Theorem gsumpropd2lem 17273

Description: Lemma for gsumpropd2 17274. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumpropd2.f	|- ( ph -> F e. V )
gsumpropd2.g	|- ( ph -> G e. W )
gsumpropd2.h	|- ( ph -> H e. X )
gsumpropd2.b	|- ( ph -> ( Base ` G ) = ( Base ` H ) )
gsumpropd2.c	|- ( ( ph /\ ( s e. ( Base ` G ) /\ t e. ( Base ` G ) ) ) -> ( s ( +g ` G ) t ) e. ( Base ` G ) )
gsumpropd2.e	|- ( ( ph /\ ( s e. ( Base ` G ) /\ t e. ( Base ` G ) ) ) -> ( s ( +g ` G ) t ) = ( s ( +g ` H ) t ) )
gsumpropd2.n	|- ( ph -> Fun F )
gsumpropd2.r	|- ( ph -> ran F C_ ( Base ` G ) )
gsumprop2dlem.1	|- A = ( `' F " ( _V \ { s e. ( Base ` G ) | A. t e. ( Base ` G ) ( ( s ( +g ` G ) t ) = t /\ ( t ( +g ` G ) s ) = t ) } ) )
gsumprop2dlem.2	|- B = ( `' F " ( _V \ { s e. ( Base ` H ) | A. t e. ( Base ` H ) ( ( s ( +g ` H ) t ) = t /\ ( t ( +g ` H ) s ) = t ) } ) )

Assertion

Ref	Expression
gsumpropd2lem	|- ( ph -> ( G gsumg F ) = ( H gsumg F ) )

Distinct variable groups:   t, s, F   G, s, t   H, s, t   ph, s, t

Allowed substitution hints:   A( t, s)   B( t, s)   V( t, s)   W( t, s)   X( t, s)

Proof of Theorem gsumpropd2lem

Dummy variables a b f m n x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumpropd2.b	. . . . 5 |- ( ph -> ( Base ` G ) = ( Base ` H ) )
2	1	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. ( Base ` G ) ) -> ( Base ` G ) = ( Base ` H ) )
3		gsumpropd2.e	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( s e. ( Base ` G ) /\ t e. ( Base ` G ) ) ) -> ( s ( +g ` G ) t ) = ( s ( +g ` H ) t ) )
4	3	eqeq1d 2624	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( s e. ( Base ` G ) /\ t e. ( Base ` G ) ) ) -> ( ( s ( +g ` G ) t ) = t <-> ( s ( +g ` H ) t ) = t ) )
5	3	oveqrspc2v 6673	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` G ) /\ b e. ( Base ` G ) ) ) -> ( a ( +g ` G ) b ) = ( a ( +g ` H ) b ) )
6	5	oveqrspc2v 6673	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( t e. ( Base ` G ) /\ s e. ( Base ` G ) ) ) -> ( t ( +g ` G ) s ) = ( t ( +g ` H ) s ) )
7	6	ancom2s 844	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( s e. ( Base ` G ) /\ t e. ( Base ` G ) ) ) -> ( t ( +g ` G ) s ) = ( t ( +g ` H ) s ) )
8	7	eqeq1d 2624	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( s e. ( Base ` G ) /\ t e. ( Base ` G ) ) ) -> ( ( t ( +g ` G ) s ) = t <-> ( t ( +g ` H ) s ) = t ) )
9	4, 8	anbi12d 747	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( s e. ( Base ` G ) /\ t e. ( Base ` G ) ) ) -> ( ( ( s ( +g ` G ) t ) = t /\ ( t ( +g ` G ) s ) = t ) <-> ( ( s ( +g ` H ) t ) = t /\ ( t ( +g ` H ) s ) = t ) ) )
10	9	anassrs 680	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ s e. ( Base ` G ) ) /\ t e. ( Base ` G ) ) -> ( ( ( s ( +g ` G ) t ) = t /\ ( t ( +g ` G ) s ) = t ) <-> ( ( s ( +g ` H ) t ) = t /\ ( t ( +g ` H ) s ) = t ) ) )
11	2, 10	raleqbidva 3154	. . . . 5 |- ( ( ph /\ s e. ( Base ` G ) ) -> ( A. t e. ( Base ` G ) ( ( s ( +g ` G ) t ) = t /\ ( t ( +g ` G ) s ) = t ) <-> A. t e. ( Base ` H ) ( ( s ( +g ` H ) t ) = t /\ ( t ( +g ` H ) s ) = t ) ) )
12	1, 11	rabeqbidva 3196	. . . 4 |- ( ph -> { s e. ( Base ` G ) | A. t e. ( Base ` G ) ( ( s ( +g ` G ) t ) = t /\ ( t ( +g ` G ) s ) = t ) } = { s e. ( Base ` H ) | A. t e. ( Base ` H ) ( ( s ( +g ` H ) t ) = t /\ ( t ( +g ` H ) s ) = t ) } )
13	12	sseq2d 3633	. . 3 |- ( ph -> ( ran F C_ { s e. ( Base ` G ) | A. t e. ( Base ` G ) ( ( s ( +g ` G ) t ) = t /\ ( t ( +g ` G ) s ) = t ) } <-> ran F C_ { s e. ( Base ` H ) | A. t e. ( Base ` H ) ( ( s ( +g ` H ) t ) = t /\ ( t ( +g ` H ) s ) = t ) } ) )
14		eqidd 2623	. . . 4 |- ( ph -> ( Base ` G ) = ( Base ` G ) )
