Theorem dvdsrabdioph 37374

Description: Divisibility is a Diophantine relation. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
dvdsrabdioph	|- ( ( N e. NN0 /\ ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) e. (mzPoly ` ( 1 ... N ) ) /\ ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> B ) e. (mzPoly ` ( 1 ... N ) ) ) -> { t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) | A || B } e. (Dioph ` N ) )

Distinct variable group:   t, N

Allowed substitution hints:   A( t)   B( t)

Proof of Theorem dvdsrabdioph

Dummy variables a b c are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rabdiophlem1 37365	. . . 4 |- ( ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) e. (mzPoly ` ( 1 ... N ) ) -> A. t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) A e. ZZ )
2		rabdiophlem1 37365	. . . 4 |- ( ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> B ) e. (mzPoly ` ( 1 ... N ) ) -> A. t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) B e. ZZ )
3		divides 14985	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A || B <-> E. a e. ZZ ( a x. A ) = B ) )
4		oveq1 6657	. . . . . . . . 9 |- ( a = b -> ( a x. A ) = ( b x. A ) )
5	4	eqeq1d 2624	. . . . . . . 8 |- ( a = b -> ( ( a x. A ) = B <-> ( b x. A ) = B ) )
6		oveq1 6657	. . . . . . . . 9 |- ( a = -u b -> ( a x. A ) = ( -u b x. A ) )
7	6	eqeq1d 2624	. . . . . . . 8 |- ( a = -u b -> ( ( a x. A ) = B <-> ( -u b x. A ) = B ) )
8	5, 7	rexzrexnn0 37368	. . . . . . 7 |- ( E. a e. ZZ ( a x. A ) = B <-> E. b e. NN0 ( ( b x. A ) = B \/ ( -u b x. A ) = B ) )
9	3, 8	syl6bb 276	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A || B <-> E. b e. NN0 ( ( b x. A ) = B \/ ( -u b x. A ) = B ) ) )
10	9	ralimi 2952	. . . . 5 |- ( A. t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> A. t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) ( A || B <-> E. b e. NN0 ( ( b x. A ) = B \/ ( -u b x. A ) = B ) ) )
11		r19.26 3064	. . . . 5 |- ( A. t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) <-> ( A. t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) A e. ZZ /\ A. t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) B e. ZZ ) )
12		rabbi 3120	. . . . 5 |- ( A. t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) ( A || B <-> E. b e. NN0 ( ( b x. A ) = B \/ ( -u b x. A ) = B ) ) <-> { t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) | A || B } = { t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) | E. b e. NN0 ( ( b x. A ) = B \/ ( -u b x. A ) = B ) } )
13	10, 11, 12	3imtr3i 280	. . . 4 |- ( ( A. t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) A e. ZZ /\ A. t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) B e. ZZ ) -> { t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) | A || B } = { t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) | E. b e. NN0 ( ( b x. A ) = B \/ ( -u b x. A ) = B ) } )
14	1, 2, 13	syl2an 494	. . 3 |- ( ( ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) e. (mzPoly ` ( 1 ... N ) ) /\ ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> B ) e. (mzPoly ` ( 1 ... N ) ) ) -> { t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) | A || B } = { t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) | E. b e. NN0 ( ( b x. A ) = B \/ ( -u b x. A ) = B ) } )
15	14	3adant1 1079	. 2 |- ( ( N e. NN0 /\ ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) e. (mzPoly ` ( 1 ... N ) ) /\ ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> B ) e. (mzPoly ` ( 1 ... N ) ) ) -> { t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) | A || B } = { t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) | E. b e. NN0 ( ( b x. A ) = B \/ ( -u b x. A ) = B ) } )
16		nfcv 2764	. . . 4 |- F/_ t ( NN0 ^m ( 1 ... N ) )
17		nfcv 2764	. . . 4 |- F/_ a ( NN0 ^m ( 1 ... N ) )
18		nfv 1843	. . . 4 |- F/ a E. b e. NN0 ( ( b x. A ) = B \/ ( -u b x. A ) = B )
19		nfcv 2764	. . . . 5 |- F/_ t NN0
20		nfcv 2764	. . . . . . . 8 |- F/_ t b
21		nfcv 2764	. . . . . . . 8 |- F/_ t x.
