Theorem elqaalem2 24075

Description: Lemma for elqaa 24077. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jul-2014.) (Revised by AV, 3-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
elqaa.1	|- ( ph -> A e. CC )
elqaa.2	|- ( ph -> F e. ( (Poly ` QQ ) \ { 0p } ) )
elqaa.3	|- ( ph -> ( F ` A ) = 0 )
elqaa.4	|- B = (coeff ` F )
elqaa.5	|- N = ( k e. NN0 |-> inf ( { n e. NN | ( ( B ` k ) x. n ) e. ZZ } , RR , < ) )
elqaa.6	|- R = ( seq 0 ( x. , N ) ` (deg ` F ) )
elqaa.7	|- P = ( x e. _V , y e. _V |-> ( ( x x. y ) mod ( N ` K ) ) )

Assertion

Ref	Expression
elqaalem2	|- ( ( ph /\ K e. ( 0 ... (deg ` F ) ) ) -> ( R mod ( N ` K ) ) = 0 )

Distinct variable groups:   k, n, x, y, A   B, k, n   ph, k   k, K, n, x, y   k, N, n, x, y   R, k

Allowed substitution hints:   ph( x, y, n)   B( x, y)   P( x, y, k, n)   R( x, y, n)   F( x, y, k, n)

Proof of Theorem elqaalem2

Dummy variables m i j are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfznn0 12433	. . 3 |- ( K e. ( 0 ... (deg ` F ) ) -> K e. NN0 )
2		elqaa.6	. . . . 5 |- R = ( seq 0 ( x. , N ) ` (deg ` F ) )
3	2	fveq2i 6194	. . . 4 |- ( ( k e. NN |-> ( k mod ( N ` K ) ) ) ` R ) = ( ( k e. NN |-> ( k mod ( N ` K ) ) ) ` ( seq 0 ( x. , N ) ` (deg ` F ) ) )
4		nnmulcl 11043	. . . . . 6 |- ( ( i e. NN /\ j e. NN ) -> ( i x. j ) e. NN )
5	4	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. NN /\ j e. NN ) ) -> ( i x. j ) e. NN )
6		elfznn0 12433	. . . . . 6 |- ( i e. ( 0 ... (deg ` F ) ) -> i e. NN0 )
7		elqaa.1	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A e. CC )
8		elqaa.2	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F e. ( (Poly ` QQ ) \ { 0p } ) )
9		elqaa.3	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( F ` A ) = 0 )
10		elqaa.4	. . . . . . . . 9 |- B = (coeff ` F )
11		elqaa.5	. . . . . . . . 9 |- N = ( k e. NN0 |-> inf ( { n e. NN | ( ( B ` k ) x. n ) e. ZZ } , RR , < ) )
12	7, 8, 9, 10, 11, 2	elqaalem1 24074	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. NN0 ) -> ( ( N ` i ) e. NN /\ ( ( B ` i ) x. ( N ` i ) ) e. ZZ ) )
13	12	simpld 475	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. NN0 ) -> ( N ` i ) e. NN )
14	13	adantlr 751	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ K e. NN0 ) /\ i e. NN0 ) -> ( N ` i ) e. NN )
15	6, 14	sylan2 491	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ K e. NN0 ) /\ i e. ( 0 ... (deg ` F ) ) ) -> ( N ` i ) e. NN )
16		eldifi 3732	. . . . . . . 8 |- ( F e. ( (Poly ` QQ ) \ { 0p } ) -> F e. (Poly ` QQ ) )
17		dgrcl 23989	. . . . . . . 8 |- ( F e. (Poly ` QQ ) -> (deg ` F ) e. NN0 )
18	8, 16, 17	3syl 18	. . . . . . 7 |- ( ph -> (deg ` F ) e. NN0 )
19		nn0uz 11722	. . . . . . 7 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
20	18, 19	syl6eleq 2711	. . . . . 6 |- ( ph -> (deg ` F ) e. ( ZZ>= ` 0 ) )
21	20	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ K e. NN0 ) -> (deg ` F ) e. ( ZZ>= ` 0 ) )
22		nnz 11399	. . . . . . . . . 10 |- ( i e. NN -> i e. ZZ )