15	14, 1, 3	grpidpropd 17261	. . 3 |- ( ph -> ( 0g ` G ) = ( 0g ` H ) )
16		simprl 794	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` m ) /\ dom F = ( m ... n ) ) ) -> n e. ( ZZ>= ` m ) )
17		gsumpropd2.r	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ran F C_ ( Base ` G ) )
18	17	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` m ) /\ dom F = ( m ... n ) ) ) /\ s e. ( m ... n ) ) -> ran F C_ ( Base ` G ) )
19		gsumpropd2.n	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> Fun F )
20	19	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` m ) /\ dom F = ( m ... n ) ) ) /\ s e. ( m ... n ) ) -> Fun F )
21		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` m ) /\ dom F = ( m ... n ) ) ) /\ s e. ( m ... n ) ) -> s e. ( m ... n ) )
22		simplrr 801	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` m ) /\ dom F = ( m ... n ) ) ) /\ s e. ( m ... n ) ) -> dom F = ( m ... n ) )
23	21, 22	eleqtrrd 2704	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` m ) /\ dom F = ( m ... n ) ) ) /\ s e. ( m ... n ) ) -> s e. dom F )
24		fvelrn 6352	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Fun F /\ s e. dom F ) -> ( F ` s ) e. ran F )
25	20, 23, 24	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` m ) /\ dom F = ( m ... n ) ) ) /\ s e. ( m ... n ) ) -> ( F ` s ) e. ran F )
26	18, 25	sseldd 3604	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` m ) /\ dom F = ( m ... n ) ) ) /\ s e. ( m ... n ) ) -> ( F ` s ) e. ( Base ` G ) )
27		gsumpropd2.c	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( s e. ( Base ` G ) /\ t e. ( Base ` G ) ) ) -> ( s ( +g ` G ) t ) e. ( Base ` G ) )
28	27	adantlr 751	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` m ) /\ dom F = ( m ... n ) ) ) /\ ( s e. ( Base ` G ) /\ t e. ( Base ` G ) ) ) -> ( s ( +g ` G ) t ) e. ( Base ` G ) )
29	3	adantlr 751	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` m ) /\ dom F = ( m ... n ) ) ) /\ ( s e. ( Base ` G ) /\ t e. ( Base ` G ) ) ) -> ( s ( +g ` G ) t ) = ( s ( +g ` H ) t ) )
30	16, 26, 28, 29	seqfeq4 12850	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` m ) /\ dom F = ( m ... n ) ) ) -> ( seq m ( ( +g ` G ) , F ) ` n ) = ( seq m ( ( +g ` H ) , F ) ` n ) )
31	30	eqeq2d 2632	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` m ) /\ dom F = ( m ... n ) ) ) -> ( x = ( seq m ( ( +g ` G ) , F ) ` n ) <-> x = ( seq m ( ( +g ` H ) , F ) ` n ) ) )
32	31	anassrs 680	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` m ) ) /\ dom F = ( m ... n ) ) -> ( x = ( seq m ( ( +g ` G ) , F ) ` n ) <-> x = ( seq m ( ( +g ` H ) , F ) ` n ) ) )
33	32	pm5.32da 673	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` m ) ) -> ( ( dom F = ( m ... n ) /\ x = ( seq m ( ( +g ` G ) , F ) ` n ) ) <-> ( dom F = ( m ... n ) /\ x = ( seq m ( ( +g ` H ) , F ) ` n ) ) ) )
34	33	rexbidva 3049	. . . . . 6 |- ( ph -> ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) ( dom F = ( m ... n ) /\ x = ( seq m ( ( +g ` G ) , F ) ` n ) ) <-> E. n e. ( ZZ>= ` m ) ( dom F = ( m ... n ) /\ x = ( seq m ( ( +g ` H ) , F ) ` n ) ) ) )
35	34	exbidv 1850	. . . . 5 |- ( ph -> ( E. m E. n e. ( ZZ>= ` m ) ( dom F = ( m ... n ) /\ x = ( seq m ( ( +g ` G ) , F ) ` n ) ) <-> E. m E. n e. ( ZZ>= ` m ) ( dom F = ( m ... n ) /\ x = ( seq m ( ( +g ` H ) , F ) ` n ) ) ) )
36	35	iotabidv 5872	. . . 4 |- ( ph -> ( iota x E. m E. n e. ( ZZ>= ` m ) ( dom F = ( m ... n ) /\ x = ( seq m ( ( +g ` G ) , F ) ` n ) ) ) = ( iota x E. m E. n e. ( ZZ>= ` m ) ( dom F = ( m ... n ) /\ x = ( seq m ( ( +g ` H ) , F ) ` n ) ) ) )
