Theorem sqrmo 13992

Description: Uniqueness for the square root function. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2013.) (Revised by NM, 17-Jun-2017.)

Assertion

Ref	Expression
sqrmo	|- ( A e. CC -> E* x e. CC ( ( x ^ 2 ) = A /\ 0 <_ ( Re ` x ) /\ ( _i x. x ) e/ RR+ ) )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem sqrmo

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr1 1103	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. CC /\ ( ( x ^ 2 ) = A /\ 0 <_ ( Re ` x ) /\ ( _i x. x ) e/ RR+ ) ) /\ ( y e. CC /\ ( ( y ^ 2 ) = A /\ 0 <_ ( Re ` y ) /\ ( _i x. y ) e/ RR+ ) ) ) -> ( x ^ 2 ) = A )
2		simprr1 1109	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. CC /\ ( ( x ^ 2 ) = A /\ 0 <_ ( Re ` x ) /\ ( _i x. x ) e/ RR+ ) ) /\ ( y e. CC /\ ( ( y ^ 2 ) = A /\ 0 <_ ( Re ` y ) /\ ( _i x. y ) e/ RR+ ) ) ) -> ( y ^ 2 ) = A )
3	1, 2	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. CC /\ ( ( x ^ 2 ) = A /\ 0 <_ ( Re ` x ) /\ ( _i x. x ) e/ RR+ ) ) /\ ( y e. CC /\ ( ( y ^ 2 ) = A /\ 0 <_ ( Re ` y ) /\ ( _i x. y ) e/ RR+ ) ) ) -> ( x ^ 2 ) = ( y ^ 2 ) )
4		sqeqor 12978	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( ( x ^ 2 ) = ( y ^ 2 ) <-> ( x = y \/ x = -u y ) ) )
5	4	ad2ant2r 783	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. CC /\ ( ( x ^ 2 ) = A /\ 0 <_ ( Re ` x ) /\ ( _i x. x ) e/ RR+ ) ) /\ ( y e. CC /\ ( ( y ^ 2 ) = A /\ 0 <_ ( Re ` y ) /\ ( _i x. y ) e/ RR+ ) ) ) -> ( ( x ^ 2 ) = ( y ^ 2 ) <-> ( x = y \/ x = -u y ) ) )
6	3, 5	mpbid 222	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. CC /\ ( ( x ^ 2 ) = A /\ 0 <_ ( Re ` x ) /\ ( _i x. x ) e/ RR+ ) ) /\ ( y e. CC /\ ( ( y ^ 2 ) = A /\ 0 <_ ( Re ` y ) /\ ( _i x. y ) e/ RR+ ) ) ) -> ( x = y \/ x = -u y ) )
7	6	ord 392	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. CC /\ ( ( x ^ 2 ) = A /\ 0 <_ ( Re ` x ) /\ ( _i x. x ) e/ RR+ ) ) /\ ( y e. CC /\ ( ( y ^ 2 ) = A /\ 0 <_ ( Re ` y ) /\ ( _i x. y ) e/ RR+ ) ) ) -> ( -. x = y -> x = -u y ) )
8		3simpc 1060	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x ^ 2 ) = A /\ 0 <_ ( Re ` x ) /\ ( _i x. x ) e/ RR+ ) -> ( 0 <_ ( Re ` x ) /\ ( _i x. x ) e/ RR+ ) )
9		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = -u y -> ( Re ` x ) = ( Re ` -u y ) )
10	9	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = -u y -> ( 0 <_ ( Re ` x ) <-> 0 <_ ( Re ` -u y ) ) )
11		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = -u y -> ( _i x. x ) = ( _i x. -u y ) )
12		neleq1 2902	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( _i x. x ) = ( _i x. -u y ) -> ( ( _i x. x ) e/ RR+ <-> ( _i x. -u y ) e/ RR+ ) )
13	11, 12	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = -u y -> ( ( _i x. x ) e/ RR+ <-> ( _i x. -u y ) e/ RR+ ) )
14	10, 13	anbi12d 747	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = -u y -> ( ( 0 <_ ( Re ` x ) /\ ( _i x. x ) e/ RR+ ) <-> ( 0 <_ ( Re ` -u y ) /\ ( _i x. -u y ) e/ RR+ ) ) )