23	22	ad2antrl 764	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. NN /\ j e. NN ) ) -> i e. ZZ )
24	7, 8, 9, 10, 11, 2	elqaalem1 24074	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ K e. NN0 ) -> ( ( N ` K ) e. NN /\ ( ( B ` K ) x. ( N ` K ) ) e. ZZ ) )
25	24	simpld 475	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ K e. NN0 ) -> ( N ` K ) e. NN )
26	25	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. NN /\ j e. NN ) ) -> ( N ` K ) e. NN )
27	23, 26	zmodcld 12691	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. NN /\ j e. NN ) ) -> ( i mod ( N ` K ) ) e. NN0 )
28	27	nn0zd 11480	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. NN /\ j e. NN ) ) -> ( i mod ( N ` K ) ) e. ZZ )
29		nnz 11399	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. NN -> j e. ZZ )
30	29	ad2antll 765	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. NN /\ j e. NN ) ) -> j e. ZZ )
31	30, 26	zmodcld 12691	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. NN /\ j e. NN ) ) -> ( j mod ( N ` K ) ) e. NN0 )
32	31	nn0zd 11480	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. NN /\ j e. NN ) ) -> ( j mod ( N ` K ) ) e. ZZ )
33	26	nnrpd 11870	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. NN /\ j e. NN ) ) -> ( N ` K ) e. RR+ )
34		nnre 11027	. . . . . . . . 9 |- ( i e. NN -> i e. RR )
35	34	ad2antrl 764	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. NN /\ j e. NN ) ) -> i e. RR )
36		modabs2 12704	. . . . . . . 8 |- ( ( i e. RR /\ ( N ` K ) e. RR+ ) -> ( ( i mod ( N ` K ) ) mod ( N ` K ) ) = ( i mod ( N ` K ) ) )
37	35, 33, 36	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. NN /\ j e. NN ) ) -> ( ( i mod ( N ` K ) ) mod ( N ` K ) ) = ( i mod ( N ` K ) ) )
38		nnre 11027	. . . . . . . . 9 |- ( j e. NN -> j e. RR )
39	38	ad2antll 765	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. NN /\ j e. NN ) ) -> j e. RR )
40		modabs2 12704	. . . . . . . 8 |- ( ( j e. RR /\ ( N ` K ) e. RR+ ) -> ( ( j mod ( N ` K ) ) mod ( N ` K ) ) = ( j mod ( N ` K ) ) )
41	39, 33, 40	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. NN /\ j e. NN ) ) -> ( ( j mod ( N ` K ) ) mod ( N ` K ) ) = ( j mod ( N ` K ) ) )
42	28, 23, 32, 30, 33, 37, 41	modmul12d 12724	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. NN /\ j e. NN ) ) -> ( ( ( i mod ( N ` K ) ) x. ( j mod ( N ` K ) ) ) mod ( N ` K ) ) = ( ( i x. j ) mod ( N ` K ) ) )
43		oveq1 6657	. . . . . . . . . 10 |- ( k = i -> ( k mod ( N ` K ) ) = ( i mod ( N ` K ) ) )
44		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. NN |-> ( k mod ( N ` K ) ) ) = ( k e. NN |-> ( k mod ( N ` K ) ) )
45		ovex 6678	. . . . . . . . . 10 |- ( i mod ( N ` K ) ) e. _V
46	43, 44, 45	fvmpt 6282	. . . . . . . . 9 |- ( i e. NN -> ( ( k e. NN |-> ( k mod ( N ` K ) ) ) ` i ) = ( i mod ( N ` K ) ) )
47	46	ad2antrl 764	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. NN /\ j e. NN ) ) -> ( ( k e. NN |-> ( k mod ( N ` K ) ) ) ` i ) = ( i mod ( N ` K ) ) )