22		nfcsb1v 3549	. . . . . . . 8 |- F/_ t [_ a / t ]_ A
23	20, 21, 22	nfov 6676	. . . . . . 7 |- F/_ t ( b x. [_ a / t ]_ A )
24		nfcsb1v 3549	. . . . . . 7 |- F/_ t [_ a / t ]_ B
25	23, 24	nfeq 2776	. . . . . 6 |- F/ t ( b x. [_ a / t ]_ A ) = [_ a / t ]_ B
26		nfcv 2764	. . . . . . . 8 |- F/_ t -u b
27	26, 21, 22	nfov 6676	. . . . . . 7 |- F/_ t ( -u b x. [_ a / t ]_ A )
28	27, 24	nfeq 2776	. . . . . 6 |- F/ t ( -u b x. [_ a / t ]_ A ) = [_ a / t ]_ B
29	25, 28	nfor 1834	. . . . 5 |- F/ t ( ( b x. [_ a / t ]_ A ) = [_ a / t ]_ B \/ ( -u b x. [_ a / t ]_ A ) = [_ a / t ]_ B )
30	19, 29	nfrex 3007	. . . 4 |- F/ t E. b e. NN0 ( ( b x. [_ a / t ]_ A ) = [_ a / t ]_ B \/ ( -u b x. [_ a / t ]_ A ) = [_ a / t ]_ B )
31		csbeq1a 3542	. . . . . . . 8 |- ( t = a -> A = [_ a / t ]_ A )
32	31	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( t = a -> ( b x. A ) = ( b x. [_ a / t ]_ A ) )
33		csbeq1a 3542	. . . . . . 7 |- ( t = a -> B = [_ a / t ]_ B )
34	32, 33	eqeq12d 2637	. . . . . 6 |- ( t = a -> ( ( b x. A ) = B <-> ( b x. [_ a / t ]_ A ) = [_ a / t ]_ B ) )
35	31	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( t = a -> ( -u b x. A ) = ( -u b x. [_ a / t ]_ A ) )
36	35, 33	eqeq12d 2637	. . . . . 6 |- ( t = a -> ( ( -u b x. A ) = B <-> ( -u b x. [_ a / t ]_ A ) = [_ a / t ]_ B ) )
37	34, 36	orbi12d 746	. . . . 5 |- ( t = a -> ( ( ( b x. A ) = B \/ ( -u b x. A ) = B ) <-> ( ( b x. [_ a / t ]_ A ) = [_ a / t ]_ B \/ ( -u b x. [_ a / t ]_ A ) = [_ a / t ]_ B ) ) )
38	37	rexbidv 3052	. . . 4 |- ( t = a -> ( E. b e. NN0 ( ( b x. A ) = B \/ ( -u b x. A ) = B ) <-> E. b e. NN0 ( ( b x. [_ a / t ]_ A ) = [_ a / t ]_ B \/ ( -u b x. [_ a / t ]_ A ) = [_ a / t ]_ B ) ) )
39	16, 17, 18, 30, 38	cbvrab 3198	. . 3 |- { t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) | E. b e. NN0 ( ( b x. A ) = B \/ ( -u b x. A ) = B ) } = { a e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) | E. b e. NN0 ( ( b x. [_ a / t ]_ A ) = [_ a / t ]_ B \/ ( -u b x. [_ a / t ]_ A ) = [_ a / t ]_ B ) }
40		simp1 1061	. . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) e. (mzPoly ` ( 1 ... N ) ) /\ ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> B ) e. (mzPoly ` ( 1 ... N ) ) ) -> N e. NN0 )
41		peano2nn0 11333	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. NN0 )
42	41	3ad2ant1 1082	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) e. (mzPoly ` ( 1 ... N ) ) /\ ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> B ) e. (mzPoly ` ( 1 ... N ) ) ) -> ( N + 1 ) e. NN0 )
43		ovex 6678	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 ... ( N + 1 ) ) e. _V
44		nn0p1nn 11332	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. NN )
45		elfz1end 12371	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N + 1 ) e. NN <-> ( N + 1 ) e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) )
46	44, 45	sylib 208	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) )
47		mzpproj 37300	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 1 ... ( N + 1 ) ) e. _V /\ ( N + 1 ) e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( c e. ( ZZ ^m ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) |-> ( c ` ( N + 1 ) ) ) e. (mzPoly ` ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) )
