Theorem rngcinvALTV 41993

Description: An inverse in the category of non-unital rings is the converse operation. (Contributed by AV, 28-Feb-2020.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
rngcsectALTV.c	|- C = (RngCatALTV ` U )
rngcsectALTV.b	|- B = ( Base ` C )
rngcsectALTV.u	|- ( ph -> U e. V )
rngcsectALTV.x	|- ( ph -> X e. B )
rngcsectALTV.y	|- ( ph -> Y e. B )
rngcinvALTV.n	|- N = (Inv ` C )

Assertion

Ref	Expression
rngcinvALTV	|- ( ph -> ( F ( X N Y ) G <-> ( F e. ( X RngIsom Y ) /\ G = `' F ) ) )

Proof of Theorem rngcinvALTV

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rngcsectALTV.b	. . 3 |- B = ( Base ` C )
2		rngcinvALTV.n	. . 3 |- N = (Inv ` C )
3		rngcsectALTV.u	. . . 4 |- ( ph -> U e. V )
4		rngcsectALTV.c	. . . . 5 |- C = (RngCatALTV ` U )
5	4	rngccatALTV 41990	. . . 4 |- ( U e. V -> C e. Cat )
6	3, 5	syl 17	. . 3 |- ( ph -> C e. Cat )
7		rngcsectALTV.x	. . 3 |- ( ph -> X e. B )
8		rngcsectALTV.y	. . 3 |- ( ph -> Y e. B )
9		eqid 2622	. . 3 |- (Sect ` C ) = (Sect ` C )
10	1, 2, 6, 7, 8, 9	isinv 16420	. 2 |- ( ph -> ( F ( X N Y ) G <-> ( F ( X (Sect ` C ) Y ) G /\ G ( Y (Sect ` C ) X ) F ) ) )
11		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( Base ` X ) = ( Base ` X )
12	4, 1, 3, 7, 8, 11, 9	rngcsectALTV 41992	. . . . 5 |- ( ph -> ( F ( X (Sect ` C ) Y ) G <-> ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) ) )
13		df-3an 1039	. . . . 5 |- ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) <-> ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) )
14	12, 13	syl6bb 276	. . . 4 |- ( ph -> ( F ( X (Sect ` C ) Y ) G <-> ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) ) )
15		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( Base ` Y ) = ( Base ` Y )
16	4, 1, 3, 8, 7, 15, 9	rngcsectALTV 41992	. . . . 5 |- ( ph -> ( G ( Y (Sect ` C ) X ) F <-> ( G e. ( Y RngHomo X ) /\ F e. ( X RngHomo Y ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) ) ) )
17		3ancoma 1045	. . . . . 6 |- ( ( G e. ( Y RngHomo X ) /\ F e. ( X RngHomo Y ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) ) <-> ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) ) )
18		df-3an 1039	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) ) <-> ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) ) )
19	17, 18	bitri 264	. . . . 5 |- ( ( G e. ( Y RngHomo X ) /\ F e. ( X RngHomo Y ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) ) <-> ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) ) )
20	16, 19	syl6bb 276	. . . 4 |- ( ph -> ( G ( Y (Sect ` C ) X ) F <-> ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) ) ) )
21	14, 20	anbi12d 747	. . 3 |- ( ph -> ( ( F ( X (Sect ` C ) Y ) G /\ G ( Y (Sect ` C ) X ) F ) <-> ( ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) ) ) ) )
22		anandi 871	. . 3 |- ( ( ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) ) ) <-> ( ( ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) ) /\ ( ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) ) ) )
23	21, 22	syl6bb 276	. 2 |- ( ph -> ( ( F ( X (Sect ` C ) Y ) G /\ G ( Y (Sect ` C ) X ) F ) <-> ( ( ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) ) /\ ( ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) ) ) ) )
24		simplrl 800	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) ) /\ ( ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) ) ) -> F e. ( X RngHomo Y ) )
25	24	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( ( ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) ) /\ ( ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) ) ) ) -> F e. ( X RngHomo Y ) )
26	11, 15	rnghmf 41899	. . . . . . . . . 10 |- ( F e. ( X RngHomo Y ) -> F : ( Base ` X ) --> ( Base ` Y ) )
27	15, 11	rnghmf 41899	. . . . . . . . . 10 |- ( G e. ( Y RngHomo X ) -> G : ( Base ` Y ) --> ( Base ` X ) )
28	26, 27	anim12i 590	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) -> ( F : ( Base ` X ) --> ( Base ` Y ) /\ G : ( Base ` Y ) --> ( Base ` X ) ) )
29	28	ad2antlr 763	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) ) /\ ( ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) ) ) -> ( F : ( Base ` X ) --> ( Base ` Y ) /\ G : ( Base ` Y ) --> ( Base ` X ) ) )
30		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) ) -> ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) )
31	30	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) ) /\ ( ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) ) ) -> ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) )
32		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) -> ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) )
33	32	ad2antrl 764	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) ) /\ ( ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) ) ) -> ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) )