48		oveq1 6657	. . . . . . . . . 10 |- ( k = j -> ( k mod ( N ` K ) ) = ( j mod ( N ` K ) ) )
49		ovex 6678	. . . . . . . . . 10 |- ( j mod ( N ` K ) ) e. _V
50	48, 44, 49	fvmpt 6282	. . . . . . . . 9 |- ( j e. NN -> ( ( k e. NN |-> ( k mod ( N ` K ) ) ) ` j ) = ( j mod ( N ` K ) ) )
51	50	ad2antll 765	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. NN /\ j e. NN ) ) -> ( ( k e. NN |-> ( k mod ( N ` K ) ) ) ` j ) = ( j mod ( N ` K ) ) )
52	47, 51	oveq12d 6668	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. NN /\ j e. NN ) ) -> ( ( ( k e. NN |-> ( k mod ( N ` K ) ) ) ` i ) P ( ( k e. NN |-> ( k mod ( N ` K ) ) ) ` j ) ) = ( ( i mod ( N ` K ) ) P ( j mod ( N ` K ) ) ) )
53		oveq12 6659	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x = ( i mod ( N ` K ) ) /\ y = ( j mod ( N ` K ) ) ) -> ( x x. y ) = ( ( i mod ( N ` K ) ) x. ( j mod ( N ` K ) ) ) )
54	53	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 |- ( ( x = ( i mod ( N ` K ) ) /\ y = ( j mod ( N ` K ) ) ) -> ( ( x x. y ) mod ( N ` K ) ) = ( ( ( i mod ( N ` K ) ) x. ( j mod ( N ` K ) ) ) mod ( N ` K ) ) )
55		elqaa.7	. . . . . . . . 9 |- P = ( x e. _V , y e. _V |-> ( ( x x. y ) mod ( N ` K ) ) )
56		ovex 6678	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( i mod ( N ` K ) ) x. ( j mod ( N ` K ) ) ) mod ( N ` K ) ) e. _V
57	54, 55, 56	ovmpt2a 6791	. . . . . . . 8 |- ( ( ( i mod ( N ` K ) ) e. _V /\ ( j mod ( N ` K ) ) e. _V ) -> ( ( i mod ( N ` K ) ) P ( j mod ( N ` K ) ) ) = ( ( ( i mod ( N ` K ) ) x. ( j mod ( N ` K ) ) ) mod ( N ` K ) ) )
58	45, 49, 57	mp2an 708	. . . . . . 7 |- ( ( i mod ( N ` K ) ) P ( j mod ( N ` K ) ) ) = ( ( ( i mod ( N ` K ) ) x. ( j mod ( N ` K ) ) ) mod ( N ` K ) )
59	52, 58	syl6eq 2672	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. NN /\ j e. NN ) ) -> ( ( ( k e. NN |-> ( k mod ( N ` K ) ) ) ` i ) P ( ( k e. NN |-> ( k mod ( N ` K ) ) ) ` j ) ) = ( ( ( i mod ( N ` K ) ) x. ( j mod ( N ` K ) ) ) mod ( N ` K ) ) )
60		oveq1 6657	. . . . . . . 8 |- ( k = ( i x. j ) -> ( k mod ( N ` K ) ) = ( ( i x. j ) mod ( N ` K ) ) )
61		ovex 6678	. . . . . . . 8 |- ( ( i x. j ) mod ( N ` K ) ) e. _V
62	60, 44, 61	fvmpt 6282	. . . . . . 7 |- ( ( i x. j ) e. NN -> ( ( k e. NN |-> ( k mod ( N ` K ) ) ) ` ( i x. j ) ) = ( ( i x. j ) mod ( N ` K ) ) )
63	5, 62	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. NN /\ j e. NN ) ) -> ( ( k e. NN |-> ( k mod ( N ` K ) ) ) ` ( i x. j ) ) = ( ( i x. j ) mod ( N ` K ) ) )
64	42, 59, 63	3eqtr4rd 2667	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ K e. NN0 ) /\ ( i e. NN /\ j e. NN ) ) -> ( ( k e. NN |-> ( k mod ( N ` K ) ) ) ` ( i x. j ) ) = ( ( ( k e. NN |-> ( k mod ( N ` K ) ) ) ` i ) P ( ( k e. NN |-> ( k mod ( N ` K ) ) ) ` j ) ) )
65		oveq1 6657	. . . . . . . . 9 |- ( k = ( N ` i ) -> ( k mod ( N ` K ) ) = ( ( N ` i ) mod ( N ` K ) ) )
66		ovex 6678	. . . . . . . . 9 |- ( ( N ` i ) mod ( N ` K ) ) e. _V
