Theorem seqhomo 12848

Description: Apply a homomorphism to a sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jul-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
seqhomo.1	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
seqhomo.2	|- ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( F ` x ) e. S )
seqhomo.3	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
seqhomo.4	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( H ` ( x .+ y ) ) = ( ( H ` x ) Q ( H ` y ) ) )
seqhomo.5	|- ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( H ` ( F ` x ) ) = ( G ` x ) )

Assertion

Ref	Expression
seqhomo	|- ( ph -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` N ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` N ) )

Distinct variable groups:   x, y, F   x, H, y   x, M, y   x, N, y   ph, x, y   x, G   x, .+ , y   x, Q, y   x, S, y

Allowed substitution hint:   G( y)

Proof of Theorem seqhomo

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		seqhomo.3	. . 3 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
2		eluzfz2 12349	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ( M ... N ) )
3	1, 2	syl 17	. 2 |- ( ph -> N e. ( M ... N ) )
4		eleq1 2689	. . . . . 6 |- ( x = M -> ( x e. ( M ... N ) <-> M e. ( M ... N ) ) )
5		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( x = M -> ( seq M ( .+ , F ) ` x ) = ( seq M ( .+ , F ) ` M ) )
6	5	fveq2d 6195	. . . . . . 7 |- ( x = M -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` x ) ) = ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` M ) ) )
7		fveq2 6191	. . . . . . 7 |- ( x = M -> ( seq M ( Q , G ) ` x ) = ( seq M ( Q , G ) ` M ) )
8	6, 7	eqeq12d 2637	. . . . . 6 |- ( x = M -> ( ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` x ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` x ) <-> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` M ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` M ) ) )
9	4, 8	imbi12d 334	. . . . 5 |- ( x = M -> ( ( x e. ( M ... N ) -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` x ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` x ) ) <-> ( M e. ( M ... N ) -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` M ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` M ) ) ) )
10	9	imbi2d 330	. . . 4 |- ( x = M -> ( ( ph -> ( x e. ( M ... N ) -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` x ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` x ) ) ) <-> ( ph -> ( M e. ( M ... N ) -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` M ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` M ) ) ) ) )
11		eleq1 2689	. . . . . 6 |- ( x = n -> ( x e. ( M ... N ) <-> n e. ( M ... N ) ) )
12		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( x = n -> ( seq M ( .+ , F ) ` x ) = ( seq M ( .+ , F ) ` n ) )
13	12	fveq2d 6195	. . . . . . 7 |- ( x = n -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` x ) ) = ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` n ) ) )
14		fveq2 6191	. . . . . . 7 |- ( x = n -> ( seq M ( Q , G ) ` x ) = ( seq M ( Q , G ) ` n ) )
15	13, 14	eqeq12d 2637	. . . . . 6 |- ( x = n -> ( ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` x ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` x ) <-> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` n ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` n ) ) )
16	11, 15	imbi12d 334	. . . . 5 |- ( x = n -> ( ( x e. ( M ... N ) -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` x ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` x ) ) <-> ( n e. ( M ... N ) -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` n ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` n ) ) ) )
17	16	imbi2d 330	. . . 4 |- ( x = n -> ( ( ph -> ( x e. ( M ... N ) -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` x ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` x ) ) ) <-> ( ph -> ( n e. ( M ... N ) -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` n ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` n ) ) ) ) )
18		eleq1 2689	. . . . . 6 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( x e. ( M ... N ) <-> ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) )
19		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` x ) = ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) )
20	19	fveq2d 6195	. . . . . . 7 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` x ) ) = ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) ) )
21		fveq2 6191	. . . . . . 7 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( seq M ( Q , G ) ` x ) = ( seq M ( Q , G ) ` ( n + 1 ) ) )
22	20, 21	eqeq12d 2637	. . . . . 6 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` x ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` x ) <-> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` ( n + 1 ) ) ) )
