Theorem resspsrmul 19417

Description: A restricted power series algebra has the same multiplication operation. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
resspsr.s	|- S = ( I mPwSer R )
resspsr.h	|- H = ( R ↾s T )
resspsr.u	|- U = ( I mPwSer H )
resspsr.b	|- B = ( Base ` U )
resspsr.p	|- P = ( S ↾s B )
resspsr.2	|- ( ph -> T e. (SubRing ` R ) )

Assertion

Ref	Expression
resspsrmul	|- ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( X ( .r ` U ) Y ) = ( X ( .r ` P ) Y ) )

Proof of Theorem resspsrmul

Dummy variables x k f y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reldmpsr 19361	. . . . . . . . . 10 |- Rel dom mPwSer
2		resspsr.u	. . . . . . . . . 10 |- U = ( I mPwSer H )
3		resspsr.b	. . . . . . . . . 10 |- B = ( Base ` U )
4	1, 2, 3	elbasov 15921	. . . . . . . . 9 |- ( X e. B -> ( I e. _V /\ H e. _V ) )
5	4	ad2antrl 764	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( I e. _V /\ H e. _V ) )
6	5	simpld 475	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> I e. _V )
7		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
8	7	psrbaglefi 19372	. . . . . . 7 |- ( ( I e. _V /\ k e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) -> { y e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } | y oR <_ k } e. Fin )
9	6, 8	sylan 488	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) /\ k e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) -> { y e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } | y oR <_ k } e. Fin )
10		resspsr.2	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> T e. (SubRing ` R ) )
11		subrgsubg 18786	. . . . . . . . 9 |- ( T e. (SubRing ` R ) -> T e. (SubGrp ` R ) )
12	10, 11	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> T e. (SubGrp ` R ) )
13		subgsubm 17616	. . . . . . . 8 |- ( T e. (SubGrp ` R ) -> T e. (SubMnd ` R ) )
14	12, 13	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> T e. (SubMnd ` R ) )
15	14	ad2antrr 762	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) /\ k e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) -> T e. (SubMnd ` R ) )
16	10	ad3antrrr 766	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) /\ k e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) /\ x e. { y e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } | y oR <_ k } ) -> T e. (SubRing ` R ) )
17		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Base ` H ) = ( Base ` H )
18		simprl 794	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> X e. B )
19	2, 17, 7, 3, 18	psrelbas 19379	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> X : { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } --> ( Base ` H ) )
20	19	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) /\ k e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) -> X : { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } --> ( Base ` H ) )
21		elrabi 3359	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. { y e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } | y oR <_ k } -> x e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } )
22		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . 10 |- ( ( X : { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } --> ( Base ` H ) /\ x e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) -> ( X ` x ) e. ( Base ` H ) )
23	20, 21, 22	syl2an 494	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) /\ k e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) /\ x e. { y e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } | y oR <_ k } ) -> ( X ` x ) e. ( Base ` H ) )
24		resspsr.h	. . . . . . . . . . 11 |- H = ( R ↾s T )
25	24	subrgbas 18789	. . . . . . . . . 10 |- ( T e. (SubRing ` R ) -> T = ( Base ` H ) )
26	16, 25	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) /\ k e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) /\ x e. { y e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } | y oR <_ k } ) -> T = ( Base ` H ) )
27	23, 26	eleqtrrd 2704	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) /\ k e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) /\ x e. { y e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } | y oR <_ k } ) -> ( X ` x ) e. T )
28		simprr 796	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> Y e. B )
29	2, 17, 7, 3, 28	psrelbas 19379	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> Y : { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } --> ( Base ` H ) )
30	29	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) /\ k e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) /\ x e. { y e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } | y oR <_ k } ) -> Y : { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } --> ( Base ` H ) )
31		ssrab2 3687	. . . . . . . . . . 11 |- { y e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } | y oR <_ k } C_ { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
32	6	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) /\ k e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) /\ x e. { y e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } | y oR <_ k } ) -> I e. _V )
33		simplr 792	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) /\ k e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) /\ x e. { y e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } | y oR <_ k } ) -> k e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } )
34		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) /\ k e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) /\ x e. { y e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } | y oR <_ k } ) -> x e. { y e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } | y oR <_ k } )
35		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 |- { y e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } | y oR <_ k } = { y e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } | y oR <_ k }
36	7, 35	psrbagconcl 19373	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( I e. _V /\ k e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } /\ x e. { y e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } | y oR <_ k } ) -> ( k oF - x ) e. { y e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } | y oR <_ k } )
37	32, 33, 34, 36	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) /\ k e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) /\ x e. { y e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } | y oR <_ k } ) -> ( k oF - x ) e. { y e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } | y oR <_ k } )
38	31, 37	sseldi 3601	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) /\ k e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) /\ x e. { y e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } | y oR <_ k } ) -> ( k oF - x ) e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } )
39	30, 38	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) /\ k e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) /\ x e. { y e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } | y oR <_ k } ) -> ( Y ` ( k oF - x ) ) e. ( Base ` H ) )
40	39, 26	eleqtrrd 2704	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) /\ k e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) /\ x e. { y e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } | y oR <_ k } ) -> ( Y ` ( k oF - x ) ) e. T )
41		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
42	41	subrgmcl 18792	. . . . . . . 8 |- ( ( T e. (SubRing ` R ) /\ ( X ` x ) e. T /\ ( Y ` ( k oF - x ) ) e. T ) -> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) e. T )