67	65, 44, 66	fvmpt 6282	. . . . . . . 8 |- ( ( N ` i ) e. NN -> ( ( k e. NN |-> ( k mod ( N ` K ) ) ) ` ( N ` i ) ) = ( ( N ` i ) mod ( N ` K ) ) )
68	14, 67	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ K e. NN0 ) /\ i e. NN0 ) -> ( ( k e. NN |-> ( k mod ( N ` K ) ) ) ` ( N ` i ) ) = ( ( N ` i ) mod ( N ` K ) ) )
69		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( k = i -> ( N ` k ) = ( N ` i ) )
70	69	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 |- ( k = i -> ( ( N ` k ) mod ( N ` K ) ) = ( ( N ` i ) mod ( N ` K ) ) )
71		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( k e. NN0 |-> ( ( N ` k ) mod ( N ` K ) ) ) = ( k e. NN0 |-> ( ( N ` k ) mod ( N ` K ) ) )
72	70, 71, 66	fvmpt 6282	. . . . . . . 8 |- ( i e. NN0 -> ( ( k e. NN0 |-> ( ( N ` k ) mod ( N ` K ) ) ) ` i ) = ( ( N ` i ) mod ( N ` K ) ) )
73	72	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ K e. NN0 ) /\ i e. NN0 ) -> ( ( k e. NN0 |-> ( ( N ` k ) mod ( N ` K ) ) ) ` i ) = ( ( N ` i ) mod ( N ` K ) ) )
74	68, 73	eqtr4d 2659	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ K e. NN0 ) /\ i e. NN0 ) -> ( ( k e. NN |-> ( k mod ( N ` K ) ) ) ` ( N ` i ) ) = ( ( k e. NN0 |-> ( ( N ` k ) mod ( N ` K ) ) ) ` i ) )
75	6, 74	sylan2 491	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ K e. NN0 ) /\ i e. ( 0 ... (deg ` F ) ) ) -> ( ( k e. NN |-> ( k mod ( N ` K ) ) ) ` ( N ` i ) ) = ( ( k e. NN0 |-> ( ( N ` k ) mod ( N ` K ) ) ) ` i ) )
76	5, 15, 21, 64, 75	seqhomo 12848	. . . 4 |- ( ( ph /\ K e. NN0 ) -> ( ( k e. NN |-> ( k mod ( N ` K ) ) ) ` ( seq 0 ( x. , N ) ` (deg ` F ) ) ) = ( seq 0 ( P , ( k e. NN0 |-> ( ( N ` k ) mod ( N ` K ) ) ) ) ` (deg ` F ) ) )
77	3, 76	syl5eq 2668	. . 3 |- ( ( ph /\ K e. NN0 ) -> ( ( k e. NN |-> ( k mod ( N ` K ) ) ) ` R ) = ( seq 0 ( P , ( k e. NN0 |-> ( ( N ` k ) mod ( N ` K ) ) ) ) ` (deg ` F ) ) )
78	1, 77	sylan2 491	. 2 |- ( ( ph /\ K e. ( 0 ... (deg ` F ) ) ) -> ( ( k e. NN |-> ( k mod ( N ` K ) ) ) ` R ) = ( seq 0 ( P , ( k e. NN0 |-> ( ( N ` k ) mod ( N ` K ) ) ) ) ` (deg ` F ) ) )
79		0zd 11389	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 e. ZZ )
80	4	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( i e. NN /\ j e. NN ) ) -> ( i x. j ) e. NN )
81	19, 79, 13, 80	seqf 12822	. . . . . . 7 |- ( ph -> seq 0 ( x. , N ) : NN0 --> NN )
82	81, 18	ffvelrnd 6360	. . . . . 6 |- ( ph -> ( seq 0 ( x. , N ) ` (deg ` F ) ) e. NN )
83	2, 82	syl5eqel 2705	. . . . 5 |- ( ph -> R e. NN )
84	83	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ K e. NN0 ) -> R e. NN )
85		oveq1 6657	. . . . 5 |- ( k = R -> ( k mod ( N ` K ) ) = ( R mod ( N ` K ) ) )
86		ovex 6678	. . . . 5 |- ( R mod ( N ` K ) ) e. _V
87	85, 44, 86	fvmpt 6282	. . . 4 |- ( R e. NN -> ( ( k e. NN |-> ( k mod ( N ` K ) ) ) ` R ) = ( R mod ( N ` K ) ) )
88	84, 87	syl 17	. . 3 |- ( ( ph /\ K e. NN0 ) -> ( ( k e. NN |-> ( k mod ( N ` K ) ) ) ` R ) = ( R mod ( N ` K ) ) )
89	1, 88	sylan2 491	. 2 |- ( ( ph /\ K e. ( 0 ... (deg ` F ) ) ) -> ( ( k e. NN |-> ( k mod ( N ` K ) ) ) ` R ) = ( R mod ( N ` K ) ) )