15	8, 14	syl5ibcom 235	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x ^ 2 ) = A /\ 0 <_ ( Re ` x ) /\ ( _i x. x ) e/ RR+ ) -> ( x = -u y -> ( 0 <_ ( Re ` -u y ) /\ ( _i x. -u y ) e/ RR+ ) ) )
16	15	ad2antlr 763	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. CC /\ ( ( x ^ 2 ) = A /\ 0 <_ ( Re ` x ) /\ ( _i x. x ) e/ RR+ ) ) /\ ( y e. CC /\ ( ( y ^ 2 ) = A /\ 0 <_ ( Re ` y ) /\ ( _i x. y ) e/ RR+ ) ) ) -> ( x = -u y -> ( 0 <_ ( Re ` -u y ) /\ ( _i x. -u y ) e/ RR+ ) ) )
17	7, 16	syld 47	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. CC /\ ( ( x ^ 2 ) = A /\ 0 <_ ( Re ` x ) /\ ( _i x. x ) e/ RR+ ) ) /\ ( y e. CC /\ ( ( y ^ 2 ) = A /\ 0 <_ ( Re ` y ) /\ ( _i x. y ) e/ RR+ ) ) ) -> ( -. x = y -> ( 0 <_ ( Re ` -u y ) /\ ( _i x. -u y ) e/ RR+ ) ) )
18		negeq 10273	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = 0 -> -u y = -u 0 )
19		neg0 10327	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- -u 0 = 0
20	18, 19	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = 0 -> -u y = 0 )
21	20	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = 0 -> ( x = -u y <-> x = 0 ) )
22		eqeq2 2633	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = 0 -> ( x = y <-> x = 0 ) )
23	21, 22	bitr4d 271	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = 0 -> ( x = -u y <-> x = y ) )
24	23	biimpcd 239	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = -u y -> ( y = 0 -> x = y ) )
25	24	necon3bd 2808	. . . . . . . . . 10 |- ( x = -u y -> ( -. x = y -> y =/= 0 ) )
26	7, 25	syli 39	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. CC /\ ( ( x ^ 2 ) = A /\ 0 <_ ( Re ` x ) /\ ( _i x. x ) e/ RR+ ) ) /\ ( y e. CC /\ ( ( y ^ 2 ) = A /\ 0 <_ ( Re ` y ) /\ ( _i x. y ) e/ RR+ ) ) ) -> ( -. x = y -> y =/= 0 ) )
27		3simpc 1060	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( y ^ 2 ) = A /\ 0 <_ ( Re ` y ) /\ ( _i x. y ) e/ RR+ ) -> ( 0 <_ ( Re ` y ) /\ ( _i x. y ) e/ RR+ ) )
28		cnpart 13980	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. CC /\ y =/= 0 ) -> ( ( 0 <_ ( Re ` y ) /\ ( _i x. y ) e/ RR+ ) <-> -. ( 0 <_ ( Re ` -u y ) /\ ( _i x. -u y ) e/ RR+ ) ) )
29	27, 28	syl5ib 234	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. CC /\ y =/= 0 ) -> ( ( ( y ^ 2 ) = A /\ 0 <_ ( Re ` y ) /\ ( _i x. y ) e/ RR+ ) -> -. ( 0 <_ ( Re ` -u y ) /\ ( _i x. -u y ) e/ RR+ ) ) )
30	29	impancom 456	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. CC /\ ( ( y ^ 2 ) = A /\ 0 <_ ( Re ` y ) /\ ( _i x. y ) e/ RR+ ) ) -> ( y =/= 0 -> -. ( 0 <_ ( Re ` -u y ) /\ ( _i x. -u y ) e/ RR+ ) ) )
31	30	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. CC /\ ( ( x ^ 2 ) = A /\ 0 <_ ( Re ` x ) /\ ( _i x. x ) e/ RR+ ) ) /\ ( y e. CC /\ ( ( y ^ 2 ) = A /\ 0 <_ ( Re ` y ) /\ ( _i x. y ) e/ RR+ ) ) ) -> ( y =/= 0 -> -. ( 0 <_ ( Re ` -u y ) /\ ( _i x. -u y ) e/ RR+ ) ) )
32	26, 31	syld 47	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. CC /\ ( ( x ^ 2 ) = A /\ 0 <_ ( Re ` x ) /\ ( _i x. x ) e/ RR+ ) ) /\ ( y e. CC /\ ( ( y ^ 2 ) = A /\ 0 <_ ( Re ` y ) /\ ( _i x. y ) e/ RR+ ) ) ) -> ( -. x = y -> -. ( 0 <_ ( Re ` -u y ) /\ ( _i x. -u y ) e/ RR+ ) ) )
