Theorem rtrclreclem2 13799

Description: The reflexive, transitive closure is indeed a closure. (Contributed by Drahflow, 12-Nov-2015.) (Revised by RP, 30-May-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
rtrclreclem.ex	|- ( ph -> R e. _V )

Assertion

Ref	Expression
rtrclreclem2	|- ( ph -> R C_ ( t*rec ` R ) )

Proof of Theorem rtrclreclem2

Dummy variables r n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 11308	. . . . 5 |- 1 e. NN0
2		ssid 3624	. . . . . . 7 |- R C_ R
3	2	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> R C_ R )
4		rtrclreclem.ex	. . . . . . 7 |- ( ph -> R e. _V )
5	4	relexp1d 13771	. . . . . 6 |- ( ph -> ( R ^r 1 ) = R )
6	3, 5	sseqtr4d 3642	. . . . 5 |- ( ph -> R C_ ( R ^r 1 ) )
7		oveq2 6658	. . . . . . 7 |- ( n = 1 -> ( R ^r n ) = ( R ^r 1 ) )
8	7	sseq2d 3633	. . . . . 6 |- ( n = 1 -> ( R C_ ( R ^r n ) <-> R C_ ( R ^r 1 ) ) )
9	8	rspcev 3309	. . . . 5 |- ( ( 1 e. NN0 /\ R C_ ( R ^r 1 ) ) -> E. n e. NN0 R C_ ( R ^r n ) )
10	1, 6, 9	sylancr 695	. . . 4 |- ( ph -> E. n e. NN0 R C_ ( R ^r n ) )
11		ssiun 4562	. . . 4 |- ( E. n e. NN0 R C_ ( R ^r n ) -> R C_ U_ n e. NN0 ( R ^r n ) )
12	10, 11	syl 17	. . 3 |- ( ph -> R C_ U_ n e. NN0 ( R ^r n ) )
13		eqidd 2623	. . . 4 |- ( ph -> ( r e. _V |-> U_ n e. NN0 ( r ^r n ) ) = ( r e. _V |-> U_ n e. NN0 ( r ^r n ) ) )
14		oveq1 6657	. . . . . 6 |- ( r = R -> ( r ^r n ) = ( R ^r n ) )
15	14	iuneq2d 4547	. . . . 5 |- ( r = R -> U_ n e. NN0 ( r ^r n ) = U_ n e. NN0 ( R ^r n ) )
16	15	adantl 482	. . . 4 |- ( ( ph /\ r = R ) -> U_ n e. NN0 ( r ^r n ) = U_ n e. NN0 ( R ^r n ) )
17		nn0ex 11298	. . . . . 6 |- NN0 e. _V
18		ovex 6678	. . . . . 6 |- ( R ^r n ) e. _V
19	17, 18	iunex 7147	. . . . 5 |- U_ n e. NN0 ( R ^r n ) e. _V
20	19	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> U_ n e. NN0 ( R ^r n ) e. _V )
21	13, 16, 4, 20	fvmptd 6288	. . 3 |- ( ph -> ( ( r e. _V |-> U_ n e. NN0 ( r ^r n ) ) ` R ) = U_ n e. NN0 ( R ^r n ) )
22	12, 21	sseqtr4d 3642	. 2 |- ( ph -> R C_ ( ( r e. _V |-> U_ n e. NN0 ( r ^r n ) ) ` R ) )
23		df-rtrclrec 13796	. . 3 |- t*rec = ( r e. _V |-> U_ n e. NN0 ( r ^r n ) )
24		fveq1 6190	. . . . 5 |- ( t*rec = ( r e. _V |-> U_ n e. NN0 ( r ^r n ) ) -> ( t*rec ` R ) = ( ( r e. _V |-> U_ n e. NN0 ( r ^r n ) ) ` R ) )
25	24	sseq2d 3633	. . . 4 |- ( t*rec = ( r e. _V |-> U_ n e. NN0 ( r ^r n ) ) -> ( R C_ ( t*rec ` R ) <-> R C_ ( ( r e. _V |-> U_ n e. NN0 ( r ^r n ) ) ` R ) ) )
26	25	imbi2d 330	. . 3 |- ( t*rec = ( r e. _V |-> U_ n e. NN0 ( r ^r n ) ) -> ( ( ph -> R C_ ( t*rec ` R ) ) <-> ( ph -> R C_ ( ( r e. _V |-> U_ n e. NN0 ( r ^r n ) ) ` R ) ) ) )
27	23, 26	ax-mp 5	. 2 |- ( ( ph -> R C_ ( t*rec ` R ) ) <-> ( ph -> R C_ ( ( r e. _V |-> U_ n e. NN0 ( r ^r n ) ) ` R ) ) )
28	22, 27	mpbir 221	1 |- ( ph -> R C_ ( t*rec ` R ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   = wceq 1483   e. wcel 1990   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   U_ciun 4520   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   1c1 9937   NN0cn0 11292   ^r crelexp 13760   t*reccrtrcl 13795

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-seq 12802  df-relexp 13761  df-rtrclrec 13796

This theorem is referenced by:  dfrtrcl2  13802