Theorem rmodislmodlem 18930

Description: Lemma for rmodislmod 18931. This is the part of the proof of rmodislmod 18931 which requires the scalar ring to be commutative. (Contributed by AV, 3-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
rmodislmod.v	|- V = ( Base ` R )
rmodislmod.a	|- .+ = ( +g ` R )
rmodislmod.s	|- .x. = ( .s ` R )
rmodislmod.f	|- F = (Scalar ` R )
rmodislmod.k	|- K = ( Base ` F )
rmodislmod.p	|- .+^ = ( +g ` F )
rmodislmod.t	|- .X. = ( .r ` F )
rmodislmod.u	|- .1. = ( 1r ` F )
rmodislmod.r	|- ( R e. Grp /\ F e. Ring /\ A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( ( ( w .x. r ) e. V /\ ( ( w .+ x ) .x. r ) = ( ( w .x. r ) .+ ( x .x. r ) ) /\ ( w .x. ( q .+^ r ) ) = ( ( w .x. q ) .+ ( w .x. r ) ) ) /\ ( ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) /\ ( w .x. .1. ) = w ) ) )
rmodislmod.m	|- .* = ( s e. K , v e. V |-> ( v .x. s ) )
rmodislmod.l	|- L = ( R sSet <. ( .s ` ndx ) , .* >. )

Assertion

Ref	Expression
rmodislmodlem	|- ( ( F e. CRing /\ ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) ) -> ( ( a .X. b ) .* c ) = ( a .* ( b .* c ) ) )

Distinct variable groups:   .X. , q, r, w, x   .X. , s, v   .x. , q, r, w, x   .x. , s, v   K, q, r, x   K, s, v   V, q, r, w, x   V, s, v   r, a, w   s, a, v   q, b, r, w   s, b, v   s, c, v   w, c

Allowed substitution hints:   .+ ( x, w, v, s, r, q, a, b, c)   .+^ ( x, w, v, s, r, q, a, b, c)   R( x, w, v, s, r, q, a, b, c)   .x. ( a, b, c)   .X. ( a, b, c)   .1. ( x, w, v, s, r, q, a, b, c)   F( x, w, v, s, r, q, a, b, c)   .* ( x, w, v, s, r, q, a, b, c)   K( w, a, b, c)   L( x, w, v, s, r, q, a, b, c)   V( a, b, c)

Proof of Theorem rmodislmodlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rmodislmod.r	. . . . 5 |- ( R e. Grp /\ F e. Ring /\ A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( ( ( w .x. r ) e. V /\ ( ( w .+ x ) .x. r ) = ( ( w .x. r ) .+ ( x .x. r ) ) /\ ( w .x. ( q .+^ r ) ) = ( ( w .x. q ) .+ ( w .x. r ) ) ) /\ ( ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) /\ ( w .x. .1. ) = w ) ) )
2		simprl 794	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( w .x. r ) e. V /\ ( ( w .+ x ) .x. r ) = ( ( w .x. r ) .+ ( x .x. r ) ) /\ ( w .x. ( q .+^ r ) ) = ( ( w .x. q ) .+ ( w .x. r ) ) ) /\ ( ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) /\ ( w .x. .1. ) = w ) ) -> ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) )
3	2	2ralimi 2953	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. V A. w e. V ( ( ( w .x. r ) e. V /\ ( ( w .+ x ) .x. r ) = ( ( w .x. r ) .+ ( x .x. r ) ) /\ ( w .x. ( q .+^ r ) ) = ( ( w .x. q ) .+ ( w .x. r ) ) ) /\ ( ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) /\ ( w .x. .1. ) = w ) ) -> A. x e. V A. w e. V ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) )
4	3	2ralimi 2953	. . . . . . 7 |- ( A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( ( ( w .x. r ) e. V /\ ( ( w .+ x ) .x. r ) = ( ( w .x. r ) .+ ( x .x. r ) ) /\ ( w .x. ( q .+^ r ) ) = ( ( w .x. q ) .+ ( w .x. r ) ) ) /\ ( ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) /\ ( w .x. .1. ) = w ) ) -> A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) )
5		ralrot3 3102	. . . . . . . . 9 |- ( A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) <-> A. x e. V A. q e. K A. r e. K A. w e. V ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) )
6		rmodislmod.v	. . . . . . . . . . . . . 14 |- V = ( Base ` R )
7	6	grpbn0 17451	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( R e. Grp -> V =/= (/) )