37	12	difeq2d 3728	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( _V \ { s e. ( Base ` G ) | A. t e. ( Base ` G ) ( ( s ( +g ` G ) t ) = t /\ ( t ( +g ` G ) s ) = t ) } ) = ( _V \ { s e. ( Base ` H ) | A. t e. ( Base ` H ) ( ( s ( +g ` H ) t ) = t /\ ( t ( +g ` H ) s ) = t ) } ) )
38	37	imaeq2d 5466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( `' F " ( _V \ { s e. ( Base ` G ) | A. t e. ( Base ` G ) ( ( s ( +g ` G ) t ) = t /\ ( t ( +g ` G ) s ) = t ) } ) ) = ( `' F " ( _V \ { s e. ( Base ` H ) | A. t e. ( Base ` H ) ( ( s ( +g ` H ) t ) = t /\ ( t ( +g ` H ) s ) = t ) } ) ) )
39		gsumprop2dlem.1	. . . . . . . . . . . . . 14 |- A = ( `' F " ( _V \ { s e. ( Base ` G ) | A. t e. ( Base ` G ) ( ( s ( +g ` G ) t ) = t /\ ( t ( +g ` G ) s ) = t ) } ) )
40		gsumprop2dlem.2	. . . . . . . . . . . . . 14 |- B = ( `' F " ( _V \ { s e. ( Base ` H ) | A. t e. ( Base ` H ) ( ( s ( +g ` H ) t ) = t /\ ( t ( +g ` H ) s ) = t ) } ) )
41	38, 39, 40	3eqtr4g 2681	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A = B )
42	41	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( # ` A ) = ( # ` B ) )
43	42	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( F o. f ) ) ` ( # ` A ) ) = ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( F o. f ) ) ` ( # ` B ) ) )
44	43	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) -> ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( F o. f ) ) ` ( # ` A ) ) = ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( F o. f ) ) ` ( # ` B ) ) )
45		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) /\ ( # ` B ) e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( # ` B ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
46	17	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) /\ ( # ` B ) e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ a e. ( 1 ... ( # ` B ) ) ) -> ran F C_ ( Base ` G ) )
47		f1ofun 6139	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A -> Fun f )
48	47	ad3antlr 767	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) /\ ( # ` B ) e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ a e. ( 1 ... ( # ` B ) ) ) -> Fun f )
49		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) /\ ( # ` B ) e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ a e. ( 1 ... ( # ` B ) ) ) -> a e. ( 1 ... ( # ` B ) ) )
50		f1odm 6141	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A -> dom f = ( 1 ... ( # ` A ) ) )
51	50	ad3antlr 767	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) /\ ( # ` B ) e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ a e. ( 1 ... ( # ` B ) ) ) -> dom f = ( 1 ... ( # ` A ) ) )
52	42	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( 1 ... ( # ` A ) ) = ( 1 ... ( # ` B ) ) )
53	52	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) /\ ( # ` B ) e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ a e. ( 1 ... ( # ` B ) ) ) -> ( 1 ... ( # ` A ) ) = ( 1 ... ( # ` B ) ) )
54	51, 53	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) /\ ( # ` B ) e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ a e. ( 1 ... ( # ` B ) ) ) -> dom f = ( 1 ... ( # ` B ) ) )
55	49, 54	eleqtrrd 2704	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) /\ ( # ` B ) e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ a e. ( 1 ... ( # ` B ) ) ) -> a e. dom f )
56		fvco 6274	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( Fun f /\ a e. dom f ) -> ( ( F o. f ) ` a ) = ( F ` ( f ` a ) ) )
57	48, 55, 56	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) /\ ( # ` B ) e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ a e. ( 1 ... ( # ` B ) ) ) -> ( ( F o. f ) ` a ) = ( F ` ( f ` a ) ) )