23	18, 22	imbi12d 334	. . . . 5 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( ( x e. ( M ... N ) -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` x ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` x ) ) <-> ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` ( n + 1 ) ) ) ) )
24	23	imbi2d 330	. . . 4 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( ( ph -> ( x e. ( M ... N ) -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` x ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` x ) ) ) <-> ( ph -> ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` ( n + 1 ) ) ) ) ) )
25		eleq1 2689	. . . . . 6 |- ( x = N -> ( x e. ( M ... N ) <-> N e. ( M ... N ) ) )
26		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( x = N -> ( seq M ( .+ , F ) ` x ) = ( seq M ( .+ , F ) ` N ) )
27	26	fveq2d 6195	. . . . . . 7 |- ( x = N -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` x ) ) = ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` N ) ) )
28		fveq2 6191	. . . . . . 7 |- ( x = N -> ( seq M ( Q , G ) ` x ) = ( seq M ( Q , G ) ` N ) )
29	27, 28	eqeq12d 2637	. . . . . 6 |- ( x = N -> ( ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` x ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` x ) <-> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` N ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` N ) ) )
30	25, 29	imbi12d 334	. . . . 5 |- ( x = N -> ( ( x e. ( M ... N ) -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` x ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` x ) ) <-> ( N e. ( M ... N ) -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` N ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` N ) ) ) )
31	30	imbi2d 330	. . . 4 |- ( x = N -> ( ( ph -> ( x e. ( M ... N ) -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` x ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` x ) ) ) <-> ( ph -> ( N e. ( M ... N ) -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` N ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` N ) ) ) ) )
32		eluzfz1 12348	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ( M ... N ) )
33	1, 32	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M e. ( M ... N ) )
34		seqhomo.5	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( H ` ( F ` x ) ) = ( G ` x ) )
35	34	ralrimiva 2966	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. x e. ( M ... N ) ( H ` ( F ` x ) ) = ( G ` x ) )
36		fveq2 6191	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = M -> ( F ` x ) = ( F ` M ) )
37	36	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 |- ( x = M -> ( H ` ( F ` x ) ) = ( H ` ( F ` M ) ) )
38		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( x = M -> ( G ` x ) = ( G ` M ) )
39	37, 38	eqeq12d 2637	. . . . . . . . 9 |- ( x = M -> ( ( H ` ( F ` x ) ) = ( G ` x ) <-> ( H ` ( F ` M ) ) = ( G ` M ) ) )
40	39	rspcv 3305	. . . . . . . 8 |- ( M e. ( M ... N ) -> ( A. x e. ( M ... N ) ( H ` ( F ` x ) ) = ( G ` x ) -> ( H ` ( F ` M ) ) = ( G ` M ) ) )
41	33, 35, 40	sylc 65	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( H ` ( F ` M ) ) = ( G ` M ) )
42		eluzel2 11692	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
43		seq1 12814	. . . . . . . . 9 |- ( M e. ZZ -> ( seq M ( .+ , F ) ` M ) = ( F ` M ) )
44	1, 42, 43	3syl 18	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` M ) = ( F ` M ) )
45	44	fveq2d 6195	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` M ) ) = ( H ` ( F ` M ) ) )
46		seq1 12814	. . . . . . . 8 |- ( M e. ZZ -> ( seq M ( Q , G ) ` M ) = ( G ` M ) )
47	1, 42, 46	3syl 18	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( seq M ( Q , G ) ` M ) = ( G ` M ) )
48	41, 45, 47	3eqtr4d 2666	. . . . . 6 |- ( ph -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` M ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` M ) )
49	48	a1d 25	. . . . 5 |- ( ph -> ( M e. ( M ... N ) -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` M ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` M ) ) )
50	49	a1i 11	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> ( ph -> ( M e. ( M ... N ) -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` M ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` M ) ) ) )
51		simprl 794	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> n e. ( ZZ>= ` M ) )
52		simprr 796	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( n + 1 ) e. ( M ... N ) )
53		peano2fzr 12354	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) -> n e. ( M ... N ) )
54	51, 52, 53	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> n e. ( M ... N ) )
55	54	expr 643	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) -> n e. ( M ... N ) ) )
56	55	imim1d 82	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( n e. ( M ... N ) -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` n ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` n ) ) -> ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` n ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` n ) ) ) )