8	7	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. Grp /\ F e. Ring /\ A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( ( ( w .x. r ) e. V /\ ( ( w .+ x ) .x. r ) = ( ( w .x. r ) .+ ( x .x. r ) ) /\ ( w .x. ( q .+^ r ) ) = ( ( w .x. q ) .+ ( w .x. r ) ) ) /\ ( ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) /\ ( w .x. .1. ) = w ) ) ) -> V =/= (/) )
9	1, 8	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- V =/= (/)
10		rspn0 3934	. . . . . . . . . . 11 |- ( V =/= (/) -> ( A. x e. V A. q e. K A. r e. K A. w e. V ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) -> A. q e. K A. r e. K A. w e. V ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) ) )
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( A. x e. V A. q e. K A. r e. K A. w e. V ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) -> A. q e. K A. r e. K A. w e. V ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) )
12		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( q = b -> ( q .X. r ) = ( b .X. r ) )
13	12	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( q = b -> ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( w .x. ( b .X. r ) ) )
14		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( q = b -> ( w .x. q ) = ( w .x. b ) )
15	14	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( q = b -> ( ( w .x. q ) .x. r ) = ( ( w .x. b ) .x. r ) )
16	13, 15	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . 12 |- ( q = b -> ( ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) <-> ( w .x. ( b .X. r ) ) = ( ( w .x. b ) .x. r ) ) )
17		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( r = a -> ( b .X. r ) = ( b .X. a ) )
18	17	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( r = a -> ( w .x. ( b .X. r ) ) = ( w .x. ( b .X. a ) ) )
19		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( r = a -> ( ( w .x. b ) .x. r ) = ( ( w .x. b ) .x. a ) )
20	18, 19	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . 12 |- ( r = a -> ( ( w .x. ( b .X. r ) ) = ( ( w .x. b ) .x. r ) <-> ( w .x. ( b .X. a ) ) = ( ( w .x. b ) .x. a ) ) )
21		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = c -> ( w .x. ( b .X. a ) ) = ( c .x. ( b .X. a ) ) )
22		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w = c -> ( w .x. b ) = ( c .x. b ) )
23	22	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = c -> ( ( w .x. b ) .x. a ) = ( ( c .x. b ) .x. a ) )
24	21, 23	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = c -> ( ( w .x. ( b .X. a ) ) = ( ( w .x. b ) .x. a ) <-> ( c .x. ( b .X. a ) ) = ( ( c .x. b ) .x. a ) ) )
25	16, 20, 24	rspc3v 3325	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( b e. K /\ a e. K /\ c e. V ) -> ( A. q e. K A. r e. K A. w e. V ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) -> ( c .x. ( b .X. a ) ) = ( ( c .x. b ) .x. a ) ) )
26	25	3com12 1269	. . . . . . . . . 10 |- ( ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) -> ( A. q e. K A. r e. K A. w e. V ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) -> ( c .x. ( b .X. a ) ) = ( ( c .x. b ) .x. a ) ) )
27	11, 26	syl5com 31	. . . . . . . . 9 |- ( A. x e. V A. q e. K A. r e. K A. w e. V ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) -> ( ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) -> ( c .x. ( b .X. a ) ) = ( ( c .x. b ) .x. a ) ) )
28	5, 27	sylbi 207	. . . . . . . 8 |- ( A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) -> ( ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) -> ( c .x. ( b .X. a ) ) = ( ( c .x. b ) .x. a ) ) )
29		eqcom 2629	. . . . . . . 8 |- ( ( ( c .x. b ) .x. a ) = ( c .x. ( b .X. a ) ) <-> ( c .x. ( b .X. a ) ) = ( ( c .x. b ) .x. a ) )
30	28, 29	syl6ibr 242	. . . . . . 7 |- ( A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) -> ( ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) -> ( ( c .x. b ) .x. a ) = ( c .x. ( b .X. a ) ) ) )