48	43, 46, 47	sylancr 695	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 -> ( c e. ( ZZ ^m ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) |-> ( c ` ( N + 1 ) ) ) e. (mzPoly ` ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) )
49	48	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) e. (mzPoly ` ( 1 ... N ) ) ) -> ( c e. ( ZZ ^m ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) |-> ( c ` ( N + 1 ) ) ) e. (mzPoly ` ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) )
50		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( N + 1 ) = ( N + 1 )
51	50	rabdiophlem2 37366	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) e. (mzPoly ` ( 1 ... N ) ) ) -> ( c e. ( ZZ ^m ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) |-> [_ ( c |` ( 1 ... N ) ) / t ]_ A ) e. (mzPoly ` ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) )
52		mzpmulmpt 37305	. . . . . . . 8 |- ( ( ( c e. ( ZZ ^m ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) |-> ( c ` ( N + 1 ) ) ) e. (mzPoly ` ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) /\ ( c e. ( ZZ ^m ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) |-> [_ ( c |` ( 1 ... N ) ) / t ]_ A ) e. (mzPoly ` ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) ) -> ( c e. ( ZZ ^m ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) |-> ( ( c ` ( N + 1 ) ) x. [_ ( c |` ( 1 ... N ) ) / t ]_ A ) ) e. (mzPoly ` ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) )
53	49, 51, 52	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN0 /\ ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) e. (mzPoly ` ( 1 ... N ) ) ) -> ( c e. ( ZZ ^m ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) |-> ( ( c ` ( N + 1 ) ) x. [_ ( c |` ( 1 ... N ) ) / t ]_ A ) ) e. (mzPoly ` ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) )
54	53	3adant3 1081	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) e. (mzPoly ` ( 1 ... N ) ) /\ ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> B ) e. (mzPoly ` ( 1 ... N ) ) ) -> ( c e. ( ZZ ^m ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) |-> ( ( c ` ( N + 1 ) ) x. [_ ( c |` ( 1 ... N ) ) / t ]_ A ) ) e. (mzPoly ` ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) )
55	50	rabdiophlem2 37366	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN0 /\ ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> B ) e. (mzPoly ` ( 1 ... N ) ) ) -> ( c e. ( ZZ ^m ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) |-> [_ ( c |` ( 1 ... N ) ) / t ]_ B ) e. (mzPoly ` ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) )
56	55	3adant2 1080	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) e. (mzPoly ` ( 1 ... N ) ) /\ ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> B ) e. (mzPoly ` ( 1 ... N ) ) ) -> ( c e. ( ZZ ^m ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) |-> [_ ( c |` ( 1 ... N ) ) / t ]_ B ) e. (mzPoly ` ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) )
