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Theorem rtrclreclem3 13800

Description: The reflexive, transitive closure is indeed transitive. (Contributed by Drahflow, 12-Nov-2015.) (Revised by RP, 30-May-2020.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
rtrclreclem.rel
rtrclreclem.rex

**Assertion**
Ref	Expression
rtrclreclem3	rec rec rec

Proof of Theorem rtrclreclem3 Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-co 5123	. . 3 rec rec rec $/\$ rec
2		elopab 4983	. . . . 5 rec $/\$ rec $/\$ rec $/\$ rec
3		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . 11
4	3	anbi1d 741	. . . . . . . . . 10 $/\$ rec $/\$ rec $/\$ $/\$ rec $/\$ rec $/\$
5		simprr 796	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ rec $/\$ rec $/\$
6		simprl 794	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ rec $/\$ rec $/\$ rec $/\$ rec
7		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 rec $/\$ rec $/\$ rec
8		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 rec $/\$ rec $/\$
9		rtrclreclem.rel	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
10		rtrclreclem.rex	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
11	9, 10	dfrtrclrec2 13797	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 rec
12	8, 11	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 rec $/\$ rec $/\$ rec
13	7, 12	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . 16 rec $/\$ rec $/\$
14		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 rec $/\$ rec $/\$ $/\$ $/\$ rec
15		simprrl 804	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 rec $/\$ rec $/\$ $/\$ $/\$
16	9, 10	dfrtrclrec2 13797	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 rec
17	15, 16	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 rec $/\$ rec $/\$ $/\$ $/\$ rec
18	14, 17	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 rec $/\$ rec $/\$ $/\$ $/\$
19		simprrl 804	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
20	19	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 rec $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
21	20	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 rec $/\$ rec $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
22		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 $/\$ $/\$
23	22	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 $/\$ $/\$ $/\$
24	23	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
25	24	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 rec $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
26	25	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 rec $/\$ rec $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
27	21, 26	nn0addcld 11355	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 rec $/\$ rec $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
28	21	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 $/\$ rec $/\$ rec $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
29	28	nn0cnd 11353	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 $/\$ rec $/\$ rec $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
30	26	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 $/\$ rec $/\$ rec $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
31	30	nn0cnd 11353	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 $/\$ rec $/\$ rec $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
32	29, 31	addcomd 10238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 $/\$ rec $/\$ rec $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
33		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
34	33	anbi1d 741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 $/\$ rec $/\$ rec $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ rec $/\$ rec $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
35	26	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 $/\$ rec $/\$ rec $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
36	21	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 $/\$ rec $/\$ rec $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
37		simprrl 804	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 rec $/\$ rec $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
38	37	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 $/\$ rec $/\$ rec $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
39	38, 9	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 $/\$ rec $/\$ rec $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
40	38, 10	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 $/\$ rec $/\$ rec $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
41	39, 40	relexpaddd 13794	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 $/\$ rec $/\$ rec $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
42	35, 36, 41	mp2and 715	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 $/\$ rec $/\$ rec $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
43		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
44	43	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
45	42, 44	syl5ibr 236	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 $/\$ rec $/\$ rec $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
46	34, 45	sylbid 230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 $/\$ rec $/\$ rec $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
47	32, 46	mpcom 38	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 $/\$ rec $/\$ rec $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
48	47	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 $/\$ rec $/\$ rec $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
49		simprrl 804	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 rec $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
50	49	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 rec $/\$ rec $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
51	50	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 $/\$ rec $/\$ rec $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
52		simprrl 804	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 $/\$ $/\$ $/\$
53	52	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
54	53	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 rec $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
55	54	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 rec $/\$ rec $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
56	55	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 $/\$ rec $/\$ rec $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