58	19	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) /\ ( # ` B ) e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ a e. ( 1 ... ( # ` B ) ) ) -> Fun F )
59		difpreima 6343	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( Fun F -> ( `' F " ( _V \ { s e. ( Base ` G ) | A. t e. ( Base ` G ) ( ( s ( +g ` G ) t ) = t /\ ( t ( +g ` G ) s ) = t ) } ) ) = ( ( `' F " _V ) \ ( `' F " { s e. ( Base ` G ) | A. t e. ( Base ` G ) ( ( s ( +g ` G ) t ) = t /\ ( t ( +g ` G ) s ) = t ) } ) ) )
60	19, 59	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( `' F " ( _V \ { s e. ( Base ` G ) | A. t e. ( Base ` G ) ( ( s ( +g ` G ) t ) = t /\ ( t ( +g ` G ) s ) = t ) } ) ) = ( ( `' F " _V ) \ ( `' F " { s e. ( Base ` G ) | A. t e. ( Base ` G ) ( ( s ( +g ` G ) t ) = t /\ ( t ( +g ` G ) s ) = t ) } ) ) )
61	39, 60	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> A = ( ( `' F " _V ) \ ( `' F " { s e. ( Base ` G ) | A. t e. ( Base ` G ) ( ( s ( +g ` G ) t ) = t /\ ( t ( +g ` G ) s ) = t ) } ) ) )
62		difss 3737	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( `' F " _V ) \ ( `' F " { s e. ( Base ` G ) | A. t e. ( Base ` G ) ( ( s ( +g ` G ) t ) = t /\ ( t ( +g ` G ) s ) = t ) } ) ) C_ ( `' F " _V )
63	61, 62	syl6eqss 3655	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> A C_ ( `' F " _V ) )
64		dfdm4 5316	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- dom F = ran `' F
65		dfrn4 5595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ran `' F = ( `' F " _V )
66	64, 65	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- dom F = ( `' F " _V )
67	63, 66	syl6sseqr 3652	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> A C_ dom F )
68	67	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) /\ ( # ` B ) e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ a e. ( 1 ... ( # ` B ) ) ) -> A C_ dom F )
69		f1of 6137	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A -> f : ( 1 ... ( # ` A ) ) --> A )
70	69	ad3antlr 767	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) /\ ( # ` B ) e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ a e. ( 1 ... ( # ` B ) ) ) -> f : ( 1 ... ( # ` A ) ) --> A )
71	49, 53	eleqtrrd 2704	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) /\ ( # ` B ) e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ a e. ( 1 ... ( # ` B ) ) ) -> a e. ( 1 ... ( # ` A ) ) )
72	70, 71	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) /\ ( # ` B ) e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ a e. ( 1 ... ( # ` B ) ) ) -> ( f ` a ) e. A )
73	68, 72	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) /\ ( # ` B ) e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ a e. ( 1 ... ( # ` B ) ) ) -> ( f ` a ) e. dom F )
74		fvelrn 6352	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( Fun F /\ ( f ` a ) e. dom F ) -> ( F ` ( f ` a ) ) e. ran F )
75	58, 73, 74	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) /\ ( # ` B ) e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ a e. ( 1 ... ( # ` B ) ) ) -> ( F ` ( f ` a ) ) e. ran F )
76	57, 75	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) /\ ( # ` B ) e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ a e. ( 1 ... ( # ` B ) ) ) -> ( ( F o. f ) ` a ) e. ran F )
77	46, 76	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) /\ ( # ` B ) e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ a e. ( 1 ... ( # ` B ) ) ) -> ( ( F o. f ) ` a ) e. ( Base ` G ) )
78		simpll 790	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) /\ ( # ` B ) e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ph )