57		eqrabdioph 37341	. . . . . 6 |- ( ( ( N + 1 ) e. NN0 /\ ( c e. ( ZZ ^m ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) |-> ( ( c ` ( N + 1 ) ) x. [_ ( c |` ( 1 ... N ) ) / t ]_ A ) ) e. (mzPoly ` ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) /\ ( c e. ( ZZ ^m ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) |-> [_ ( c |` ( 1 ... N ) ) / t ]_ B ) e. (mzPoly ` ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) ) -> { c e. ( NN0 ^m ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) | ( ( c ` ( N + 1 ) ) x. [_ ( c |` ( 1 ... N ) ) / t ]_ A ) = [_ ( c |` ( 1 ... N ) ) / t ]_ B } e. (Dioph ` ( N + 1 ) ) )
58	42, 54, 56, 57	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) e. (mzPoly ` ( 1 ... N ) ) /\ ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> B ) e. (mzPoly ` ( 1 ... N ) ) ) -> { c e. ( NN0 ^m ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) | ( ( c ` ( N + 1 ) ) x. [_ ( c |` ( 1 ... N ) ) / t ]_ A ) = [_ ( c |` ( 1 ... N ) ) / t ]_ B } e. (Dioph ` ( N + 1 ) ) )
59		mzpnegmpt 37307	. . . . . . . . 9 |- ( ( c e. ( ZZ ^m ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) |-> ( c ` ( N + 1 ) ) ) e. (mzPoly ` ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( c e. ( ZZ ^m ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) |-> -u ( c ` ( N + 1 ) ) ) e. (mzPoly ` ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) )
60	49, 59	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) e. (mzPoly ` ( 1 ... N ) ) ) -> ( c e. ( ZZ ^m ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) |-> -u ( c ` ( N + 1 ) ) ) e. (mzPoly ` ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) )
61		mzpmulmpt 37305	. . . . . . . 8 |- ( ( ( c e. ( ZZ ^m ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) |-> -u ( c ` ( N + 1 ) ) ) e. (mzPoly ` ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) /\ ( c e. ( ZZ ^m ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) |-> [_ ( c |` ( 1 ... N ) ) / t ]_ A ) e. (mzPoly ` ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) ) -> ( c e. ( ZZ ^m ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) |-> ( -u ( c ` ( N + 1 ) ) x. [_ ( c |` ( 1 ... N ) ) / t ]_ A ) ) e. (mzPoly ` ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) )
62	60, 51, 61	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN0 /\ ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) e. (mzPoly ` ( 1 ... N ) ) ) -> ( c e. ( ZZ ^m ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) |-> ( -u ( c ` ( N + 1 ) ) x. [_ ( c |` ( 1 ... N ) ) / t ]_ A ) ) e. (mzPoly ` ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) )
63	62	3adant3 1081	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) e. (mzPoly ` ( 1 ... N ) ) /\ ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> B ) e. (mzPoly ` ( 1 ... N ) ) ) -> ( c e. ( ZZ ^m ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) |-> ( -u ( c ` ( N + 1 ) ) x. [_ ( c |` ( 1 ... N ) ) / t ]_ A ) ) e. (mzPoly ` ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) )
64		eqrabdioph 37341	. . . . . 6 |- ( ( ( N + 1 ) e. NN0 /\ ( c e. ( ZZ ^m ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) |-> ( -u ( c ` ( N + 1 ) ) x. [_ ( c |` ( 1 ... N ) ) / t ]_ A ) ) e. (mzPoly ` ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) /\ ( c e. ( ZZ ^m ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) |-> [_ ( c |` ( 1 ... N ) ) / t ]_ B ) e. (mzPoly ` ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) ) -> { c e. ( NN0 ^m ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) | ( -u ( c ` ( N + 1 ) ) x. [_ ( c |` ( 1 ... N ) ) / t ]_ A ) = [_ ( c |` ( 1 ... N ) ) / t ]_ B } e. (Dioph ` ( N + 1 ) ) )
