Theorem rexfrabdioph 37359

Description: Diophantine set builder for existential quantifier, explicit substitution. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Oct-2014.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-May-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
rexfrabdioph.1	|- M = ( N + 1 )

Assertion

Ref	Expression
rexfrabdioph	|- ( ( N e. NN0 /\ { t e. ( NN0 ^m ( 1 ... M ) ) | [. ( t |` ( 1 ... N ) ) / u ]. [. ( t ` M ) / v ]. ph } e. (Dioph ` M ) ) -> { u e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) | E. v e. NN0 ph } e. (Dioph ` N ) )

Distinct variable groups:   u, t, v, M   t, N, u, v   ph, t

Allowed substitution hints:   ph( v, u)

Proof of Theorem rexfrabdioph

Dummy variables a b are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2764	. . 3 |- F/_ u ( NN0 ^m ( 1 ... N ) )
2		nfcv 2764	. . 3 |- F/_ a ( NN0 ^m ( 1 ... N ) )
3		nfv 1843	. . 3 |- F/ a E. v e. NN0 ph
4		nfcv 2764	. . . 4 |- F/_ u NN0
5		nfsbc1v 3455	. . . 4 |- F/ u [. a / u ]. [. b / v ]. ph
6	4, 5	nfrex 3007	. . 3 |- F/ u E. b e. NN0 [. a / u ]. [. b / v ]. ph
7		nfv 1843	. . . . 5 |- F/ b ph
8		nfsbc1v 3455	. . . . 5 |- F/ v [. b / v ]. ph
9		sbceq1a 3446	. . . . 5 |- ( v = b -> ( ph <-> [. b / v ]. ph ) )
10	7, 8, 9	cbvrex 3168	. . . 4 |- ( E. v e. NN0 ph <-> E. b e. NN0 [. b / v ]. ph )
11		sbceq1a 3446	. . . . 5 |- ( u = a -> ( [. b / v ]. ph <-> [. a / u ]. [. b / v ]. ph ) )
12	11	rexbidv 3052	. . . 4 |- ( u = a -> ( E. b e. NN0 [. b / v ]. ph <-> E. b e. NN0 [. a / u ]. [. b / v ]. ph ) )
13	10, 12	syl5bb 272	. . 3 |- ( u = a -> ( E. v e. NN0 ph <-> E. b e. NN0 [. a / u ]. [. b / v ]. ph ) )
14	1, 2, 3, 6, 13	cbvrab 3198	. 2 |- { u e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) | E. v e. NN0 ph } = { a e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) | E. b e. NN0 [. a / u ]. [. b / v ]. ph }
15		rexfrabdioph.1	. . 3 |- M = ( N + 1 )
16		dfsbcq 3437	. . . 4 |- ( b = ( t ` M ) -> ( [. b / v ]. ph <-> [. ( t ` M ) / v ]. ph ) )
17	16	sbcbidv 3490	. . 3 |- ( b = ( t ` M ) -> ( [. a / u ]. [. b / v ]. ph <-> [. a / u ]. [. ( t ` M ) / v ]. ph ) )
18		dfsbcq 3437	. . 3 |- ( a = ( t |` ( 1 ... N ) ) -> ( [. a / u ]. [. ( t ` M ) / v ]. ph <-> [. ( t |` ( 1 ... N ) ) / u ]. [. ( t ` M ) / v ]. ph ) )
19	15, 17, 18	rexrabdioph 37358	. 2 |- ( ( N e. NN0 /\ { t e. ( NN0 ^m ( 1 ... M ) ) | [. ( t |` ( 1 ... N ) ) / u ]. [. ( t ` M ) / v ]. ph } e. (Dioph ` M ) ) -> { a e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) | E. b e. NN0 [. a / u ]. [. b / v ]. ph } e. (Dioph ` N ) )
20	14, 19	syl5eqel 2705	1 |- ( ( N e. NN0 /\ { t e. ( NN0 ^m ( 1 ... M ) ) | [. ( t |` ( 1 ... N ) ) / u ]. [. ( t ` M ) / v ]. ph } e. (Dioph ` M ) ) -> { u e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) | E. v e. NN0 ph } e. (Dioph ` N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   E.wrex 2913   {crab 2916   [.wsbc 3435   |` cres 5116   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   1c1 9937   + caddc 9939   NN0cn0 11292   ...cfz 12326  Diophcdioph 37318

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-hash 13118  df-mzpcl 37286  df-mzp 37287  df-dioph 37319

This theorem is referenced by:  2rexfrabdioph  37360  3rexfrabdioph  37361  7rexfrabdioph  37364  rmxdioph  37583  expdiophlem2  37589