31	4, 30	syl 17	. . . . . 6 |- ( A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( ( ( w .x. r ) e. V /\ ( ( w .+ x ) .x. r ) = ( ( w .x. r ) .+ ( x .x. r ) ) /\ ( w .x. ( q .+^ r ) ) = ( ( w .x. q ) .+ ( w .x. r ) ) ) /\ ( ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) /\ ( w .x. .1. ) = w ) ) -> ( ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) -> ( ( c .x. b ) .x. a ) = ( c .x. ( b .X. a ) ) ) )
32	31	3ad2ant3 1084	. . . . 5 |- ( ( R e. Grp /\ F e. Ring /\ A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( ( ( w .x. r ) e. V /\ ( ( w .+ x ) .x. r ) = ( ( w .x. r ) .+ ( x .x. r ) ) /\ ( w .x. ( q .+^ r ) ) = ( ( w .x. q ) .+ ( w .x. r ) ) ) /\ ( ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) /\ ( w .x. .1. ) = w ) ) ) -> ( ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) -> ( ( c .x. b ) .x. a ) = ( c .x. ( b .X. a ) ) ) )
33	1, 32	ax-mp 5	. . . 4 |- ( ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) -> ( ( c .x. b ) .x. a ) = ( c .x. ( b .X. a ) ) )
34	33	adantl 482	. . 3 |- ( ( F e. CRing /\ ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) ) -> ( ( c .x. b ) .x. a ) = ( c .x. ( b .X. a ) ) )
35		rmodislmod.k	. . . . . . . . . 10 |- K = ( Base ` F )
36		rmodislmod.t	. . . . . . . . . 10 |- .X. = ( .r ` F )
37	35, 36	crngcom 18562	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. CRing /\ b e. K /\ a e. K ) -> ( b .X. a ) = ( a .X. b ) )
38	37	3expb 1266	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. CRing /\ ( b e. K /\ a e. K ) ) -> ( b .X. a ) = ( a .X. b ) )
39	38	expcom 451	. . . . . . 7 |- ( ( b e. K /\ a e. K ) -> ( F e. CRing -> ( b .X. a ) = ( a .X. b ) ) )
40	39	ancoms 469	. . . . . 6 |- ( ( a e. K /\ b e. K ) -> ( F e. CRing -> ( b .X. a ) = ( a .X. b ) ) )
41	40	3adant3 1081	. . . . 5 |- ( ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) -> ( F e. CRing -> ( b .X. a ) = ( a .X. b ) ) )
42	41	impcom 446	. . . 4 |- ( ( F e. CRing /\ ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) ) -> ( b .X. a ) = ( a .X. b ) )
43	42	oveq2d 6666	. . 3 |- ( ( F e. CRing /\ ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) ) -> ( c .x. ( b .X. a ) ) = ( c .x. ( a .X. b ) ) )
44	34, 43	eqtrd 2656	. 2 |- ( ( F e. CRing /\ ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) ) -> ( ( c .x. b ) .x. a ) = ( c .x. ( a .X. b ) ) )
45		rmodislmod.m	. . . . . . 7 |- .* = ( s e. K , v e. V |-> ( v .x. s ) )
46	45	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) -> .* = ( s e. K , v e. V |-> ( v .x. s ) ) )
47		oveq12 6659	. . . . . . . 8 |- ( ( v = c /\ s = b ) -> ( v .x. s ) = ( c .x. b ) )
48	47	ancoms 469	. . . . . . 7 |- ( ( s = b /\ v = c ) -> ( v .x. s ) = ( c .x. b ) )
49	48	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) /\ ( s = b /\ v = c ) ) -> ( v .x. s ) = ( c .x. b ) )
50		simp2 1062	. . . . . 6 |- ( ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) -> b e. K )
51		simp3 1063	. . . . . 6 |- ( ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) -> c e. V )
52		ovexd 6680	. . . . . 6 |- ( ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) -> ( c .x. b ) e. _V )
53	46, 49, 50, 51, 52	ovmpt2d 6788	. . . . 5 |- ( ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) -> ( b .* c ) = ( c .x. b ) )
54	53	oveq2d 6666	. . . 4 |- ( ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) -> ( a .* ( b .* c ) ) = ( a .* ( c .x. b ) ) )
55		oveq12 6659	. . . . . . 7 |- ( ( v = ( c .x. b ) /\ s = a ) -> ( v .x. s ) = ( ( c .x. b ) .x. a ) )
56	55	ancoms 469	. . . . . 6 |- ( ( s = a /\ v = ( c .x. b ) ) -> ( v .x. s ) = ( ( c .x. b ) .x. a ) )
57	56	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) /\ ( s = a /\ v = ( c .x. b ) ) ) -> ( v .x. s ) = ( ( c .x. b ) .x. a ) )
