Theorem resqrex 13991

Description: Existence of a square root for positive reals. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2013.)

Assertion

Ref	Expression
resqrex	|- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> E. x e. RR ( 0 <_ x /\ ( x ^ 2 ) = A ) )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem resqrex

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 10040	. . . . 5 |- 0 e. RR
2		leloe 10124	. . . . 5 |- ( ( 0 e. RR /\ A e. RR ) -> ( 0 <_ A <-> ( 0 < A \/ 0 = A ) ) )
3	1, 2	mpan 706	. . . 4 |- ( A e. RR -> ( 0 <_ A <-> ( 0 < A \/ 0 = A ) ) )
4		elrp 11834	. . . . . . 7 |- ( A e. RR+ <-> ( A e. RR /\ 0 < A ) )
5		01sqrex 13990	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) -> E. x e. RR+ ( x <_ 1 /\ ( x ^ 2 ) = A ) )
6		rprege0 11847	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. RR+ -> ( x e. RR /\ 0 <_ x ) )
7	6	anim1i 592	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. RR+ /\ ( x ^ 2 ) = A ) -> ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) /\ ( x ^ 2 ) = A ) )
8		anass 681	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) /\ ( x ^ 2 ) = A ) <-> ( x e. RR /\ ( 0 <_ x /\ ( x ^ 2 ) = A ) ) )
9	7, 8	sylib 208	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. RR+ /\ ( x ^ 2 ) = A ) -> ( x e. RR /\ ( 0 <_ x /\ ( x ^ 2 ) = A ) ) )
10	9	adantrl 752	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. RR+ /\ ( x <_ 1 /\ ( x ^ 2 ) = A ) ) -> ( x e. RR /\ ( 0 <_ x /\ ( x ^ 2 ) = A ) ) )
11	10	reximi2 3010	. . . . . . . 8 |- ( E. x e. RR+ ( x <_ 1 /\ ( x ^ 2 ) = A ) -> E. x e. RR ( 0 <_ x /\ ( x ^ 2 ) = A ) )
12	5, 11	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) -> E. x e. RR ( 0 <_ x /\ ( x ^ 2 ) = A ) )
13	4, 12	sylanbr 490	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 < A ) /\ A <_ 1 ) -> E. x e. RR ( 0 <_ x /\ ( x ^ 2 ) = A ) )
14	13	exp31 630	. . . . 5 |- ( A e. RR -> ( 0 < A -> ( A <_ 1 -> E. x e. RR ( 0 <_ x /\ ( x ^ 2 ) = A ) ) ) )
15		sq0 12955	. . . . . . . . . 10 |- ( 0 ^ 2 ) = 0
16		id 22	. . . . . . . . . 10 |- ( 0 = A -> 0 = A )
17	15, 16	syl5eq 2668	. . . . . . . . 9 |- ( 0 = A -> ( 0 ^ 2 ) = A )
18		0le0 11110	. . . . . . . . 9 |- 0 <_ 0
19	17, 18	jctil 560	. . . . . . . 8 |- ( 0 = A -> ( 0 <_ 0 /\ ( 0 ^ 2 ) = A ) )
20		breq2 4657	. . . . . . . . . 10 |- ( x = 0 -> ( 0 <_ x <-> 0 <_ 0 ) )
21		oveq1 6657	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = 0 -> ( x ^ 2 ) = ( 0 ^ 2 ) )
22	21	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . 10 |- ( x = 0 -> ( ( x ^ 2 ) = A <-> ( 0 ^ 2 ) = A ) )
23	20, 22	anbi12d 747	. . . . . . . . 9 |- ( x = 0 -> ( ( 0 <_ x /\ ( x ^ 2 ) = A ) <-> ( 0 <_ 0 /\ ( 0 ^ 2 ) = A ) ) )
24	23	rspcev 3309	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 e. RR /\ ( 0 <_ 0 /\ ( 0 ^ 2 ) = A ) ) -> E. x e. RR ( 0 <_ x /\ ( x ^ 2 ) = A ) )
25	1, 19, 24	sylancr 695	. . . . . . 7 |- ( 0 = A -> E. x e. RR ( 0 <_ x /\ ( x ^ 2 ) = A ) )
26	25	a1d 25	. . . . . 6 |- ( 0 = A -> ( A <_ 1 -> E. x e. RR ( 0 <_ x /\ ( x ^ 2 ) = A ) ) )
27	26	a1i 11	. . . . 5 |- ( A e. RR -> ( 0 = A -> ( A <_ 1 -> E. x e. RR ( 0 <_ x /\ ( x ^ 2 ) = A ) ) ) )
28	14, 27	jaod 395	. . . 4 |- ( A e. RR -> ( ( 0 < A \/ 0 = A ) -> ( A <_ 1 -> E. x e. RR ( 0 <_ x /\ ( x ^ 2 ) = A ) ) ) )
29	3, 28	sylbid 230	. . 3 |- ( A e. RR -> ( 0 <_ A -> ( A <_ 1 -> E. x e. RR ( 0 <_ x /\ ( x ^ 2 ) = A ) ) ) )
30	29	imp 445	. 2 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> ( A <_ 1 -> E. x e. RR ( 0 <_ x /\ ( x ^ 2 ) = A ) ) )