90		vex 3203	. . . . 5 |- i e. _V
91		vex 3203	. . . . 5 |- j e. _V
92		oveq12 6659	. . . . . . 7 |- ( ( x = i /\ y = j ) -> ( x x. y ) = ( i x. j ) )
93	92	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( ( x = i /\ y = j ) -> ( ( x x. y ) mod ( N ` K ) ) = ( ( i x. j ) mod ( N ` K ) ) )
94	93, 55, 61	ovmpt2a 6791	. . . . 5 |- ( ( i e. _V /\ j e. _V ) -> ( i P j ) = ( ( i x. j ) mod ( N ` K ) ) )
95	90, 91, 94	mp2an 708	. . . 4 |- ( i P j ) = ( ( i x. j ) mod ( N ` K ) )
96		nn0mulcl 11329	. . . . . 6 |- ( ( i e. NN0 /\ j e. NN0 ) -> ( i x. j ) e. NN0 )
97	96	nn0zd 11480	. . . . 5 |- ( ( i e. NN0 /\ j e. NN0 ) -> ( i x. j ) e. ZZ )
98	1, 25	sylan2 491	. . . . 5 |- ( ( ph /\ K e. ( 0 ... (deg ` F ) ) ) -> ( N ` K ) e. NN )
99		zmodcl 12690	. . . . 5 |- ( ( ( i x. j ) e. ZZ /\ ( N ` K ) e. NN ) -> ( ( i x. j ) mod ( N ` K ) ) e. NN0 )
100	97, 98, 99	syl2anr 495	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ K e. ( 0 ... (deg ` F ) ) ) /\ ( i e. NN0 /\ j e. NN0 ) ) -> ( ( i x. j ) mod ( N ` K ) ) e. NN0 )
101	95, 100	syl5eqel 2705	. . 3 |- ( ( ( ph /\ K e. ( 0 ... (deg ` F ) ) ) /\ ( i e. NN0 /\ j e. NN0 ) ) -> ( i P j ) e. NN0 )
102		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = m -> ( B ` k ) = ( B ` m ) )
103	102	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = m -> ( ( B ` k ) x. n ) = ( ( B ` m ) x. n ) )
104	103	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = m -> ( ( ( B ` k ) x. n ) e. ZZ <-> ( ( B ` m ) x. n ) e. ZZ ) )
105	104	rabbidv 3189	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = m -> { n e. NN | ( ( B ` k ) x. n ) e. ZZ } = { n e. NN | ( ( B ` m ) x. n ) e. ZZ } )
106	105	infeq1d 8383	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = m -> inf ( { n e. NN | ( ( B ` k ) x. n ) e. ZZ } , RR , < ) = inf ( { n e. NN | ( ( B ` m ) x. n ) e. ZZ } , RR , < ) )
107	106	cbvmptv 4750	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN0 |-> inf ( { n e. NN | ( ( B ` k ) x. n ) e. ZZ } , RR , < ) ) = ( m e. NN0 |-> inf ( { n e. NN | ( ( B ` m ) x. n ) e. ZZ } , RR , < ) )
108	11, 107	eqtri 2644	. . . . . . . . . . 11 |- N = ( m e. NN0 |-> inf ( { n e. NN | ( ( B ` m ) x. n ) e. ZZ } , RR , < ) )
109	7, 8, 9, 10, 108, 2	elqaalem1 24074	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( N ` k ) e. NN /\ ( ( B ` k ) x. ( N ` k ) ) e. ZZ ) )
110	109	simpld 475	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( N ` k ) e. NN )
111	110	adantlr 751	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ K e. NN0 ) /\ k e. NN0 ) -> ( N ` k ) e. NN )
112	111	nnzd 11481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ K e. NN0 ) /\ k e. NN0 ) -> ( N ` k ) e. ZZ )
113	25	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ K e. NN0 ) /\ k e. NN0 ) -> ( N ` K ) e. NN )
114	112, 113	zmodcld 12691	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ K e. NN0 ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( N ` k ) mod ( N ` K ) ) e. NN0 )