79	27	caovclg 6826	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` G ) /\ b e. ( Base ` G ) ) ) -> ( a ( +g ` G ) b ) e. ( Base ` G ) )
80	78, 79	sylan 488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) /\ ( # ` B ) e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ ( a e. ( Base ` G ) /\ b e. ( Base ` G ) ) ) -> ( a ( +g ` G ) b ) e. ( Base ` G ) )
81	78, 5	sylan 488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) /\ ( # ` B ) e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ ( a e. ( Base ` G ) /\ b e. ( Base ` G ) ) ) -> ( a ( +g ` G ) b ) = ( a ( +g ` H ) b ) )
82	45, 77, 80, 81	seqfeq4 12850	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) /\ ( # ` B ) e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( F o. f ) ) ` ( # ` B ) ) = ( seq 1 ( ( +g ` H ) , ( F o. f ) ) ` ( # ` B ) ) )
83		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ -. ( # ` B ) e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> -. ( # ` B ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
84		1z 11407	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 1 e. ZZ
85		seqfn 12813	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 1 e. ZZ -> seq 1 ( ( +g ` G ) , ( F o. f ) ) Fn ( ZZ>= ` 1 ) )
86		fndm 5990	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( F o. f ) ) Fn ( ZZ>= ` 1 ) -> dom seq 1 ( ( +g ` G ) , ( F o. f ) ) = ( ZZ>= ` 1 ) )
87	84, 85, 86	mp2b 10	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- dom seq 1 ( ( +g ` G ) , ( F o. f ) ) = ( ZZ>= ` 1 )
88	87	eleq2i 2693	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( # ` B ) e. dom seq 1 ( ( +g ` G ) , ( F o. f ) ) <-> ( # ` B ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
89	83, 88	sylnibr 319	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ -. ( # ` B ) e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> -. ( # ` B ) e. dom seq 1 ( ( +g ` G ) , ( F o. f ) ) )
90		ndmfv 6218	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -. ( # ` B ) e. dom seq 1 ( ( +g ` G ) , ( F o. f ) ) -> ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( F o. f ) ) ` ( # ` B ) ) = (/) )
91	89, 90	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ -. ( # ` B ) e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( F o. f ) ) ` ( # ` B ) ) = (/) )
92		seqfn 12813	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 1 e. ZZ -> seq 1 ( ( +g ` H ) , ( F o. f ) ) Fn ( ZZ>= ` 1 ) )
93		fndm 5990	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( seq 1 ( ( +g ` H ) , ( F o. f ) ) Fn ( ZZ>= ` 1 ) -> dom seq 1 ( ( +g ` H ) , ( F o. f ) ) = ( ZZ>= ` 1 ) )
94	84, 92, 93	mp2b 10	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- dom seq 1 ( ( +g ` H ) , ( F o. f ) ) = ( ZZ>= ` 1 )
95	94	eleq2i 2693	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( # ` B ) e. dom seq 1 ( ( +g ` H ) , ( F o. f ) ) <-> ( # ` B ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
96	83, 95	sylnibr 319	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ -. ( # ` B ) e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> -. ( # ` B ) e. dom seq 1 ( ( +g ` H ) , ( F o. f ) ) )
97		ndmfv 6218	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -. ( # ` B ) e. dom seq 1 ( ( +g ` H ) , ( F o. f ) ) -> ( seq 1 ( ( +g ` H ) , ( F o. f ) ) ` ( # ` B ) ) = (/) )
98	96, 97	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ -. ( # ` B ) e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( seq 1 ( ( +g ` H ) , ( F o. f ) ) ` ( # ` B ) ) = (/) )
99	91, 98	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ -. ( # ` B ) e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( F o. f ) ) ` ( # ` B ) ) = ( seq 1 ( ( +g ` H ) , ( F o. f ) ) ` ( # ` B ) ) )