57		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
58		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
59		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
60	58, 59	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 $/\$ $/\$
61	57, 60	spcev 3300	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 $/\$ $/\$
62	51, 56, 61	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 $/\$ rec $/\$ rec $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
63		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
64		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
65	63, 64	brco 5292	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 $/\$
66	62, 65	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 $/\$ rec $/\$ rec $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
67		breq 4655	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
68	66, 67	syl5ibr 236	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 $/\$ rec $/\$ rec $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
69	48, 68	mpcom 38	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 $/\$ rec $/\$ rec $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
70		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
71	70	breqd 4664	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
72	71	rspcev 3309	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 $/\$
73	69, 72	syldan 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 $/\$ rec $/\$ rec $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
74	27, 73	mpancom 703	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 rec $/\$ rec $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
75		df-br 4654	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 rec rec
76	37, 9	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 rec $/\$ rec $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
77	37, 10	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 rec $/\$ rec $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
78	76, 77	dfrtrclrec2 13797	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 rec $/\$ rec $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ rec
79	75, 78	syl5bbr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 rec $/\$ rec $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ rec
80	74, 79	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 rec $/\$ rec $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ rec
81	80	expcom 451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 rec $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ rec rec
82	81	expcom 451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ rec rec rec
83	82	expcom 451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 $/\$ $/\$ $/\$ rec rec rec
84	83	anassrs 680	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 $/\$ $/\$ $/\$ rec rec rec
85	84	impcom 446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ rec rec rec
86	85	anassrs 680	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ rec rec rec
87	86	impcom 446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 rec $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ rec rec
88	87	anassrs 680	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 rec $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ rec rec
89	88	impcom 446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 rec $/\$ rec $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ rec
90	89	anassrs 680	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 rec $/\$ rec $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ rec
91	90	expcom 451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ rec $/\$ rec $/\$ $/\$ $/\$ rec
92	91	expcom 451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 rec $/\$ rec $/\$ $/\$ $/\$ rec
93	92	rexlimiv 3027	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 rec $/\$ rec $/\$ $/\$ $/\$ rec
94	18, 93	mpcom 38	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 rec $/\$ rec $/\$ $/\$ $/\$ rec
95	94	expcom 451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 rec $/\$ $/\$ $/\$ rec rec
96	95	anassrs 680	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 rec $/\$ $/\$ $/\$ rec rec
97	96	impcom 446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 rec $/\$ rec $/\$ $/\$ $/\$ rec
98	97	anassrs 680	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 rec $/\$ rec $/\$ $/\$ $/\$ rec
99	98	expcom 451	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ rec $/\$ rec $/\$ rec
100	99	expcom 451	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 rec $/\$ rec $/\$ rec
101	100	rexlimiv 3027	. . . . . . . . . . . . . . . 16 rec $/\$ rec $/\$ rec
102	13, 101	mpcom 38	. . . . . . . . . . . . . . 15 rec $/\$ rec $/\$ rec
103	102	anassrs 680	. . . . . . . . . . . . . 14 rec $/\$ rec $/\$ rec
104	103	expcom 451	. . . . . . . . . . . . 13 rec $/\$ rec rec
105	104	exlimdv 1861	. . . . . . . . . . . 12 rec $/\$ rec rec
106	5, 6, 105	sylc 65	. . . . . . . . . . 11 $/\$ rec $/\$ rec $/\$ rec
107		eleq1 2689	. . . . . . . . . . 11 rec rec
108	106, 107	syl5ibr 236	. . . . . . . . . 10 $/\$ rec $/\$ rec $/\$ rec
109	4, 108	sylbid 230	. . . . . . . . 9 $/\$ rec $/\$ rec $/\$ rec
110	109	anabsi5 858	. . . . . . . 8 $/\$ rec $/\$ rec $/\$ rec
111	110	anassrs 680	. . . . . . 7 $/\$ rec $/\$ rec $/\$ rec
112	111	expcom 451	. . . . . 6 $/\$ rec $/\$ rec rec
113	112	exlimdvv 1862	. . . . 5 $/\$ rec $/\$ rec rec
114	2, 113	syl5bi 232	. . . 4 rec $/\$ rec rec
115		eleq2 2690	. . . . 5 rec rec rec $/\$ rec rec rec rec $/\$ rec
116	115	imbi1d 331	. . . 4 rec rec rec $/\$ rec rec rec rec rec $/\$ rec rec
117	114, 116	syl5ibr 236	. . 3 rec rec rec $/\$ rec rec rec rec
118	1, 117	ax-mp 5	. 2 rec rec rec
119	118	ssrdv 3609	1 rec rec rec

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wi 4

wb 196 $/\$ wa 384

wceq 1483

wex 1704

wcel 1990

wrex 2913

cvv 3200

wss 3574

cop 4183 class class class wbr 4653

copab 4712

ccom 5118

wrel 5119

cfv 5888 (class class class)co 6650

caddc 9939

cn0 11292

crelexp 13760

reccrtrcl 13795

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-er 7742 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-nn 11021 df-2 11079 df-n0 11293 df-z 11378 df-uz 11688 df-seq 12802 df-relexp 13761 df-rtrclrec 13796

This theorem is referenced by: dfrtrcl2 13802

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