33	17, 32	pm2.65d 187	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. CC /\ ( ( x ^ 2 ) = A /\ 0 <_ ( Re ` x ) /\ ( _i x. x ) e/ RR+ ) ) /\ ( y e. CC /\ ( ( y ^ 2 ) = A /\ 0 <_ ( Re ` y ) /\ ( _i x. y ) e/ RR+ ) ) ) -> -. -. x = y )
34	33	notnotrd 128	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. CC /\ ( ( x ^ 2 ) = A /\ 0 <_ ( Re ` x ) /\ ( _i x. x ) e/ RR+ ) ) /\ ( y e. CC /\ ( ( y ^ 2 ) = A /\ 0 <_ ( Re ` y ) /\ ( _i x. y ) e/ RR+ ) ) ) -> x = y )
35	34	an4s 869	. . . . 5 |- ( ( ( x e. CC /\ y e. CC ) /\ ( ( ( x ^ 2 ) = A /\ 0 <_ ( Re ` x ) /\ ( _i x. x ) e/ RR+ ) /\ ( ( y ^ 2 ) = A /\ 0 <_ ( Re ` y ) /\ ( _i x. y ) e/ RR+ ) ) ) -> x = y )
36	35	ex 450	. . . 4 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( ( ( ( x ^ 2 ) = A /\ 0 <_ ( Re ` x ) /\ ( _i x. x ) e/ RR+ ) /\ ( ( y ^ 2 ) = A /\ 0 <_ ( Re ` y ) /\ ( _i x. y ) e/ RR+ ) ) -> x = y ) )
37	36	a1i 11	. . 3 |- ( A e. CC -> ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( ( ( ( x ^ 2 ) = A /\ 0 <_ ( Re ` x ) /\ ( _i x. x ) e/ RR+ ) /\ ( ( y ^ 2 ) = A /\ 0 <_ ( Re ` y ) /\ ( _i x. y ) e/ RR+ ) ) -> x = y ) ) )
38	37	ralrimivv 2970	. 2 |- ( A e. CC -> A. x e. CC A. y e. CC ( ( ( ( x ^ 2 ) = A /\ 0 <_ ( Re ` x ) /\ ( _i x. x ) e/ RR+ ) /\ ( ( y ^ 2 ) = A /\ 0 <_ ( Re ` y ) /\ ( _i x. y ) e/ RR+ ) ) -> x = y ) )
39		oveq1 6657	. . . . 5 |- ( x = y -> ( x ^ 2 ) = ( y ^ 2 ) )
40	39	eqeq1d 2624	. . . 4 |- ( x = y -> ( ( x ^ 2 ) = A <-> ( y ^ 2 ) = A ) )
41		fveq2 6191	. . . . 5 |- ( x = y -> ( Re ` x ) = ( Re ` y ) )
42	41	breq2d 4665	. . . 4 |- ( x = y -> ( 0 <_ ( Re ` x ) <-> 0 <_ ( Re ` y ) ) )
43		oveq2 6658	. . . . 5 |- ( x = y -> ( _i x. x ) = ( _i x. y ) )
44		neleq1 2902	. . . . 5 |- ( ( _i x. x ) = ( _i x. y ) -> ( ( _i x. x ) e/ RR+ <-> ( _i x. y ) e/ RR+ ) )
45	43, 44	syl 17	. . . 4 |- ( x = y -> ( ( _i x. x ) e/ RR+ <-> ( _i x. y ) e/ RR+ ) )
46	40, 42, 45	3anbi123d 1399	. . 3 |- ( x = y -> ( ( ( x ^ 2 ) = A /\ 0 <_ ( Re ` x ) /\ ( _i x. x ) e/ RR+ ) <-> ( ( y ^ 2 ) = A /\ 0 <_ ( Re ` y ) /\ ( _i x. y ) e/ RR+ ) ) )
47	46	rmo4 3399	. 2 |- ( E* x e. CC ( ( x ^ 2 ) = A /\ 0 <_ ( Re ` x ) /\ ( _i x. x ) e/ RR+ ) <-> A. x e. CC A. y e. CC ( ( ( ( x ^ 2 ) = A /\ 0 <_ ( Re ` x ) /\ ( _i x. x ) e/ RR+ ) /\ ( ( y ^ 2 ) = A /\ 0 <_ ( Re ` y ) /\ ( _i x. y ) e/ RR+ ) ) -> x = y ) )
48	38, 47	sylibr 224	1 |- ( A e. CC -> E* x e. CC ( ( x ^ 2 ) = A /\ 0 <_ ( Re ` x ) /\ ( _i x. x ) e/ RR+ ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   e/ wnel 2897   A.wral 2912   E*wrmo 2915   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   0cc0 9936   _ici 9938   x. cmul 9941   <_ cle 10075   -ucneg 10267   2c2 11070   RR+crp 11832   ^cexp 12860   Recre 13837

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841

This theorem is referenced by:  resqreu  13993  sqrtneg  14008  sqreu  14100