Theorem psrmulfval 19385

Description: The multiplication operation of the multivariate power series structure. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrmulr.s	|- S = ( I mPwSer R )
psrmulr.b	|- B = ( Base ` S )
psrmulr.m	|- .x. = ( .r ` R )
psrmulr.t	|- .xb = ( .r ` S )
psrmulr.d	|- D = { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin }
psrmulfval.i	|- ( ph -> F e. B )
psrmulfval.r	|- ( ph -> G e. B )

Assertion

Ref	Expression
psrmulfval	|- ( ph -> ( F .xb G ) = ( k e. D |-> ( R gsumg ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( F ` x ) .x. ( G ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, k, B   y, k, D, x   h, k, x, y, I   ph, k, x   k, F, x   k, G, x   .x. , k, x   R, k, x

Allowed substitution hints:   ph( y, h)   B( y, h)   D( h)   R( y, h)   S( x, y, h, k)   .xb ( x, y, h, k)   .x. ( y, h)   F( y, h)   G( y, h)

Proof of Theorem psrmulfval

Dummy variables f g are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrmulfval.i	. 2 |- ( ph -> F e. B )
2		psrmulfval.r	. 2 |- ( ph -> G e. B )
3		fveq1 6190	. . . . . . 7 |- ( f = F -> ( f ` x ) = ( F ` x ) )
4		fveq1 6190	. . . . . . 7 |- ( g = G -> ( g ` ( k oF - x ) ) = ( G ` ( k oF - x ) ) )
5	3, 4	oveqan12d 6669	. . . . . 6 |- ( ( f = F /\ g = G ) -> ( ( f ` x ) .x. ( g ` ( k oF - x ) ) ) = ( ( F ` x ) .x. ( G ` ( k oF - x ) ) ) )
6	5	mpteq2dv 4745	. . . . 5 |- ( ( f = F /\ g = G ) -> ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( f ` x ) .x. ( g ` ( k oF - x ) ) ) ) = ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( F ` x ) .x. ( G ` ( k oF - x ) ) ) ) )
7	6	oveq2d 6666	. . . 4 |- ( ( f = F /\ g = G ) -> ( R gsumg ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( f ` x ) .x. ( g ` ( k oF - x ) ) ) ) ) = ( R gsumg ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( F ` x ) .x. ( G ` ( k oF - x ) ) ) ) ) )
8	7	mpteq2dv 4745	. . 3 |- ( ( f = F /\ g = G ) -> ( k e. D |-> ( R gsumg ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( f ` x ) .x. ( g ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) = ( k e. D |-> ( R gsumg ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( F ` x ) .x. ( G ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) )
9		psrmulr.s	. . . 4 |- S = ( I mPwSer R )
10		psrmulr.b	. . . 4 |- B = ( Base ` S )
11		psrmulr.m	. . . 4 |- .x. = ( .r ` R )
12		psrmulr.t	. . . 4 |- .xb = ( .r ` S )
13		psrmulr.d	. . . 4 |- D = { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin }
14	9, 10, 11, 12, 13	psrmulr 19384	. . 3 |- .xb = ( f e. B , g e. B |-> ( k e. D |-> ( R gsumg ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( f ` x ) .x. ( g ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) )
15		ovex 6678	. . . . 5 |- ( NN0 ^m I ) e. _V
16	13, 15	rabex2 4815	. . . 4 |- D e. _V
17	16	mptex 6486	. . 3 |- ( k e. D |-> ( R gsumg ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( F ` x ) .x. ( G ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) e. _V
18	8, 14, 17	ovmpt2a 6791	. 2 |- ( ( F e. B /\ G e. B ) -> ( F .xb G ) = ( k e. D |-> ( R gsumg ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( F ` x ) .x. ( G ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) )
19	1, 2, 18	syl2anc 693	1 |- ( ph -> ( F .xb G ) = ( k e. D |-> ( R gsumg ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( F ` x ) .x. ( G ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   {crab 2916   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   `'ccnv 5113   "cima 5117   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   oFcof 6895   oRcofr 6896   ^m cmap 7857   Fincfn 7955   <_ cle 10075   - cmin 10266   NNcn 11020   NN0cn0 11292   Basecbs 15857   .rcmulr 15942   gsum_g cgsu 16101   mPwSer cmps 19351

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-tset 15960  df-psr 19356

This theorem is referenced by:  psrmulval  19386  psrmulcllem  19387  psrdi  19406  psrdir  19407  psrass23l  19408  psrcom  19409  psrass23  19410  resspsrmul  19417  mplmul  19443  psropprmul  19608  coe1mul2  19639