31		0lt1 10550	. . . . . . . . . 10 |- 0 < 1
32		1re 10039	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. RR
33		ltletr 10129	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 0 e. RR /\ 1 e. RR /\ A e. RR ) -> ( ( 0 < 1 /\ 1 <_ A ) -> 0 < A ) )
34	1, 32, 33	mp3an12 1414	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. RR -> ( ( 0 < 1 /\ 1 <_ A ) -> 0 < A ) )
35	31, 34	mpani 712	. . . . . . . . 9 |- ( A e. RR -> ( 1 <_ A -> 0 < A ) )
36	35	imp 445	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) -> 0 < A )
37	4	biimpri 218	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR /\ 0 < A ) -> A e. RR+ )
38	36, 37	syldan 487	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) -> A e. RR+ )
39	38	rpreccld 11882	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) -> ( 1 / A ) e. RR+ )
40		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) -> 1 <_ A )
41		lerec 10906	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 1 e. RR /\ 0 < 1 ) /\ ( A e. RR /\ 0 < A ) ) -> ( 1 <_ A <-> ( 1 / A ) <_ ( 1 / 1 ) ) )
42	32, 31, 41	mpanl12 718	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR /\ 0 < A ) -> ( 1 <_ A <-> ( 1 / A ) <_ ( 1 / 1 ) ) )
43	36, 42	syldan 487	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) -> ( 1 <_ A <-> ( 1 / A ) <_ ( 1 / 1 ) ) )
44	40, 43	mpbid 222	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) -> ( 1 / A ) <_ ( 1 / 1 ) )
45		1div1e1 10717	. . . . . . 7 |- ( 1 / 1 ) = 1
46	44, 45	syl6breq 4694	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) -> ( 1 / A ) <_ 1 )
47		01sqrex 13990	. . . . . 6 |- ( ( ( 1 / A ) e. RR+ /\ ( 1 / A ) <_ 1 ) -> E. y e. RR+ ( y <_ 1 /\ ( y ^ 2 ) = ( 1 / A ) ) )
48	39, 46, 47	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) -> E. y e. RR+ ( y <_ 1 /\ ( y ^ 2 ) = ( 1 / A ) ) )
49		rpre 11839	. . . . . . . . 9 |- ( y e. RR+ -> y e. RR )
50	49	3ad2ant2 1083	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ y e. RR+ /\ ( y <_ 1 /\ ( y ^ 2 ) = ( 1 / A ) ) ) -> y e. RR )
51		rpgt0 11844	. . . . . . . . 9 |- ( y e. RR+ -> 0 < y )
52	51	3ad2ant2 1083	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ y e. RR+ /\ ( y <_ 1 /\ ( y ^ 2 ) = ( 1 / A ) ) ) -> 0 < y )
53		gt0ne0 10493	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. RR /\ 0 < y ) -> y =/= 0 )
54		rereccl 10743	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. RR /\ y =/= 0 ) -> ( 1 / y ) e. RR )
55	53, 54	syldan 487	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. RR /\ 0 < y ) -> ( 1 / y ) e. RR )
56	50, 52, 55	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ y e. RR+ /\ ( y <_ 1 /\ ( y ^ 2 ) = ( 1 / A ) ) ) -> ( 1 / y ) e. RR )
57		recgt0 10867	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. RR /\ 0 < y ) -> 0 < ( 1 / y ) )
58		ltle 10126	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 e. RR /\ ( 1 / y ) e. RR ) -> ( 0 < ( 1 / y ) -> 0 <_ ( 1 / y ) ) )
59	1, 58	mpan 706	. . . . . . . . 9 |- ( ( 1 / y ) e. RR -> ( 0 < ( 1 / y ) -> 0 <_ ( 1 / y ) ) )
60	55, 57, 59	sylc 65	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. RR /\ 0 < y ) -> 0 <_ ( 1 / y ) )
61	50, 52, 60	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ y e. RR+ /\ ( y <_ 1 /\ ( y ^ 2 ) = ( 1 / A ) ) ) -> 0 <_ ( 1 / y ) )
62		recn 10026	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. RR -> y e. CC )
63	62	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. RR /\ 0 < y ) -> y e. CC )
64	63, 53	sqrecd 13012	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. RR /\ 0 < y ) -> ( ( 1 / y ) ^ 2 ) = ( 1 / ( y ^ 2 ) ) )