34	29, 31, 33	jca32 558	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) ) /\ ( ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) ) ) -> ( ( F : ( Base ` X ) --> ( Base ` Y ) /\ G : ( Base ` Y ) --> ( Base ` X ) ) /\ ( ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) ) )
35	34	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( ( ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) ) /\ ( ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) ) ) ) -> ( ( F : ( Base ` X ) --> ( Base ` Y ) /\ G : ( Base ` Y ) --> ( Base ` X ) ) /\ ( ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) ) )
36		fcof1o 6551	. . . . . . 7 |- ( ( ( F : ( Base ` X ) --> ( Base ` Y ) /\ G : ( Base ` Y ) --> ( Base ` X ) ) /\ ( ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) ) -> ( F : ( Base ` X ) -1-1-onto-> ( Base ` Y ) /\ `' F = G ) )
37		eqcom 2629	. . . . . . . 8 |- ( `' F = G <-> G = `' F )
38	37	anbi2i 730	. . . . . . 7 |- ( ( F : ( Base ` X ) -1-1-onto-> ( Base ` Y ) /\ `' F = G ) <-> ( F : ( Base ` X ) -1-1-onto-> ( Base ` Y ) /\ G = `' F ) )
39	36, 38	sylib 208	. . . . . 6 |- ( ( ( F : ( Base ` X ) --> ( Base ` Y ) /\ G : ( Base ` Y ) --> ( Base ` X ) ) /\ ( ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) ) -> ( F : ( Base ` X ) -1-1-onto-> ( Base ` Y ) /\ G = `' F ) )
40	35, 39	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( ( ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) ) /\ ( ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) ) ) ) -> ( F : ( Base ` X ) -1-1-onto-> ( Base ` Y ) /\ G = `' F ) )
41		anass 681	. . . . 5 |- ( ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ F : ( Base ` X ) -1-1-onto-> ( Base ` Y ) ) /\ G = `' F ) <-> ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ ( F : ( Base ` X ) -1-1-onto-> ( Base ` Y ) /\ G = `' F ) ) )
42	25, 40, 41	sylanbrc 698	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( ( ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) ) /\ ( ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) ) ) ) -> ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ F : ( Base ` X ) -1-1-onto-> ( Base ` Y ) ) /\ G = `' F ) )
43	11, 15	isrngim 41904	. . . . . . 7 |- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> ( F e. ( X RngIsom Y ) <-> ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ F : ( Base ` X ) -1-1-onto-> ( Base ` Y ) ) ) )
44	7, 8, 43	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ph -> ( F e. ( X RngIsom Y ) <-> ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ F : ( Base ` X ) -1-1-onto-> ( Base ` Y ) ) ) )
45	44	anbi1d 741	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( F e. ( X RngIsom Y ) /\ G = `' F ) <-> ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ F : ( Base ` X ) -1-1-onto-> ( Base ` Y ) ) /\ G = `' F ) ) )
46	45	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( ( ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) ) /\ ( ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) ) ) ) -> ( ( F e. ( X RngIsom Y ) /\ G = `' F ) <-> ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ F : ( Base ` X ) -1-1-onto-> ( Base ` Y ) ) /\ G = `' F ) ) )
47	42, 46	mpbird 247	. . 3 |- ( ( ph /\ ( ( ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) ) /\ ( ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) ) ) ) -> ( F e. ( X RngIsom Y ) /\ G = `' F ) )
48	11, 15	rngimrnghm 41906	. . . . . 6 |- ( F e. ( X RngIsom Y ) -> F e. ( X RngHomo Y ) )
49	48	ad2antrl 764	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( F e. ( X RngIsom Y ) /\ G = `' F ) ) -> F e. ( X RngHomo Y ) )
50		isrngisom 41896	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> ( F e. ( X RngIsom Y ) <-> ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ `' F e. ( Y RngHomo X ) ) ) )
51	7, 8, 50	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( F e. ( X RngIsom Y ) <-> ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ `' F e. ( Y RngHomo X ) ) ) )
52		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . 12 |- ( `' F = G -> ( `' F e. ( Y RngHomo X ) <-> G e. ( Y RngHomo X ) ) )
53	52	eqcoms 2630	. . . . . . . . . . 11 |- ( G = `' F -> ( `' F e. ( Y RngHomo X ) <-> G e. ( Y RngHomo X ) ) )
54	53	anbi2d 740	. . . . . . . . . 10 |- ( G = `' F -> ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ `' F e. ( Y RngHomo X ) ) <-> ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) ) )
55	51, 54	sylan9bbr 737	. . . . . . . . 9 |- ( ( G = `' F /\ ph ) -> ( F e. ( X RngIsom Y ) <-> ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) ) )
56		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) -> G e. ( Y RngHomo X ) )
57	55, 56	syl6bi 243	. . . . . . . 8 |- ( ( G = `' F /\ ph ) -> ( F e. ( X RngIsom Y ) -> G e. ( Y RngHomo X ) ) )
58	57	com12 32	. . . . . . 7 |- ( F e. ( X RngIsom Y ) -> ( ( G = `' F /\ ph ) -> G e. ( Y RngHomo X ) ) )