57		oveq1 6657	. . . . . . . . . 10 |- ( ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` n ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` n ) -> ( ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` n ) ) Q ( G ` ( n + 1 ) ) ) = ( ( seq M ( Q , G ) ` n ) Q ( G ` ( n + 1 ) ) ) )
58		seqp1 12816	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. ( ZZ>= ` M ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
59	58	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
60	59	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) ) = ( H ` ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) )
61		seqhomo.4	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( H ` ( x .+ y ) ) = ( ( H ` x ) Q ( H ` y ) ) )
62	61	ralrimivva 2971	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A. x e. S A. y e. S ( H ` ( x .+ y ) ) = ( ( H ` x ) Q ( H ` y ) ) )
63	62	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> A. x e. S A. y e. S ( H ` ( x .+ y ) ) = ( ( H ` x ) Q ( H ` y ) ) )
64		elfzuz3 12339	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n e. ( M ... N ) -> N e. ( ZZ>= ` n ) )
65		fzss2 12381	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( N e. ( ZZ>= ` n ) -> ( M ... n ) C_ ( M ... N ) )
66	54, 64, 65	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( M ... n ) C_ ( M ... N ) )
67	66	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) /\ x e. ( M ... n ) ) -> x e. ( M ... N ) )
68		seqhomo.2	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( F ` x ) e. S )
69	68	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( F ` x ) e. S )
70	67, 69	syldan 487	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) /\ x e. ( M ... n ) ) -> ( F ` x ) e. S )
71		seqhomo.1	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
72	71	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
73	51, 70, 72	seqcl 12821	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` n ) e. S )
74	68	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> A. x e. ( M ... N ) ( F ` x ) e. S )
75	74	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> A. x e. ( M ... N ) ( F ` x ) e. S )
76		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( F ` x ) = ( F ` ( n + 1 ) ) )
77	76	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( ( F ` x ) e. S <-> ( F ` ( n + 1 ) ) e. S ) )
78	77	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( A. x e. ( M ... N ) ( F ` x ) e. S -> ( F ` ( n + 1 ) ) e. S ) )
79	52, 75, 78	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( F ` ( n + 1 ) ) e. S )
80		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = ( seq M ( .+ , F ) ` n ) -> ( x .+ y ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ y ) )
81	80	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = ( seq M ( .+ , F ) ` n ) -> ( H ` ( x .+ y ) ) = ( H ` ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ y ) ) )
82		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = ( seq M ( .+ , F ) ` n ) -> ( H ` x ) = ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` n ) ) )
83	82	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = ( seq M ( .+ , F ) ` n ) -> ( ( H ` x ) Q ( H ` y ) ) = ( ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` n ) ) Q ( H ` y ) ) )
84	81, 83	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = ( seq M ( .+ , F ) ` n ) -> ( ( H ` ( x .+ y ) ) = ( ( H ` x ) Q ( H ` y ) ) <-> ( H ` ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ y ) ) = ( ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` n ) ) Q ( H ` y ) ) ) )
85		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = ( F ` ( n + 1 ) ) -> ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ y ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
86	85	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = ( F ` ( n + 1 ) ) -> ( H ` ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ y ) ) = ( H ` ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) )
87		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = ( F ` ( n + 1 ) ) -> ( H ` y ) = ( H ` ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
88	87	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = ( F ` ( n + 1 ) ) -> ( ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` n ) ) Q ( H ` y ) ) = ( ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` n ) ) Q ( H ` ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) )
89	86, 88	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = ( F ` ( n + 1 ) ) -> ( ( H ` ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ y ) ) = ( ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` n ) ) Q ( H ` y ) ) <-> ( H ` ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) = ( ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` n ) ) Q ( H ` ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) ) )
90	84, 89	rspc2v 3322	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) e. S /\ ( F ` ( n + 1 ) ) e. S ) -> ( A. x e. S A. y e. S ( H ` ( x .+ y ) ) = ( ( H ` x ) Q ( H ` y ) ) -> ( H ` ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) = ( ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` n ) ) Q ( H ` ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) ) )