100	99	adantlr 751	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) /\ -. ( # ` B ) e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( F o. f ) ) ` ( # ` B ) ) = ( seq 1 ( ( +g ` H ) , ( F o. f ) ) ` ( # ` B ) ) )
101	82, 100	pm2.61dan 832	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) -> ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( F o. f ) ) ` ( # ` B ) ) = ( seq 1 ( ( +g ` H ) , ( F o. f ) ) ` ( # ` B ) ) )
102	44, 101	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) -> ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( F o. f ) ) ` ( # ` A ) ) = ( seq 1 ( ( +g ` H ) , ( F o. f ) ) ` ( # ` B ) ) )
103	102	eqeq2d 2632	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) -> ( x = ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( F o. f ) ) ` ( # ` A ) ) <-> x = ( seq 1 ( ( +g ` H ) , ( F o. f ) ) ` ( # ` B ) ) ) )
104	103	pm5.32da 673	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( F o. f ) ) ` ( # ` A ) ) ) <-> ( f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( ( +g ` H ) , ( F o. f ) ) ` ( # ` B ) ) ) ) )
105		f1oeq2 6128	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 ... ( # ` A ) ) = ( 1 ... ( # ` B ) ) -> ( f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A <-> f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> A ) )
106	52, 105	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A <-> f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> A ) )
107		f1oeq3 6129	. . . . . . . . . 10 |- ( A = B -> ( f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> A <-> f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) )
108	41, 107	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> A <-> f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) )
109	106, 108	bitrd 268	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A <-> f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) )
110	109	anbi1d 741	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( ( +g ` H ) , ( F o. f ) ) ` ( # ` B ) ) ) <-> ( f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B /\ x = ( seq 1 ( ( +g ` H ) , ( F o. f ) ) ` ( # ` B ) ) ) ) )
111	104, 110	bitrd 268	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( F o. f ) ) ` ( # ` A ) ) ) <-> ( f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B /\ x = ( seq 1 ( ( +g ` H ) , ( F o. f ) ) ` ( # ` B ) ) ) ) )
112	111	exbidv 1850	. . . . 5 |- ( ph -> ( E. f ( f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( F o. f ) ) ` ( # ` A ) ) ) <-> E. f ( f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B /\ x = ( seq 1 ( ( +g ` H ) , ( F o. f ) ) ` ( # ` B ) ) ) ) )
113	112	iotabidv 5872	. . . 4 |- ( ph -> ( iota x E. f ( f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( F o. f ) ) ` ( # ` A ) ) ) ) = ( iota x E. f ( f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B /\ x = ( seq 1 ( ( +g ` H ) , ( F o. f ) ) ` ( # ` B ) ) ) ) )
114	36, 113	ifeq12d 4106	. . 3 |- ( ph -> if ( dom F e. ran ... , ( iota x E. m E. n e. ( ZZ>= ` m ) ( dom F = ( m ... n ) /\ x = ( seq m ( ( +g ` G ) , F ) ` n ) ) ) , ( iota x E. f ( f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( F o. f ) ) ` ( # ` A ) ) ) ) ) = if ( dom F e. ran ... , ( iota x E. m E. n e. ( ZZ>= ` m ) ( dom F = ( m ... n ) /\ x = ( seq m ( ( +g ` H ) , F ) ` n ) ) ) , ( iota x E. f ( f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B /\ x = ( seq 1 ( ( +g ` H ) , ( F o. f ) ) ` ( # ` B ) ) ) ) ) )