58		simp1 1061	. . . . 5 |- ( ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) -> a e. K )
59		simpl1 1064	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( w .x. r ) e. V /\ ( ( w .+ x ) .x. r ) = ( ( w .x. r ) .+ ( x .x. r ) ) /\ ( w .x. ( q .+^ r ) ) = ( ( w .x. q ) .+ ( w .x. r ) ) ) /\ ( ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) /\ ( w .x. .1. ) = w ) ) -> ( w .x. r ) e. V )
60	59	2ralimi 2953	. . . . . . . . . 10 |- ( A. x e. V A. w e. V ( ( ( w .x. r ) e. V /\ ( ( w .+ x ) .x. r ) = ( ( w .x. r ) .+ ( x .x. r ) ) /\ ( w .x. ( q .+^ r ) ) = ( ( w .x. q ) .+ ( w .x. r ) ) ) /\ ( ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) /\ ( w .x. .1. ) = w ) ) -> A. x e. V A. w e. V ( w .x. r ) e. V )
61	60	2ralimi 2953	. . . . . . . . 9 |- ( A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( ( ( w .x. r ) e. V /\ ( ( w .+ x ) .x. r ) = ( ( w .x. r ) .+ ( x .x. r ) ) /\ ( w .x. ( q .+^ r ) ) = ( ( w .x. q ) .+ ( w .x. r ) ) ) /\ ( ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) /\ ( w .x. .1. ) = w ) ) -> A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( w .x. r ) e. V )
62		ringgrp 18552	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( F e. Ring -> F e. Grp )
63	35	grpbn0 17451	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( F e. Grp -> K =/= (/) )
64	62, 63	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F e. Ring -> K =/= (/) )
65	64	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. Grp /\ F e. Ring /\ A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( ( ( w .x. r ) e. V /\ ( ( w .+ x ) .x. r ) = ( ( w .x. r ) .+ ( x .x. r ) ) /\ ( w .x. ( q .+^ r ) ) = ( ( w .x. q ) .+ ( w .x. r ) ) ) /\ ( ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) /\ ( w .x. .1. ) = w ) ) ) -> K =/= (/) )
66	1, 65	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- K =/= (/)
67		rspn0 3934	. . . . . . . . . 10 |- ( K =/= (/) -> ( A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( w .x. r ) e. V -> A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( w .x. r ) e. V ) )
68	66, 67	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( w .x. r ) e. V -> A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( w .x. r ) e. V )
69		ralcom 3098	. . . . . . . . . 10 |- ( A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( w .x. r ) e. V <-> A. x e. V A. r e. K A. w e. V ( w .x. r ) e. V )
70		rspn0 3934	. . . . . . . . . . . 12 |- ( V =/= (/) -> ( A. x e. V A. r e. K A. w e. V ( w .x. r ) e. V -> A. r e. K A. w e. V ( w .x. r ) e. V ) )
71	9, 70	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. x e. V A. r e. K A. w e. V ( w .x. r ) e. V -> A. r e. K A. w e. V ( w .x. r ) e. V )
72		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( r = b -> ( w .x. r ) = ( w .x. b ) )
73	72	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . 12 |- ( r = b -> ( ( w .x. r ) e. V <-> ( w .x. b ) e. V ) )
74	22	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = c -> ( ( w .x. b ) e. V <-> ( c .x. b ) e. V ) )
75	73, 74	rspc2v 3322	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( b e. K /\ c e. V ) -> ( A. r e. K A. w e. V ( w .x. r ) e. V -> ( c .x. b ) e. V ) )
76	71, 75	syl5com 31	. . . . . . . . . 10 |- ( A. x e. V A. r e. K A. w e. V ( w .x. r ) e. V -> ( ( b e. K /\ c e. V ) -> ( c .x. b ) e. V ) )
77	69, 76	sylbi 207	. . . . . . . . 9 |- ( A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( w .x. r ) e. V -> ( ( b e. K /\ c e. V ) -> ( c .x. b ) e. V ) )