91	73, 79, 90	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( A. x e. S A. y e. S ( H ` ( x .+ y ) ) = ( ( H ` x ) Q ( H ` y ) ) -> ( H ` ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) = ( ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` n ) ) Q ( H ` ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) ) )
92	63, 91	mpd 15	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( H ` ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) = ( ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` n ) ) Q ( H ` ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) )
93	35	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> A. x e. ( M ... N ) ( H ` ( F ` x ) ) = ( G ` x ) )
94	76	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( H ` ( F ` x ) ) = ( H ` ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
95		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( G ` x ) = ( G ` ( n + 1 ) ) )
96	94, 95	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( ( H ` ( F ` x ) ) = ( G ` x ) <-> ( H ` ( F ` ( n + 1 ) ) ) = ( G ` ( n + 1 ) ) ) )
97	96	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( A. x e. ( M ... N ) ( H ` ( F ` x ) ) = ( G ` x ) -> ( H ` ( F ` ( n + 1 ) ) ) = ( G ` ( n + 1 ) ) ) )
98	52, 93, 97	sylc 65	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( H ` ( F ` ( n + 1 ) ) ) = ( G ` ( n + 1 ) ) )
99	98	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` n ) ) Q ( H ` ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) = ( ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` n ) ) Q ( G ` ( n + 1 ) ) ) )
100	60, 92, 99	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) ) = ( ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` n ) ) Q ( G ` ( n + 1 ) ) ) )
101		seqp1 12816	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. ( ZZ>= ` M ) -> ( seq M ( Q , G ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq M ( Q , G ) ` n ) Q ( G ` ( n + 1 ) ) ) )
102	101	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( seq M ( Q , G ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq M ( Q , G ) ` n ) Q ( G ` ( n + 1 ) ) ) )
103	100, 102	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` ( n + 1 ) ) <-> ( ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` n ) ) Q ( G ` ( n + 1 ) ) ) = ( ( seq M ( Q , G ) ` n ) Q ( G ` ( n + 1 ) ) ) ) )
104	57, 103	syl5ibr 236	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` n ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` n ) -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` ( n + 1 ) ) ) )
105	104	expr 643	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` n ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` n ) -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` ( n + 1 ) ) ) ) )
106	105	a2d 29	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` n ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` n ) ) -> ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` ( n + 1 ) ) ) ) )
107	56, 106	syld 47	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( n e. ( M ... N ) -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` n ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` n ) ) -> ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` ( n + 1 ) ) ) ) )
108	107	expcom 451	. . . . 5 |- ( n e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ph -> ( ( n e. ( M ... N ) -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` n ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` n ) ) -> ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` ( n + 1 ) ) ) ) ) )
109	108	a2d 29	. . . 4 |- ( n e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( ph -> ( n e. ( M ... N ) -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` n ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` n ) ) ) -> ( ph -> ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` ( n + 1 ) ) ) ) ) )
110	10, 17, 24, 31, 50, 109	uzind4 11746	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ph -> ( N e. ( M ... N ) -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` N ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` N ) ) ) )
111	1, 110	mpcom 38	. 2 |- ( ph -> ( N e. ( M ... N ) -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` N ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` N ) ) )
112	3, 111	mpd 15	1 |- ( ph -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` N ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   C_ wss 3574   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   1c1 9937   + caddc 9939   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326   seqcseq 12801

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-seq 12802

This theorem is referenced by:  seqfeq4  12850  seqdistr  12852  seqof  12858  fsumrelem  14539  efcj  14822  gsumwmhm  17382  gsumzmhm  18337  elqaalem2  24075  logfac  24347  gamcvg2lem  24785  prmorcht  24904  pclogsum  24940