115	13, 15, 114	ifbieq12d 4113	. 2 |- ( ph -> if ( ran F C_ { s e. ( Base ` G ) | A. t e. ( Base ` G ) ( ( s ( +g ` G ) t ) = t /\ ( t ( +g ` G ) s ) = t ) } , ( 0g ` G ) , if ( dom F e. ran ... , ( iota x E. m E. n e. ( ZZ>= ` m ) ( dom F = ( m ... n ) /\ x = ( seq m ( ( +g ` G ) , F ) ` n ) ) ) , ( iota x E. f ( f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( F o. f ) ) ` ( # ` A ) ) ) ) ) ) = if ( ran F C_ { s e. ( Base ` H ) | A. t e. ( Base ` H ) ( ( s ( +g ` H ) t ) = t /\ ( t ( +g ` H ) s ) = t ) } , ( 0g ` H ) , if ( dom F e. ran ... , ( iota x E. m E. n e. ( ZZ>= ` m ) ( dom F = ( m ... n ) /\ x = ( seq m ( ( +g ` H ) , F ) ` n ) ) ) , ( iota x E. f ( f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B /\ x = ( seq 1 ( ( +g ` H ) , ( F o. f ) ) ` ( # ` B ) ) ) ) ) ) )
116		eqid 2622	. . 3 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
117		eqid 2622	. . 3 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
118		eqid 2622	. . 3 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
119		eqid 2622	. . 3 |- { s e. ( Base ` G ) | A. t e. ( Base ` G ) ( ( s ( +g ` G ) t ) = t /\ ( t ( +g ` G ) s ) = t ) } = { s e. ( Base ` G ) | A. t e. ( Base ` G ) ( ( s ( +g ` G ) t ) = t /\ ( t ( +g ` G ) s ) = t ) }
120	39	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> A = ( `' F " ( _V \ { s e. ( Base ` G ) | A. t e. ( Base ` G ) ( ( s ( +g ` G ) t ) = t /\ ( t ( +g ` G ) s ) = t ) } ) ) )
121		gsumpropd2.g	. . 3 |- ( ph -> G e. W )
122		gsumpropd2.f	. . 3 |- ( ph -> F e. V )
123		eqidd 2623	. . 3 |- ( ph -> dom F = dom F )
124	116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123	gsumvalx 17270	. 2 |- ( ph -> ( G gsumg F ) = if ( ran F C_ { s e. ( Base ` G ) | A. t e. ( Base ` G ) ( ( s ( +g ` G ) t ) = t /\ ( t ( +g ` G ) s ) = t ) } , ( 0g ` G ) , if ( dom F e. ran ... , ( iota x E. m E. n e. ( ZZ>= ` m ) ( dom F = ( m ... n ) /\ x = ( seq m ( ( +g ` G ) , F ) ` n ) ) ) , ( iota x E. f ( f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( F o. f ) ) ` ( # ` A ) ) ) ) ) ) )
125		eqid 2622	. . 3 |- ( Base ` H ) = ( Base ` H )
126		eqid 2622	. . 3 |- ( 0g ` H ) = ( 0g ` H )
127		eqid 2622	. . 3 |- ( +g ` H ) = ( +g ` H )
128		eqid 2622	. . 3 |- { s e. ( Base ` H ) | A. t e. ( Base ` H ) ( ( s ( +g ` H ) t ) = t /\ ( t ( +g ` H ) s ) = t ) } = { s e. ( Base ` H ) | A. t e. ( Base ` H ) ( ( s ( +g ` H ) t ) = t /\ ( t ( +g ` H ) s ) = t ) }
129	40	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> B = ( `' F " ( _V \ { s e. ( Base ` H ) | A. t e. ( Base ` H ) ( ( s ( +g ` H ) t ) = t /\ ( t ( +g ` H ) s ) = t ) } ) ) )
130		gsumpropd2.h	. . 3 |- ( ph -> H e. X )
131	125, 126, 127, 128, 129, 130, 122, 123	gsumvalx 17270	. 2 |- ( ph -> ( H gsumg F ) = if ( ran F C_ { s e. ( Base ` H ) | A. t e. ( Base ` H ) ( ( s ( +g ` H ) t ) = t /\ ( t ( +g ` H ) s ) = t ) } , ( 0g ` H ) , if ( dom F e. ran ... , ( iota x E. m E. n e. ( ZZ>= ` m ) ( dom F = ( m ... n ) /\ x = ( seq m ( ( +g ` H ) , F ) ` n ) ) ) , ( iota x E. f ( f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B /\ x = ( seq 1 ( ( +g ` H ) , ( F o. f ) ) ` ( # ` B ) ) ) ) ) ) )
132	115, 124, 131	3eqtr4d 2666	1 |- ( ph -> ( G gsumg F ) = ( H gsumg F ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ifcif 4086   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   ran crn 5115   "cima 5117   o. ccom 5118   iotacio 5849   Fun wfun 5882   Fn wfn 5883   -->wf 5884   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   1c1 9937   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326   seqcseq 12801   #chash 13117   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   0gc0g 16100   gsum_g cgsu 16101

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-seq 12802  df-0g 16102  df-gsum 16103

This theorem is referenced by:  gsumpropd2  17274