78	61, 68, 77	3syl 18	. . . . . . . 8 |- ( A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( ( ( w .x. r ) e. V /\ ( ( w .+ x ) .x. r ) = ( ( w .x. r ) .+ ( x .x. r ) ) /\ ( w .x. ( q .+^ r ) ) = ( ( w .x. q ) .+ ( w .x. r ) ) ) /\ ( ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) /\ ( w .x. .1. ) = w ) ) -> ( ( b e. K /\ c e. V ) -> ( c .x. b ) e. V ) )
79	78	3ad2ant3 1084	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Grp /\ F e. Ring /\ A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( ( ( w .x. r ) e. V /\ ( ( w .+ x ) .x. r ) = ( ( w .x. r ) .+ ( x .x. r ) ) /\ ( w .x. ( q .+^ r ) ) = ( ( w .x. q ) .+ ( w .x. r ) ) ) /\ ( ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) /\ ( w .x. .1. ) = w ) ) ) -> ( ( b e. K /\ c e. V ) -> ( c .x. b ) e. V ) )
80	1, 79	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( ( b e. K /\ c e. V ) -> ( c .x. b ) e. V )
81	80	3adant1 1079	. . . . 5 |- ( ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) -> ( c .x. b ) e. V )
82		ovexd 6680	. . . . 5 |- ( ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) -> ( ( c .x. b ) .x. a ) e. _V )
83	46, 57, 58, 81, 82	ovmpt2d 6788	. . . 4 |- ( ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) -> ( a .* ( c .x. b ) ) = ( ( c .x. b ) .x. a ) )
84	54, 83	eqtrd 2656	. . 3 |- ( ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) -> ( a .* ( b .* c ) ) = ( ( c .x. b ) .x. a ) )
85	84	adantl 482	. 2 |- ( ( F e. CRing /\ ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) ) -> ( a .* ( b .* c ) ) = ( ( c .x. b ) .x. a ) )
86		oveq12 6659	. . . . . 6 |- ( ( v = c /\ s = ( a .X. b ) ) -> ( v .x. s ) = ( c .x. ( a .X. b ) ) )
87	86	ancoms 469	. . . . 5 |- ( ( s = ( a .X. b ) /\ v = c ) -> ( v .x. s ) = ( c .x. ( a .X. b ) ) )
88	87	adantl 482	. . . 4 |- ( ( ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) /\ ( s = ( a .X. b ) /\ v = c ) ) -> ( v .x. s ) = ( c .x. ( a .X. b ) ) )
89	35, 36	ringcl 18561	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. Ring /\ a e. K /\ b e. K ) -> ( a .X. b ) e. K )
90	89	3expib 1268	. . . . . . 7 |- ( F e. Ring -> ( ( a e. K /\ b e. K ) -> ( a .X. b ) e. K ) )
91	90	3ad2ant2 1083	. . . . . 6 |- ( ( R e. Grp /\ F e. Ring /\ A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( ( ( w .x. r ) e. V /\ ( ( w .+ x ) .x. r ) = ( ( w .x. r ) .+ ( x .x. r ) ) /\ ( w .x. ( q .+^ r ) ) = ( ( w .x. q ) .+ ( w .x. r ) ) ) /\ ( ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) /\ ( w .x. .1. ) = w ) ) ) -> ( ( a e. K /\ b e. K ) -> ( a .X. b ) e. K ) )
92	1, 91	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( ( a e. K /\ b e. K ) -> ( a .X. b ) e. K )
93	92	3adant3 1081	. . . 4 |- ( ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) -> ( a .X. b ) e. K )
94		ovexd 6680	. . . 4 |- ( ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) -> ( c .x. ( a .X. b ) ) e. _V )
95	46, 88, 93, 51, 94	ovmpt2d 6788	. . 3 |- ( ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) -> ( ( a .X. b ) .* c ) = ( c .x. ( a .X. b ) ) )
96	95	adantl 482	. 2 |- ( ( F e. CRing /\ ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) ) -> ( ( a .X. b ) .* c ) = ( c .x. ( a .X. b ) ) )
97	44, 85, 96	3eqtr4rd 2667	1 |- ( ( F e. CRing /\ ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) ) -> ( ( a .X. b ) .* c ) = ( a .* ( b .* c ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   _Vcvv 3200   (/)c0 3915   <.cop 4183   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   ndxcnx 15854   sSet csts 15855   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   .rcmulr 15942  Scalarcsca 15944   .scvsca 15945   Grpcgrp 17422   1rcur 18501   Ringcrg 18547   CRingccrg 18548

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-cmn 18195  df-mgp 18490  df-ring 18549  df-cring 18550

This theorem is referenced by:  rmodislmod  18931