rtrclreclem4 - Metamath Proof Explorer

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Theorem rtrclreclem4 13801

Description: The reflexive, transitive closure of

is the smallest reflexive, transitive relation which contains

and the identity. (Contributed by Drahflow, 12-Nov-2015.) (Revised by RP, 30-May-2020.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
rtrclreclem.rel
rtrclreclem.rex

**Assertion**
Ref	Expression
rtrclreclem4	$/\$ $/\$ rec

Distinct variable group:

Allowed substitution hint:

(

)

Proof of Theorem rtrclreclem4 Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2623	. . . . 5
2		oveq1 6657	. . . . . . 7
3	2	iuneq2d 4547	. . . . . 6
4	3	adantl 482	. . . . 5 $/\$
5		rtrclreclem.rex	. . . . 5
6		nn0ex 11298	. . . . . . 7
7		ovex 6678	. . . . . . 7
8	6, 7	iunex 7147	. . . . . 6
9	8	a1i 11	. . . . 5
10	1, 4, 5, 9	fvmptd 6288	. . . 4
11		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
12	11	anbi1d 741	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
13		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
14	13	sseq1d 3632	. . . . . . . . . . . . . . . 16
15	12, 14	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
16		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
17	16	anbi1d 741	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
18		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
19	18	sseq1d 3632	. . . . . . . . . . . . . . . 16
20	17, 19	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
21		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
22	21	anbi1d 741	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
23		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
24	23	sseq1d 3632	. . . . . . . . . . . . . . . 16
25	22, 24	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
26		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
27	26	anbi1d 741	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
28		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
29	28	sseq1d 3632	. . . . . . . . . . . . . . . 16
30	27, 29	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
31		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
32		rtrclreclem.rel	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
33	32, 5	relexp0d 13764	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
34	31, 33	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
35	31, 32	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
36		relfld 5661	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
37	35, 36	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
38		simprrr 805	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
39	38	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
40		reseq2 5391	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
41	40	sseq1d 3632	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
42	39, 41	syl5ibr 236	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
43	37, 42	mpcom 38	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
44	34, 43	eqsstrd 3639	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
45		simprrr 805	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
46	45	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
47	46	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
48	47	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
49		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
50		simprrl 804	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
51		simprrl 804	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
52	51	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
53		simprrl 804	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
54	53	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
55	54	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
56	50, 52, 55	jca32 558	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
57	48, 49, 56	jca32 558	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
58		simprrl 804	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
59	58	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
60	59	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
61	60	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
62	57, 61	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
63	48	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
64		simprrl 804	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
65	64, 32	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
66	64, 5	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
67	65, 66	relexpsucrd 13770	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
68	63, 67	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
69	52	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
70		coss2 5278	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
71	69, 70	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
72		coss1 5277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
73	72, 50	sylan9ss 3616	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
74	71, 73	sstrd 3613	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
75	68, 74	eqsstrd 3639	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
76	62, 75	mpancom 703	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
77	76	expcom 451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
78	77	expcom 451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
79	78	expcom 451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
80	79	anassrs 680	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
81	80	impcom 446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
82	81	anassrs 680	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
83	82	impcom 446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
84	83	anassrs 680	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
85	84	impcom 446	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
86	85	anassrs 680	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
87	86	expcom 451	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
88	87	expcom 451	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
89	15, 20, 25, 30, 44, 88	nn0ind 11472	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
90	89	anabsi5 858	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
91	90	expcom 451	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
92	91	ralrimiv 2965	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
93		iunss 4561	. . . . . . . . . . 11
94	92, 93	sylibr 224	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
95	94	expcom 451	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
96	95	expcom 451	. . . . . . . 8 $/\$
97	96	expcom 451	. . . . . . 7
98	97	3imp1 1280	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
99	98	expcom 451	. . . . 5 $/\$ $/\$
100		sseq1 3626	. . . . . 6
101	100	imbi2d 330	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
102	99, 101	syl5ibr 236	. . . 4 $/\$ $/\$
103	10, 102	mpcom 38	. . 3 $/\$ $/\$
104		df-rtrclrec 13796	. . . 4 rec
105		fveq1 6190	. . . . . . 7 rec rec
106	105	sseq1d 3632	. . . . . 6 rec rec
107	106	imbi2d 330	. . . . 5 rec $/\$ $/\$ rec $/\$ $/\$
108	107	imbi2d 330	. . . 4 rec $/\$ $/\$ rec $/\$ $/\$
109	104, 108	ax-mp 5	. . 3 $/\$ $/\$ rec $/\$ $/\$
110	103, 109	mpbir 221	. 2 $/\$ $/\$ rec
111	110	alrimiv 1855	1 $/\$ $/\$ rec

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wi 4

wb 196 $/\$ wa 384 $/\$ w3a 1037

wal 1481

wceq 1483

wcel 1990

wral 2912

cvv 3200

cun 3572

wss 3574

cuni 4436

ciun 4520

cmpt 4729

cid 5023

cdm 5114

crn 5115

cres 5116

ccom 5118

wrel 5119

cfv 5888 (class class class)co 6650

cc0 9936

c1 9937

caddc 9939

cn0 11292

crelexp 13760

reccrtrcl 13795

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-er 7742 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-nn 11021 df-n0 11293 df-z 11378 df-uz 11688 df-seq 12802 df-relexp 13761 df-rtrclrec 13796

This theorem is referenced by: dfrtrcl2 13802

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