65	50, 52, 64	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ y e. RR+ /\ ( y <_ 1 /\ ( y ^ 2 ) = ( 1 / A ) ) ) -> ( ( 1 / y ) ^ 2 ) = ( 1 / ( y ^ 2 ) ) )
66		simp3r 1090	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ y e. RR+ /\ ( y <_ 1 /\ ( y ^ 2 ) = ( 1 / A ) ) ) -> ( y ^ 2 ) = ( 1 / A ) )
67	66	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ y e. RR+ /\ ( y <_ 1 /\ ( y ^ 2 ) = ( 1 / A ) ) ) -> ( 1 / ( y ^ 2 ) ) = ( 1 / ( 1 / A ) ) )
68		gt0ne0 10493	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. RR /\ 0 < A ) -> A =/= 0 )
69	36, 68	syldan 487	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) -> A =/= 0 )
70		recn 10026	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. RR -> A e. CC )
71		recrec 10722	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 ) -> ( 1 / ( 1 / A ) ) = A )
72	70, 71	sylan 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. RR /\ A =/= 0 ) -> ( 1 / ( 1 / A ) ) = A )
73	69, 72	syldan 487	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) -> ( 1 / ( 1 / A ) ) = A )
74	73	3ad2ant1 1082	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ y e. RR+ /\ ( y <_ 1 /\ ( y ^ 2 ) = ( 1 / A ) ) ) -> ( 1 / ( 1 / A ) ) = A )
75	65, 67, 74	3eqtrd 2660	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ y e. RR+ /\ ( y <_ 1 /\ ( y ^ 2 ) = ( 1 / A ) ) ) -> ( ( 1 / y ) ^ 2 ) = A )
76		breq2 4657	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( 1 / y ) -> ( 0 <_ x <-> 0 <_ ( 1 / y ) ) )
77		oveq1 6657	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( 1 / y ) -> ( x ^ 2 ) = ( ( 1 / y ) ^ 2 ) )
78	77	eqeq1d 2624	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( 1 / y ) -> ( ( x ^ 2 ) = A <-> ( ( 1 / y ) ^ 2 ) = A ) )
79	76, 78	anbi12d 747	. . . . . . . 8 |- ( x = ( 1 / y ) -> ( ( 0 <_ x /\ ( x ^ 2 ) = A ) <-> ( 0 <_ ( 1 / y ) /\ ( ( 1 / y ) ^ 2 ) = A ) ) )
80	79	rspcev 3309	. . . . . . 7 |- ( ( ( 1 / y ) e. RR /\ ( 0 <_ ( 1 / y ) /\ ( ( 1 / y ) ^ 2 ) = A ) ) -> E. x e. RR ( 0 <_ x /\ ( x ^ 2 ) = A ) )
81	56, 61, 75, 80	syl12anc 1324	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ y e. RR+ /\ ( y <_ 1 /\ ( y ^ 2 ) = ( 1 / A ) ) ) -> E. x e. RR ( 0 <_ x /\ ( x ^ 2 ) = A ) )
82	81	rexlimdv3a 3033	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) -> ( E. y e. RR+ ( y <_ 1 /\ ( y ^ 2 ) = ( 1 / A ) ) -> E. x e. RR ( 0 <_ x /\ ( x ^ 2 ) = A ) ) )
83	48, 82	mpd 15	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) -> E. x e. RR ( 0 <_ x /\ ( x ^ 2 ) = A ) )
84	83	ex 450	. . 3 |- ( A e. RR -> ( 1 <_ A -> E. x e. RR ( 0 <_ x /\ ( x ^ 2 ) = A ) ) )
85	84	adantr 481	. 2 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> ( 1 <_ A -> E. x e. RR ( 0 <_ x /\ ( x ^ 2 ) = A ) ) )
86		simpl 473	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> A e. RR )
87		letric 10137	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( A <_ 1 \/ 1 <_ A ) )
88	86, 32, 87	sylancl 694	. 2 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> ( A <_ 1 \/ 1 <_ A ) )
89	30, 85, 88	mpjaod 396	1 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> E. x e. RR ( 0 <_ x /\ ( x ^ 2 ) = A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   E.wrex 2913   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   < clt 10074   <_ cle 10075   / cdiv 10684   2c2 11070   RR+crp 11832   ^cexp 12860

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-seq 12802  df-exp 12861

This theorem is referenced by:  resqreu  13993  resqrtcl  13994