115	114, 71	fmptd 6385	. . . . 5 |- ( ( ph /\ K e. NN0 ) -> ( k e. NN0 |-> ( ( N ` k ) mod ( N ` K ) ) ) : NN0 --> NN0 )
116	1, 115	sylan2 491	. . . 4 |- ( ( ph /\ K e. ( 0 ... (deg ` F ) ) ) -> ( k e. NN0 |-> ( ( N ` k ) mod ( N ` K ) ) ) : NN0 --> NN0 )
117		ffvelrn 6357	. . . 4 |- ( ( ( k e. NN0 |-> ( ( N ` k ) mod ( N ` K ) ) ) : NN0 --> NN0 /\ i e. NN0 ) -> ( ( k e. NN0 |-> ( ( N ` k ) mod ( N ` K ) ) ) ` i ) e. NN0 )
118	116, 6, 117	syl2an 494	. . 3 |- ( ( ( ph /\ K e. ( 0 ... (deg ` F ) ) ) /\ i e. ( 0 ... (deg ` F ) ) ) -> ( ( k e. NN0 |-> ( ( N ` k ) mod ( N ` K ) ) ) ` i ) e. NN0 )
119		c0ex 10034	. . . . 5 |- 0 e. _V
120		oveq12 6659	. . . . . . 7 |- ( ( x = 0 /\ y = i ) -> ( x x. y ) = ( 0 x. i ) )
121	120	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( ( x = 0 /\ y = i ) -> ( ( x x. y ) mod ( N ` K ) ) = ( ( 0 x. i ) mod ( N ` K ) ) )
122		ovex 6678	. . . . . 6 |- ( ( 0 x. i ) mod ( N ` K ) ) e. _V
123	121, 55, 122	ovmpt2a 6791	. . . . 5 |- ( ( 0 e. _V /\ i e. _V ) -> ( 0 P i ) = ( ( 0 x. i ) mod ( N ` K ) ) )
124	119, 90, 123	mp2an 708	. . . 4 |- ( 0 P i ) = ( ( 0 x. i ) mod ( N ` K ) )
125		nn0cn 11302	. . . . . . 7 |- ( i e. NN0 -> i e. CC )
126	125	mul02d 10234	. . . . . 6 |- ( i e. NN0 -> ( 0 x. i ) = 0 )
127	126	oveq1d 6665	. . . . 5 |- ( i e. NN0 -> ( ( 0 x. i ) mod ( N ` K ) ) = ( 0 mod ( N ` K ) ) )
128	98	nnrpd 11870	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ K e. ( 0 ... (deg ` F ) ) ) -> ( N ` K ) e. RR+ )
129		0mod 12701	. . . . . 6 |- ( ( N ` K ) e. RR+ -> ( 0 mod ( N ` K ) ) = 0 )
130	128, 129	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ph /\ K e. ( 0 ... (deg ` F ) ) ) -> ( 0 mod ( N ` K ) ) = 0 )
131	127, 130	sylan9eqr 2678	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ K e. ( 0 ... (deg ` F ) ) ) /\ i e. NN0 ) -> ( ( 0 x. i ) mod ( N ` K ) ) = 0 )
132	124, 131	syl5eq 2668	. . 3 |- ( ( ( ph /\ K e. ( 0 ... (deg ` F ) ) ) /\ i e. NN0 ) -> ( 0 P i ) = 0 )
133		oveq12 6659	. . . . . . 7 |- ( ( x = i /\ y = 0 ) -> ( x x. y ) = ( i x. 0 ) )
134	133	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( ( x = i /\ y = 0 ) -> ( ( x x. y ) mod ( N ` K ) ) = ( ( i x. 0 ) mod ( N ` K ) ) )
135		ovex 6678	. . . . . 6 |- ( ( i x. 0 ) mod ( N ` K ) ) e. _V
136	134, 55, 135	ovmpt2a 6791	. . . . 5 |- ( ( i e. _V /\ 0 e. _V ) -> ( i P 0 ) = ( ( i x. 0 ) mod ( N ` K ) ) )
137	90, 119, 136	mp2an 708	. . . 4 |- ( i P 0 ) = ( ( i x. 0 ) mod ( N ` K ) )
138	125	mul01d 10235	. . . . . 6 |- ( i e. NN0 -> ( i x. 0 ) = 0 )
139	138	oveq1d 6665	. . . . 5 |- ( i e. NN0 -> ( ( i x. 0 ) mod ( N ` K ) ) = ( 0 mod ( N ` K ) ) )
140	139, 130	sylan9eqr 2678	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ K e. ( 0 ... (deg ` F ) ) ) /\ i e. NN0 ) -> ( ( i x. 0 ) mod ( N ` K ) ) = 0 )
141	137, 140	syl5eq 2668	. . 3 |- ( ( ( ph /\ K e. ( 0 ... (deg ` F ) ) ) /\ i e. NN0 ) -> ( i P 0 ) = 0 )
142		simpr 477	. . 3 |- ( ( ph /\ K e. ( 0 ... (deg ` F ) ) ) -> K e. ( 0 ... (deg ` F ) ) )
