Theorem seqfeq4 12850

Description: Equality of series under different addition operations which agree on an additively closed subset. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
seqfeq4.m	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
seqfeq4.f	|- ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( F ` x ) e. S )
seqfeq4.cl	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
seqfeq4.id	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) = ( x Q y ) )

Assertion

Ref	Expression
seqfeq4	|- ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` N ) = ( seq M ( Q , F ) ` N ) )

Distinct variable groups:   x, y, .+   x, F, y   x, M, y   x, N, y   ph, x, y   x, Q, y   x, S, y

Proof of Theorem seqfeq4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6201	. . 3 |- ( seq M ( .+ , F ) ` N ) e. _V
2		fvi 6255	. . 3 |- ( ( seq M ( .+ , F ) ` N ) e. _V -> ( _I ` ( seq M ( .+ , F ) ` N ) ) = ( seq M ( .+ , F ) ` N ) )
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 |- ( _I ` ( seq M ( .+ , F ) ` N ) ) = ( seq M ( .+ , F ) ` N )
4		seqfeq4.cl	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
5		seqfeq4.f	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( F ` x ) e. S )
6		seqfeq4.m	. . 3 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
7		seqfeq4.id	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) = ( x Q y ) )
8		ovex 6678	. . . . 5 |- ( x .+ y ) e. _V
9		fvi 6255	. . . . 5 |- ( ( x .+ y ) e. _V -> ( _I ` ( x .+ y ) ) = ( x .+ y ) )
10	8, 9	ax-mp 5	. . . 4 |- ( _I ` ( x .+ y ) ) = ( x .+ y )
11		vex 3203	. . . . . 6 |- x e. _V
12		fvi 6255	. . . . . 6 |- ( x e. _V -> ( _I ` x ) = x )
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( _I ` x ) = x
14		vex 3203	. . . . . 6 |- y e. _V
15		fvi 6255	. . . . . 6 |- ( y e. _V -> ( _I ` y ) = y )
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( _I ` y ) = y
17	13, 16	oveq12i 6662	. . . 4 |- ( ( _I ` x ) Q ( _I ` y ) ) = ( x Q y )
18	7, 10, 17	3eqtr4g 2681	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( _I ` ( x .+ y ) ) = ( ( _I ` x ) Q ( _I ` y ) ) )
19		fvex 6201	. . . 4 |- ( F ` x ) e. _V
20		fvi 6255	. . . 4 |- ( ( F ` x ) e. _V -> ( _I ` ( F ` x ) ) = ( F ` x ) )
21	19, 20	mp1i 13	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( _I ` ( F ` x ) ) = ( F ` x ) )
22	4, 5, 6, 18, 21	seqhomo 12848	. 2 |- ( ph -> ( _I ` ( seq M ( .+ , F ) ` N ) ) = ( seq M ( Q , F ) ` N ) )
23	3, 22	syl5eqr 2670	1 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` N ) = ( seq M ( Q , F ) ` N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   _I cid 5023   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326   seqcseq 12801

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-seq 12802

This theorem is referenced by:  seqfeq3  12851  gsumpropd2lem  17273  gsumzoppg  18344