Theorem nnmulcld 11068

Description: Closure of multiplication of positive integers. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nnge1d.1	|- ( ph -> A e. NN )
nnmulcld.2	|- ( ph -> B e. NN )

Assertion

Ref	Expression
nnmulcld	|- ( ph -> ( A x. B ) e. NN )

Proof of Theorem nnmulcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 |- ( ph -> A e. NN )
2		nnmulcld.2	. 2 |- ( ph -> B e. NN )
3		nnmulcl 11043	. 2 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( A x. B ) e. NN )
4	1, 2, 3	syl2anc 693	1 |- ( ph -> ( A x. B ) e. NN )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1990  (class class class)co 6650   x. cmul 9941   NNcn 11020

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-nn 11021

This theorem is referenced by:  bcm1k  13102  bcp1n  13103  permnn  13113  trireciplem  14594  efaddlem  14823  eftlub  14839  eirrlem  14932  modmulconst  15013  isprm5  15419  crth  15483  phimullem  15484  pcqmul  15558  pcaddlem  15592  pcbc  15604  oddprmdvds  15607  pockthlem  15609  pockthg  15610  vdwlem3  15687  vdwlem6  15690  vdwlem9  15693  torsubg  18257  ablfacrp  18465  dgrcolem1  24029  aalioulem5  24091  aaliou3lem2  24098  log2cnv  24671  log2tlbnd  24672  log2ublem2  24674  log2ub  24676  lgamgulmlem4  24758  wilthlem2  24795  ftalem7  24805  basellem5  24811  mumul  24907  fsumfldivdiaglem  24915  dvdsmulf1o  24920  sgmmul  24926  chtublem  24936  bcmono  25002  bposlem3  25011  bposlem5  25013  gausslemma2dlem1a  25090  lgsquadlem2  25106  lgsquadlem3  25107  lgsquad2lem2  25110  2sqlem6  25148  rplogsumlem1  25173  rplogsumlem2  25174  dchrisum0fmul  25195  vmalogdivsum2  25227  pntrsumbnd2  25256  pntpbnd1  25275  pntpbnd2  25276  ostth2lem2  25323  2sqmod  29648  oddpwdc  30416  eulerpartlemgh  30440  subfaclim  31170  bcprod  31624  faclim2  31634  jm2.27c  37574  relexpmulnn  38001  mccllem  39829  limsup10exlem  40004  wallispilem5  40286  wallispi2lem1  40288  wallispi2  40290  stirlinglem3  40293  stirlinglem8  40298  stirlinglem15  40305  dirkertrigeqlem3  40317  hoicvrrex  40770  deccarry  41321  fmtnoprmfac2  41479  sfprmdvdsmersenne  41520  lighneallem3  41524  proththdlem  41530  blennnt2  42383