65	42, 63, 56, 64	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) e. (mzPoly ` ( 1 ... N ) ) /\ ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> B ) e. (mzPoly ` ( 1 ... N ) ) ) -> { c e. ( NN0 ^m ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) | ( -u ( c ` ( N + 1 ) ) x. [_ ( c |` ( 1 ... N ) ) / t ]_ A ) = [_ ( c |` ( 1 ... N ) ) / t ]_ B } e. (Dioph ` ( N + 1 ) ) )
66		orrabdioph 37345	. . . . 5 |- ( ( { c e. ( NN0 ^m ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) | ( ( c ` ( N + 1 ) ) x. [_ ( c |` ( 1 ... N ) ) / t ]_ A ) = [_ ( c |` ( 1 ... N ) ) / t ]_ B } e. (Dioph ` ( N + 1 ) ) /\ { c e. ( NN0 ^m ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) | ( -u ( c ` ( N + 1 ) ) x. [_ ( c |` ( 1 ... N ) ) / t ]_ A ) = [_ ( c |` ( 1 ... N ) ) / t ]_ B } e. (Dioph ` ( N + 1 ) ) ) -> { c e. ( NN0 ^m ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) | ( ( ( c ` ( N + 1 ) ) x. [_ ( c |` ( 1 ... N ) ) / t ]_ A ) = [_ ( c |` ( 1 ... N ) ) / t ]_ B \/ ( -u ( c ` ( N + 1 ) ) x. [_ ( c |` ( 1 ... N ) ) / t ]_ A ) = [_ ( c |` ( 1 ... N ) ) / t ]_ B ) } e. (Dioph ` ( N + 1 ) ) )
67	58, 65, 66	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) e. (mzPoly ` ( 1 ... N ) ) /\ ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> B ) e. (mzPoly ` ( 1 ... N ) ) ) -> { c e. ( NN0 ^m ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) | ( ( ( c ` ( N + 1 ) ) x. [_ ( c |` ( 1 ... N ) ) / t ]_ A ) = [_ ( c |` ( 1 ... N ) ) / t ]_ B \/ ( -u ( c ` ( N + 1 ) ) x. [_ ( c |` ( 1 ... N ) ) / t ]_ A ) = [_ ( c |` ( 1 ... N ) ) / t ]_ B ) } e. (Dioph ` ( N + 1 ) ) )
68		oveq1 6657	. . . . . . 7 |- ( b = ( c ` ( N + 1 ) ) -> ( b x. [_ a / t ]_ A ) = ( ( c ` ( N + 1 ) ) x. [_ a / t ]_ A ) )
69	68	eqeq1d 2624	. . . . . 6 |- ( b = ( c ` ( N + 1 ) ) -> ( ( b x. [_ a / t ]_ A ) = [_ a / t ]_ B <-> ( ( c ` ( N + 1 ) ) x. [_ a / t ]_ A ) = [_ a / t ]_ B ) )
70		negeq 10273	. . . . . . . 8 |- ( b = ( c ` ( N + 1 ) ) -> -u b = -u ( c ` ( N + 1 ) ) )
71	70	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( b = ( c ` ( N + 1 ) ) -> ( -u b x. [_ a / t ]_ A ) = ( -u ( c ` ( N + 1 ) ) x. [_ a / t ]_ A ) )
72	71	eqeq1d 2624	. . . . . 6 |- ( b = ( c ` ( N + 1 ) ) -> ( ( -u b x. [_ a / t ]_ A ) = [_ a / t ]_ B <-> ( -u ( c ` ( N + 1 ) ) x. [_ a / t ]_ A ) = [_ a / t ]_ B ) )
73	69, 72	orbi12d 746	. . . . 5 |- ( b = ( c ` ( N + 1 ) ) -> ( ( ( b x. [_ a / t ]_ A ) = [_ a / t ]_ B \/ ( -u b x. [_ a / t ]_ A ) = [_ a / t ]_ B ) <-> ( ( ( c ` ( N + 1 ) ) x. [_ a / t ]_ A ) = [_ a / t ]_ B \/ ( -u ( c ` ( N + 1 ) ) x. [_ a / t ]_ A ) = [_ a / t ]_ B ) ) )
74		csbeq1 3536	. . . . . . . 8 |- ( a = ( c |` ( 1 ... N ) ) -> [_ a / t ]_ A = [_ ( c |` ( 1 ... N ) ) / t ]_ A )
75	74	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( a = ( c |` ( 1 ... N ) ) -> ( ( c ` ( N + 1 ) ) x. [_ a / t ]_ A ) = ( ( c ` ( N + 1 ) ) x. [_ ( c |` ( 1 ... N ) ) / t ]_ A ) )
76		csbeq1 3536	. . . . . . 7 |- ( a = ( c |` ( 1 ... N ) ) -> [_ a / t ]_ B = [_ ( c |` ( 1 ... N ) ) / t ]_ B )