143	18	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ K e. ( 0 ... (deg ` F ) ) ) -> (deg ` F ) e. NN0 )
144	1	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( ph /\ K e. ( 0 ... (deg ` F ) ) ) -> K e. NN0 )
145		fveq2 6191	. . . . . . 7 |- ( k = K -> ( N ` k ) = ( N ` K ) )
146	145	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( k = K -> ( ( N ` k ) mod ( N ` K ) ) = ( ( N ` K ) mod ( N ` K ) ) )
147		ovex 6678	. . . . . 6 |- ( ( N ` K ) mod ( N ` K ) ) e. _V
148	146, 71, 147	fvmpt 6282	. . . . 5 |- ( K e. NN0 -> ( ( k e. NN0 |-> ( ( N ` k ) mod ( N ` K ) ) ) ` K ) = ( ( N ` K ) mod ( N ` K ) ) )
149	144, 148	syl 17	. . . 4 |- ( ( ph /\ K e. ( 0 ... (deg ` F ) ) ) -> ( ( k e. NN0 |-> ( ( N ` k ) mod ( N ` K ) ) ) ` K ) = ( ( N ` K ) mod ( N ` K ) ) )
150	98	nncnd 11036	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ K e. ( 0 ... (deg ` F ) ) ) -> ( N ` K ) e. CC )
151	98	nnne0d 11065	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ K e. ( 0 ... (deg ` F ) ) ) -> ( N ` K ) =/= 0 )
152	150, 151	dividd 10799	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ K e. ( 0 ... (deg ` F ) ) ) -> ( ( N ` K ) / ( N ` K ) ) = 1 )
153		1z 11407	. . . . . 6 |- 1 e. ZZ
154	152, 153	syl6eqel 2709	. . . . 5 |- ( ( ph /\ K e. ( 0 ... (deg ` F ) ) ) -> ( ( N ` K ) / ( N ` K ) ) e. ZZ )
155	98	nnred 11035	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ K e. ( 0 ... (deg ` F ) ) ) -> ( N ` K ) e. RR )
156		mod0 12675	. . . . . 6 |- ( ( ( N ` K ) e. RR /\ ( N ` K ) e. RR+ ) -> ( ( ( N ` K ) mod ( N ` K ) ) = 0 <-> ( ( N ` K ) / ( N ` K ) ) e. ZZ ) )
157	155, 128, 156	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ph /\ K e. ( 0 ... (deg ` F ) ) ) -> ( ( ( N ` K ) mod ( N ` K ) ) = 0 <-> ( ( N ` K ) / ( N ` K ) ) e. ZZ ) )
158	154, 157	mpbird 247	. . . 4 |- ( ( ph /\ K e. ( 0 ... (deg ` F ) ) ) -> ( ( N ` K ) mod ( N ` K ) ) = 0 )
159	149, 158	eqtrd 2656	. . 3 |- ( ( ph /\ K e. ( 0 ... (deg ` F ) ) ) -> ( ( k e. NN0 |-> ( ( N ` k ) mod ( N ` K ) ) ) ` K ) = 0 )
160	101, 118, 132, 141, 142, 143, 159	seqz 12849	. 2 |- ( ( ph /\ K e. ( 0 ... (deg ` F ) ) ) -> ( seq 0 ( P , ( k e. NN0 |-> ( ( N ` k ) mod ( N ` K ) ) ) ) ` (deg ` F ) ) = 0 )
161	78, 89, 160	3eqtr3d 2664	1 |- ( ( ph /\ K e. ( 0 ... (deg ` F ) ) ) -> ( R mod ( N ` K ) ) = 0 )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   {crab 2916   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   {csn 4177   |-> cmpt 4729   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652  infcinf 8347   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   x. cmul 9941   < clt 10074   / cdiv 10684   NNcn 11020   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   QQcq 11788   RR+crp 11832   ...cfz 12326   mod cmo 12668   seqcseq 12801   0pc0p 23436  Polycply 23940  coeffccoe 23942  degcdgr 23943

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-0p 23437  df-ply 23944  df-coe 23946  df-dgr 23947

This theorem is referenced by:  elqaalem3  24076