Theorem sadcf 15175

Description: The carry sequence is a sequence of elements of 2o encoding a "sequence of wffs". (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
sadval.a	|- ( ph -> A C_ NN0 )
sadval.b	|- ( ph -> B C_ NN0 )
sadval.c	|- C = seq 0 ( ( c e. 2o , m e. NN0 |-> if (cadd ( m e. A , m e. B , (/) e. c ) , 1o , (/) ) ) , ( n e. NN0 |-> if ( n = 0 , (/) , ( n - 1 ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
sadcf	|- ( ph -> C : NN0 --> 2o )

Distinct variable groups:   m, c, n   A, c, m   B, c, m

Allowed substitution hints:   ph( m, n, c)   A( n)   B( n)   C( m, n, c)

Proof of Theorem sadcf

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nn0 11307	. . . . . 6 |- 0 e. NN0
2		iftrue 4092	. . . . . . 7 |- ( n = 0 -> if ( n = 0 , (/) , ( n - 1 ) ) = (/) )
3		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( n e. NN0 |-> if ( n = 0 , (/) , ( n - 1 ) ) ) = ( n e. NN0 |-> if ( n = 0 , (/) , ( n - 1 ) ) )
4		0ex 4790	. . . . . . 7 |- (/) e. _V
5	2, 3, 4	fvmpt 6282	. . . . . 6 |- ( 0 e. NN0 -> ( ( n e. NN0 |-> if ( n = 0 , (/) , ( n - 1 ) ) ) ` 0 ) = (/) )
6	1, 5	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( ( n e. NN0 |-> if ( n = 0 , (/) , ( n - 1 ) ) ) ` 0 ) = (/)
7	4	prid1 4297	. . . . . 6 |- (/) e. { (/) , 1o }
8		df2o3 7573	. . . . . 6 |- 2o = { (/) , 1o }
9	7, 8	eleqtrri 2700	. . . . 5 |- (/) e. 2o
10	6, 9	eqeltri 2697	. . . 4 |- ( ( n e. NN0 |-> if ( n = 0 , (/) , ( n - 1 ) ) ) ` 0 ) e. 2o
11	10	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> ( ( n e. NN0 |-> if ( n = 0 , (/) , ( n - 1 ) ) ) ` 0 ) e. 2o )
12		df-ov 6653	. . . . 5 |- ( x ( c e. 2o , m e. NN0 |-> if (cadd ( m e. A , m e. B , (/) e. c ) , 1o , (/) ) ) y ) = ( ( c e. 2o , m e. NN0 |-> if (cadd ( m e. A , m e. B , (/) e. c ) , 1o , (/) ) ) ` <. x , y >. )
13		1on 7567	. . . . . . . . . . . 12 |- 1o e. On
14	13	elexi 3213	. . . . . . . . . . 11 |- 1o e. _V
15	14	prid2 4298	. . . . . . . . . 10 |- 1o e. { (/) , 1o }
16	15, 8	eleqtrri 2700	. . . . . . . . 9 |- 1o e. 2o
17	16, 9	keepel 4155	. . . . . . . 8 |- if (cadd ( m e. A , m e. B , (/) e. c ) , 1o , (/) ) e. 2o
18	17	rgen2w 2925	. . . . . . 7 |- A. c e. 2o A. m e. NN0 if (cadd ( m e. A , m e. B , (/) e. c ) , 1o , (/) ) e. 2o
19		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( c e. 2o , m e. NN0 |-> if (cadd ( m e. A , m e. B , (/) e. c ) , 1o , (/) ) ) = ( c e. 2o , m e. NN0 |-> if (cadd ( m e. A , m e. B , (/) e. c ) , 1o , (/) ) )
20	19	fmpt2 7237	. . . . . . 7 |- ( A. c e. 2o A. m e. NN0 if (cadd ( m e. A , m e. B , (/) e. c ) , 1o , (/) ) e. 2o <-> ( c e. 2o , m e. NN0 |-> if (cadd ( m e. A , m e. B , (/) e. c ) , 1o , (/) ) ) : ( 2o X. NN0 ) --> 2o )
21	18, 20	mpbi 220	. . . . . 6 |- ( c e. 2o , m e. NN0 |-> if (cadd ( m e. A , m e. B , (/) e. c ) , 1o , (/) ) ) : ( 2o X. NN0 ) --> 2o
22	21, 9	f0cli 6370	. . . . 5 |- ( ( c e. 2o , m e. NN0 |-> if (cadd ( m e. A , m e. B , (/) e. c ) , 1o , (/) ) ) ` <. x , y >. ) e. 2o
23	12, 22	eqeltri 2697	. . . 4 |- ( x ( c e. 2o , m e. NN0 |-> if (cadd ( m e. A , m e. B , (/) e. c ) , 1o , (/) ) ) y ) e. 2o
24	23	a1i 11	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. 2o /\ y e. _V ) ) -> ( x ( c e. 2o , m e. NN0 |-> if (cadd ( m e. A , m e. B , (/) e. c ) , 1o , (/) ) ) y ) e. 2o )
25		nn0uz 11722	. . 3 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
26		0zd 11389	. . 3 |- ( ph -> 0 e. ZZ )
27		fvexd 6203	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` ( 0 + 1 ) ) ) -> ( ( n e. NN0 |-> if ( n = 0 , (/) , ( n - 1 ) ) ) ` x ) e. _V )
28	11, 24, 25, 26, 27	seqf2 12820	. 2 |- ( ph -> seq 0 ( ( c e. 2o , m e. NN0 |-> if (cadd ( m e. A , m e. B , (/) e. c ) , 1o , (/) ) ) , ( n e. NN0 |-> if ( n = 0 , (/) , ( n - 1 ) ) ) ) : NN0 --> 2o )
29		sadval.c	. . 3 |- C = seq 0 ( ( c e. 2o , m e. NN0 |-> if (cadd ( m e. A , m e. B , (/) e. c ) , 1o , (/) ) ) , ( n e. NN0 |-> if ( n = 0 , (/) , ( n - 1 ) ) ) )
30	29	feq1i 6036	. 2 |- ( C : NN0 --> 2o <-> seq 0 ( ( c e. 2o , m e. NN0 |-> if (cadd ( m e. A , m e. B , (/) e. c ) , 1o , (/) ) ) , ( n e. NN0 |-> if ( n = 0 , (/) , ( n - 1 ) ) ) ) : NN0 --> 2o )
31	28, 30	sylibr 224	1 |- ( ph -> C : NN0 --> 2o )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483  caddwcad 1545   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ifcif 4086   {cpr 4179   <.cop 4183   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   Oncon0 5723   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   1oc1o 7553   2oc2o 7554   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   - cmin 10266   NN0cn0 11292   ZZ>=cuz 11687   seqcseq 12801

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-seq 12802

This theorem is referenced by:  sadcp1  15177