77	75, 76	eqeq12d 2637	. . . . . 6 |- ( a = ( c |` ( 1 ... N ) ) -> ( ( ( c ` ( N + 1 ) ) x. [_ a / t ]_ A ) = [_ a / t ]_ B <-> ( ( c ` ( N + 1 ) ) x. [_ ( c |` ( 1 ... N ) ) / t ]_ A ) = [_ ( c |` ( 1 ... N ) ) / t ]_ B ) )
78	74	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( a = ( c |` ( 1 ... N ) ) -> ( -u ( c ` ( N + 1 ) ) x. [_ a / t ]_ A ) = ( -u ( c ` ( N + 1 ) ) x. [_ ( c |` ( 1 ... N ) ) / t ]_ A ) )
79	78, 76	eqeq12d 2637	. . . . . 6 |- ( a = ( c |` ( 1 ... N ) ) -> ( ( -u ( c ` ( N + 1 ) ) x. [_ a / t ]_ A ) = [_ a / t ]_ B <-> ( -u ( c ` ( N + 1 ) ) x. [_ ( c |` ( 1 ... N ) ) / t ]_ A ) = [_ ( c |` ( 1 ... N ) ) / t ]_ B ) )
80	77, 79	orbi12d 746	. . . . 5 |- ( a = ( c |` ( 1 ... N ) ) -> ( ( ( ( c ` ( N + 1 ) ) x. [_ a / t ]_ A ) = [_ a / t ]_ B \/ ( -u ( c ` ( N + 1 ) ) x. [_ a / t ]_ A ) = [_ a / t ]_ B ) <-> ( ( ( c ` ( N + 1 ) ) x. [_ ( c |` ( 1 ... N ) ) / t ]_ A ) = [_ ( c |` ( 1 ... N ) ) / t ]_ B \/ ( -u ( c ` ( N + 1 ) ) x. [_ ( c |` ( 1 ... N ) ) / t ]_ A ) = [_ ( c |` ( 1 ... N ) ) / t ]_ B ) ) )
81	50, 73, 80	rexrabdioph 37358	. . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ { c e. ( NN0 ^m ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) | ( ( ( c ` ( N + 1 ) ) x. [_ ( c |` ( 1 ... N ) ) / t ]_ A ) = [_ ( c |` ( 1 ... N ) ) / t ]_ B \/ ( -u ( c ` ( N + 1 ) ) x. [_ ( c |` ( 1 ... N ) ) / t ]_ A ) = [_ ( c |` ( 1 ... N ) ) / t ]_ B ) } e. (Dioph ` ( N + 1 ) ) ) -> { a e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) | E. b e. NN0 ( ( b x. [_ a / t ]_ A ) = [_ a / t ]_ B \/ ( -u b x. [_ a / t ]_ A ) = [_ a / t ]_ B ) } e. (Dioph ` N ) )
82	40, 67, 81	syl2anc 693	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) e. (mzPoly ` ( 1 ... N ) ) /\ ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> B ) e. (mzPoly ` ( 1 ... N ) ) ) -> { a e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) | E. b e. NN0 ( ( b x. [_ a / t ]_ A ) = [_ a / t ]_ B \/ ( -u b x. [_ a / t ]_ A ) = [_ a / t ]_ B ) } e. (Dioph ` N ) )
83	39, 82	syl5eqel 2705	. 2 |- ( ( N e. NN0 /\ ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) e. (mzPoly ` ( 1 ... N ) ) /\ ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> B ) e. (mzPoly ` ( 1 ... N ) ) ) -> { t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) | E. b e. NN0 ( ( b x. A ) = B \/ ( -u b x. A ) = B ) } e. (Dioph ` N ) )
84	15, 83	eqeltrd 2701	1 |- ( ( N e. NN0 /\ ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) e. (mzPoly ` ( 1 ... N ) ) /\ ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> B ) e. (mzPoly ` ( 1 ... N ) ) ) -> { t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) | A || B } e. (Dioph ` N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   [_csb 3533   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   |` cres 5116   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   -ucneg 10267   NNcn 11020   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ...cfz 12326   || cdvds 14983  mzPolycmzp 37285  Diophcdioph 37318

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-hash 13118  df-dvds 14984  df-mzpcl 37286  df-mzp 37287  df-dioph 37319

This theorem is referenced by:  rmydioph  37581  expdiophlem2  37589