43	16, 27, 40, 42	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) /\ k e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) /\ x e. { y e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } | y oR <_ k } ) -> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) e. T )
44		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( x e. { y e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) = ( x e. { y e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) )
45	43, 44	fmptd 6385	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) /\ k e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) -> ( x e. { y e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) : { y e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } | y oR <_ k } --> T )
46	9, 15, 45, 24	gsumsubm 17373	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) /\ k e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) -> ( R gsumg ( x e. { y e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) ) = ( H gsumg ( x e. { y e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) ) )
47	24, 41	ressmulr 16006	. . . . . . . . . 10 |- ( T e. (SubRing ` R ) -> ( .r ` R ) = ( .r ` H ) )
48	10, 47	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( .r ` R ) = ( .r ` H ) )
49	48	ad3antrrr 766	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) /\ k e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) /\ x e. { y e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } | y oR <_ k } ) -> ( .r ` R ) = ( .r ` H ) )
50	49	oveqd 6667	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) /\ k e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) /\ x e. { y e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } | y oR <_ k } ) -> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) = ( ( X ` x ) ( .r ` H ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) )
51	50	mpteq2dva 4744	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) /\ k e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) -> ( x e. { y e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) = ( x e. { y e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` H ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) )
52	51	oveq2d 6666	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) /\ k e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) -> ( H gsumg ( x e. { y e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) ) = ( H gsumg ( x e. { y e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` H ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) ) )
53	46, 52	eqtrd 2656	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) /\ k e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) -> ( R gsumg ( x e. { y e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) ) = ( H gsumg ( x e. { y e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` H ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) ) )
54	53	mpteq2dva 4744	. . 3 |- ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( k e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } |-> ( R gsumg ( x e. { y e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) = ( k e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } |-> ( H gsumg ( x e. { y e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` H ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) )
55		resspsr.s	. . . 4 |- S = ( I mPwSer R )
56		eqid 2622	. . . 4 |- ( Base ` S ) = ( Base ` S )
57		eqid 2622	. . . 4 |- ( .r ` S ) = ( .r ` S )
58		fvex 6201	. . . . . . . 8 |- ( Base ` R ) e. _V
59	10, 25	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> T = ( Base ` H ) )
60		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
61	60	subrgss 18781	. . . . . . . . . 10 |- ( T e. (SubRing ` R ) -> T C_ ( Base ` R ) )
62	10, 61	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> T C_ ( Base ` R ) )
63	59, 62	eqsstr3d 3640	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( Base ` H ) C_ ( Base ` R ) )
64		mapss 7900	. . . . . . . 8 |- ( ( ( Base ` R ) e. _V /\ ( Base ` H ) C_ ( Base ` R ) ) -> ( ( Base ` H ) ^m { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) C_ ( ( Base ` R ) ^m { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) )
65	58, 63, 64	sylancr 695	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( Base ` H ) ^m { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) C_ ( ( Base ` R ) ^m { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) )
66	65	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( Base ` H ) ^m { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) C_ ( ( Base ` R ) ^m { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) )
67	2, 17, 7, 3, 6	psrbas 19378	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> B = ( ( Base ` H ) ^m { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) )
68	55, 60, 7, 56, 6	psrbas 19378	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( Base ` S ) = ( ( Base ` R ) ^m { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) )
69	66, 67, 68	3sstr4d 3648	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> B C_ ( Base ` S ) )
70	69, 18	sseldd 3604	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> X e. ( Base ` S ) )
71	69, 28	sseldd 3604	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> Y e. ( Base ` S ) )
72	55, 56, 41, 57, 7, 70, 71	psrmulfval 19385	. . 3 |- ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( X ( .r ` S ) Y ) = ( k e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } |-> ( R gsumg ( x e. { y e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) )
73		eqid 2622	. . . 4 |- ( .r ` H ) = ( .r ` H )
74		eqid 2622	. . . 4 |- ( .r ` U ) = ( .r ` U )
75	2, 3, 73, 74, 7, 18, 28	psrmulfval 19385	. . 3 |- ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( X ( .r ` U ) Y ) = ( k e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } |-> ( H gsumg ( x e. { y e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` H ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) )
76	54, 72, 75	3eqtr4rd 2667	. 2 |- ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( X ( .r ` U ) Y ) = ( X ( .r ` S ) Y ) )
77		fvex 6201	. . . . 5 |- ( Base ` U ) e. _V
78	3, 77	eqeltri 2697	. . . 4 |- B e. _V
79		resspsr.p	. . . . 5 |- P = ( S ↾s B )
80	79, 57	ressmulr 16006	. . . 4 |- ( B e. _V -> ( .r ` S ) = ( .r ` P ) )
81	78, 80	mp1i 13	. . 3 |- ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( .r ` S ) = ( .r ` P ) )
82	81	oveqd 6667	. 2 |- ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( X ( .r ` S ) Y ) = ( X ( .r ` P ) Y ) )
83	76, 82	eqtrd 2656	1 |- ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( X ( .r ` U ) Y ) = ( X ( .r ` P ) Y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   {crab 2916   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   `'ccnv 5113   "cima 5117   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   oFcof 6895   oRcofr 6896   ^m cmap 7857   Fincfn 7955   <_ cle 10075   - cmin 10266   NNcn 11020   NN0cn0 11292   Basecbs 15857   ↾_s cress 15858   .rcmulr 15942   gsum_g cgsu 16101  SubMndcsubmnd 17334  SubGrpcsubg 17588  SubRingcsubrg 18776   mPwSer cmps 19351

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-seq 12802  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-tset 15960  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-subg 17591  df-mgp 18490  df-ring 18549  df-subrg 18778  df-psr 19356

This theorem is referenced by:  subrgpsr  19419  ressmplmul  19458