( ( R C_ s /\ ( s o. s ) C_ s ) -> U_ n e. NN ( R ^r n ) C_ s ) ) )
5350, 52syl5ibr 236 . . 3 |- ( ( C ` R ) = U_ n e. NN ( R ^r n ) -> ( ( R e. V /\ N = NN ) -> ( ( R C_ s /\ ( s o. s ) C_ s ) -> ( C ` R ) C_ s ) ) )
5413, 53mpcom 38 . 2 |- ( ( R e. V /\ N = NN ) -> ( ( R C_ s /\ ( s o. s ) C_ s ) -> ( C ` R ) C_ s ) )
5554alrimiv 1855 1 |- ( ( R e. V /\ N = NN ) -> A. s ( ( R C_ s /\ ( s o. s ) C_ s ) -> ( C ` R ) C_ s ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   A.wal 1481   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   U_ciun 4520   |-> cmpt 4729   o. ccom 5118   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   1c1 9937   + caddc 9939   NNcn 11020   ^r crelexp 13760
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-seq 12802  df-relexp 13761
This theorem is referenced by:  dftrcl3  38012
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