59	58	expdimp 453	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( X RngIsom Y ) /\ G = `' F ) -> ( ph -> G e. ( Y RngHomo X ) ) )
60	59	impcom 446	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( F e. ( X RngIsom Y ) /\ G = `' F ) ) -> G e. ( Y RngHomo X ) )
61		coeq1 5279	. . . . . . 7 |- ( G = `' F -> ( G o. F ) = ( `' F o. F ) )
62	61	ad2antll 765	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( F e. ( X RngIsom Y ) /\ G = `' F ) ) -> ( G o. F ) = ( `' F o. F ) )
63	11, 15	rngimf1o 41905	. . . . . . . 8 |- ( F e. ( X RngIsom Y ) -> F : ( Base ` X ) -1-1-onto-> ( Base ` Y ) )
64	63	ad2antrl 764	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( F e. ( X RngIsom Y ) /\ G = `' F ) ) -> F : ( Base ` X ) -1-1-onto-> ( Base ` Y ) )
65		f1ococnv1 6165	. . . . . . 7 |- ( F : ( Base ` X ) -1-1-onto-> ( Base ` Y ) -> ( `' F o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) )
66	64, 65	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( F e. ( X RngIsom Y ) /\ G = `' F ) ) -> ( `' F o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) )
67	62, 66	eqtrd 2656	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( F e. ( X RngIsom Y ) /\ G = `' F ) ) -> ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) )
68	49, 60, 67	jca31 557	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( F e. ( X RngIsom Y ) /\ G = `' F ) ) -> ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) )
69	51	biimpcd 239	. . . . . . 7 |- ( F e. ( X RngIsom Y ) -> ( ph -> ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ `' F e. ( Y RngHomo X ) ) ) )
70	69	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( X RngIsom Y ) /\ G = `' F ) -> ( ph -> ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ `' F e. ( Y RngHomo X ) ) ) )
71	70	impcom 446	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( F e. ( X RngIsom Y ) /\ G = `' F ) ) -> ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ `' F e. ( Y RngHomo X ) ) )
72		eleq1 2689	. . . . . . 7 |- ( G = `' F -> ( G e. ( Y RngHomo X ) <-> `' F e. ( Y RngHomo X ) ) )
73	72	ad2antll 765	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( F e. ( X RngIsom Y ) /\ G = `' F ) ) -> ( G e. ( Y RngHomo X ) <-> `' F e. ( Y RngHomo X ) ) )
74	73	anbi2d 740	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( F e. ( X RngIsom Y ) /\ G = `' F ) ) -> ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) <-> ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ `' F e. ( Y RngHomo X ) ) ) )
75	71, 74	mpbird 247	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( F e. ( X RngIsom Y ) /\ G = `' F ) ) -> ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) )
76		coeq2 5280	. . . . . . 7 |- ( G = `' F -> ( F o. G ) = ( F o. `' F ) )
77	76	ad2antll 765	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( F e. ( X RngIsom Y ) /\ G = `' F ) ) -> ( F o. G ) = ( F o. `' F ) )
78		f1ococnv2 6163	. . . . . . 7 |- ( F : ( Base ` X ) -1-1-onto-> ( Base ` Y ) -> ( F o. `' F ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) )
79	64, 78	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( F e. ( X RngIsom Y ) /\ G = `' F ) ) -> ( F o. `' F ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) )
80	77, 79	eqtrd 2656	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( F e. ( X RngIsom Y ) /\ G = `' F ) ) -> ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) )
81	75, 67, 80	jca31 557	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( F e. ( X RngIsom Y ) /\ G = `' F ) ) -> ( ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) ) )
82	68, 75, 81	jca31 557	. . 3 |- ( ( ph /\ ( F e. ( X RngIsom Y ) /\ G = `' F ) ) -> ( ( ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) ) /\ ( ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) ) ) )
83	47, 82	impbida 877	. 2 |- ( ph -> ( ( ( ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) ) /\ ( ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) ) ) <-> ( F e. ( X RngIsom Y ) /\ G = `' F ) ) )
84	10, 23, 83	3bitrd 294	1 |- ( ph -> ( F ( X N Y ) G <-> ( F e. ( X RngIsom Y ) /\ G = `' F ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   class class class wbr 4653   _I cid 5023   `'ccnv 5113   |` cres 5116   o. ccom 5118   -->wf 5884   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   Catccat 16325  Sectcsect 16404  Invcinv 16405   RngHomo crngh 41885   RngIsom crngs 41886  RngCatALTVcrngcALTV 41958

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-plusg 15954  df-hom 15966  df-cco 15967  df-0g 16102  df-cat 16329  df-cid 16330  df-sect 16407  df-inv 16408  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-grp 17425  df-ghm 17658  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-mgmhm 41779  df-rng0 41875  df-rnghomo 41887  df-rngisom 41888  df-rngcALTV 41960

This theorem is referenced by:  rngcisoALTV  41994