Theorem rtrclreclem1 13798

Description: The reflexive, transitive closure is indeed reflexive. (Contributed by Drahflow, 12-Nov-2015.) (Revised by RP, 30-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
rtrclreclem.1	|- ( ph -> Rel R )
rtrclreclem.2	|- ( ph -> R e. _V )

Assertion

Ref	Expression
rtrclreclem1	|- ( ph -> ( _I |` U. U. R ) C_ ( t*rec ` R ) )

Proof of Theorem rtrclreclem1

Dummy variables r n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nn0 11307	. . . . 5 |- 0 e. NN0
2		ssid 3624	. . . . . 6 |- ( _I |` U. U. R ) C_ ( _I |` U. U. R )
3		rtrclreclem.1	. . . . . . 7 |- ( ph -> Rel R )
4		rtrclreclem.2	. . . . . . 7 |- ( ph -> R e. _V )
5	3, 4	relexp0d 13764	. . . . . 6 |- ( ph -> ( R ^r 0 ) = ( _I |` U. U. R ) )
6	2, 5	syl5sseqr 3654	. . . . 5 |- ( ph -> ( _I |` U. U. R ) C_ ( R ^r 0 ) )
7		oveq2 6658	. . . . . . 7 |- ( n = 0 -> ( R ^r n ) = ( R ^r 0 ) )
8	7	sseq2d 3633	. . . . . 6 |- ( n = 0 -> ( ( _I |` U. U. R ) C_ ( R ^r n ) <-> ( _I |` U. U. R ) C_ ( R ^r 0 ) ) )
9	8	rspcev 3309	. . . . 5 |- ( ( 0 e. NN0 /\ ( _I |` U. U. R ) C_ ( R ^r 0 ) ) -> E. n e. NN0 ( _I |` U. U. R ) C_ ( R ^r n ) )
10	1, 6, 9	sylancr 695	. . . 4 |- ( ph -> E. n e. NN0 ( _I |` U. U. R ) C_ ( R ^r n ) )
11		ssiun 4562	. . . 4 |- ( E. n e. NN0 ( _I |` U. U. R ) C_ ( R ^r n ) -> ( _I |` U. U. R ) C_ U_ n e. NN0 ( R ^r n ) )
12	10, 11	syl 17	. . 3 |- ( ph -> ( _I |` U. U. R ) C_ U_ n e. NN0 ( R ^r n ) )
13		nn0ex 11298	. . . . 5 |- NN0 e. _V
14		ovex 6678	. . . . 5 |- ( R ^r n ) e. _V
15	13, 14	iunex 7147	. . . 4 |- U_ n e. NN0 ( R ^r n ) e. _V
16		oveq1 6657	. . . . . 6 |- ( r = R -> ( r ^r n ) = ( R ^r n ) )
17	16	iuneq2d 4547	. . . . 5 |- ( r = R -> U_ n e. NN0 ( r ^r n ) = U_ n e. NN0 ( R ^r n ) )
18		eqid 2622	. . . . 5 |- ( r e. _V |-> U_ n e. NN0 ( r ^r n ) ) = ( r e. _V |-> U_ n e. NN0 ( r ^r n ) )
19	17, 18	fvmptg 6280	. . . 4 |- ( ( R e. _V /\ U_ n e. NN0 ( R ^r n ) e. _V ) -> ( ( r e. _V |-> U_ n e. NN0 ( r ^r n ) ) ` R ) = U_ n e. NN0 ( R ^r n ) )
20	4, 15, 19	sylancl 694	. . 3 |- ( ph -> ( ( r e. _V |-> U_ n e. NN0 ( r ^r n ) ) ` R ) = U_ n e. NN0 ( R ^r n ) )
21	12, 20	sseqtr4d 3642	. 2 |- ( ph -> ( _I |` U. U. R ) C_ ( ( r e. _V |-> U_ n e. NN0 ( r ^r n ) ) ` R ) )
22		df-rtrclrec 13796	. . 3 |- t*rec = ( r e. _V |-> U_ n e. NN0 ( r ^r n ) )
23		fveq1 6190	. . . . 5 |- ( t*rec = ( r e. _V |-> U_ n e. NN0 ( r ^r n ) ) -> ( t*rec ` R ) = ( ( r e. _V |-> U_ n e. NN0 ( r ^r n ) ) ` R ) )
24	23	sseq2d 3633	. . . 4 |- ( t*rec = ( r e. _V |-> U_ n e. NN0 ( r ^r n ) ) -> ( ( _I |` U. U. R ) C_ ( t*rec ` R ) <-> ( _I |` U. U. R ) C_ ( ( r e. _V |-> U_ n e. NN0 ( r ^r n ) ) ` R ) ) )
25	24	imbi2d 330	. . 3 |- ( t*rec = ( r e. _V |-> U_ n e. NN0 ( r ^r n ) ) -> ( ( ph -> ( _I |` U. U. R ) C_ ( t*rec ` R ) ) <-> ( ph -> ( _I |` U. U. R ) C_ ( ( r e. _V |-> U_ n e. NN0 ( r ^r n ) ) ` R ) ) ) )
26	22, 25	ax-mp 5	. 2 |- ( ( ph -> ( _I |` U. U. R ) C_ ( t*rec ` R ) ) <-> ( ph -> ( _I |` U. U. R ) C_ ( ( r e. _V |-> U_ n e. NN0 ( r ^r n ) ) ` R ) ) )
27	21, 26	mpbir 221	1 |- ( ph -> ( _I |` U. U. R ) C_ ( t*rec ` R ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   = wceq 1483   e. wcel 1990   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   U.cuni 4436   U_ciun 4520   |-> cmpt 4729   _I cid 5023   |` cres 5116   Rel wrel 5119   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   0cc0 9936   NN0cn0 11292   ^r crelexp 13760   t*reccrtrcl 13795

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-nn 11021  df-n0 11293  df-relexp 13761  df-rtrclrec 13796

This theorem is referenced by:  dfrtrcl2  13802